《2018屆高三數(shù)學一輪復習: 選修4-5 第2節(jié) 課時分層訓練70》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018屆高三數(shù)學一輪復習: 選修4-5 第2節(jié) 課時分層訓練70(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時分層訓練(七十) 不等式的證明
1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a.
(1)求a的值;
(2)若p,q,r是正實數(shù),且滿足p+q+r=a,求證:p2+q2+r2≥3.
[解] (1)因為|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
當且僅當-1≤x≤2時,等號成立,
所以f(x)的最小值等于3,即a=3.4分
(2)證明:法一:由(1)知p+q+r=3,且p,q,r大于0,
∴(p+q+r)2=9.
又易知p2+q2+r2≥pq+pr+qr.8分
故9=(p+q+r)2=p2+q2+r2+2pq+2pr+2qr≤3(p2
2、+q2+r2),
因此,p2+q2+r2≥3.10分
法二:由(1)知p+q+r=3,又因為p,q,r是正實數(shù),
所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,
故p2+q2+r2≥3.10分
2.(2015·湖南高考)設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.
[證明] 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.2分
(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.5分
(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0
3、,得00,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.
[解] (1)由=+≥,得ab≥2,當且僅當a=b=時等號成立.2分
故a3+b3≥2≥4,當且僅當a=b=時等號成立.
所以a3+b3的最小值為4.5分
(2)由(1)知,2a+3b≥2·≥4.
由于4>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.10分
4.(2017·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=|x|+|x-
4、1|.
(1)若f(x)≥|m-1|恒成立,求實數(shù)m的最大值M;
(2)在(1)成立的條件下,正實數(shù)a,b滿足a2+b2=M,證明:a+b≥2ab.
【導學號:01772449】
[解] (1)∵f(x)=|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,
當且僅當0≤x≤1時取等號,
∴f(x)=|x|+|x-1|的最小值為1.3分
要使f(x)≥|m-1|恒成立,只需|m-1|≤1,
∴0≤m≤2,則m的最大值M=2.5分
(2)證明:由(1)知,a2+b2=2,
由a2+b2≥2ab,知ab≤1.①
又a+b≥2,則(a+b)≥2ab.8分
由①知,≤1.
故a+b
5、≥2ab.10分
5.已知函數(shù)f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集為[-1,1].
(1)求k的值;
(2)若a,b,c是正實數(shù),且++=1.
求證:a+2b+3c≥9.
【導學號:01772450】
[解] (1)因為f(x)=k-|x-3|,
所以f(x+3)≥0等價于|x|≤k,2分
由|x|≤k有解,得k≥0,且解集為[-k,k].
因為f(x+3)≥0的解集為[-1,1].
因此k=1.5分
(2)證明:由(1)知++=1,因為a,b,c為正實數(shù).
所以a+2b+3c=(a+2b+3c)
=3+++
≥3+2+2+2=9.8分
當
6、且僅當a=2b=3c時等號成立.
因此a+2b+3c≥9.10分
6.(2017·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|x+1|.
(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M;
(2)設(shè)a,b∈M,證明:f(ab)>f(a)-f(-b).
[解] (1)①當x≤-1時,原不等式可化為-x-1<-2x-2,解得x<-1;2分
②當-1<x<-時,原不等式可化為x+1<-2x-2,解得x<-1,此時原不等式無解;
③當x≥-時,原不等式可化為x+1<2x,解得x>1.
綜上,M={x|x<-1或x>1}.5分
(2)證明:因為f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,6分
所以,要證f(ab)>f(a)-f(-b),只需證|ab+1|>|a+b|,
即證|ab+1|2>|a+b|2,
即證a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,8分
即證a2b2-a2-b2+1>0,即證(a2-1)(b2-1)>0.
因為a,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,
所以原不等式成立.10分