4、數(shù)的概率分布．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改編)小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是________．
[所求概率P＝C·1·3－1＝.]
3．已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同．甲每次從中任取一個不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為________．
[設(shè)“第一次拿到白球”為事件A，“第二次拿到紅球”為事件B，依題意P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
故P(B|A)＝＝.]
4．(2015·全國卷Ⅰ改編)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通
5、過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為________．
0．648 [3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.]
5．如圖61-1，用K，A1，A2三類不同的元件連結(jié)成一個系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為________．
圖61-1
0．
6、864 [系統(tǒng)正常工作的概率P＝0.9×[1－(1－0.8)(1－0.8)]＝0.864.]
條件概率
(1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A：“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B：“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝________.
(2)如圖61-2，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則P(B|A)＝________.
【導(dǎo)學(xué)號：62172330】
圖61-2
(1) (2) [(1)法一：事件A包括的基本事件：
7、(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，即n(A)＝4，
事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2,4)一種情形，即n(AB)＝1.
故由古典概型概率P(B|A)＝＝.
法二：P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
由條件概率計算公式，得P(B|A)＝＝＝.
(2)由題意可得，事件A發(fā)生的概率
P(A)＝＝＝.
事件AB表示“豆子落在△EOH內(nèi)”，
則P(AB)＝＝＝.
故P(B|A)＝＝＝.]
[規(guī)律方法] 條件概率的求法
(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件
8、AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝.
[變式訓(xùn)練1] 1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率是________．
[設(shè)從1號箱取到紅球為事件A，從2號箱取到紅球為事件B.
由題意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
所以兩次都取到紅球的概率為.]
相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率
某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．
9、
(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；
(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利潤的概率分布.
【導(dǎo)學(xué)號：62172331】
[解] 記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}．由題設(shè)知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E與F，E與，與F，與都相互獨(dú)立．
(1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則＝，于是P()＝P()P()＝×＝.
故所求的概率為P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0,100,120,220.因為P(X＝0)
10、＝P()＝×＝，
P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.
故所求X的概率分布為
X
0
100
120
220
P
[規(guī)律方法] 1.求解該類問題的關(guān)鍵是正確分析所求事件的構(gòu)成，將其轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和或相互獨(dú)立事件的積，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計算．
2．求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的主要方法．
(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面計算較繁(如求用“至少”表達(dá)的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算．
[變式訓(xùn)練2] 在一場娛樂晚會上，有5位民間歌
11、手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手，各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手．
(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X≥2”的事件概率．
[解] (1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”，
則P(A)＝＝，P(B)＝＝.
∵事件A與B相互獨(dú)立，A與相互獨(dú)立，則A表示事件“甲選中3號歌手，且乙沒選中3號歌手”．
∴
12、P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝×＝.
(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”，
則P(C)＝＝.
依題意，A，B，C相互獨(dú)立，，，相互獨(dú)立，
且AB，AC，BC，ABC彼此互斥．
又P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝.
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布
在2016～2017賽季CBA聯(lián)賽中，某隊甲、乙兩名球員在前10場比賽中投籃命中情況統(tǒng)計如下表(注：表中分?jǐn)?shù)，N表示投籃次數(shù)，n表示命中次數(shù))，假設(shè)各場比賽相互獨(dú)立.
場次
13、
球員
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
乙
根據(jù)統(tǒng)計表的信息：
(1)從上述比賽中等可能隨機(jī)選擇一場，求甲球員在該場比賽中投籃命中率大于0.5的概率；
(2)試估計甲、乙兩名運(yùn)動員在下一場比賽中恰有一人命中率超過0.5的概率；
(3)在接下來的3場比賽中，用X表示這3場比賽中乙球員命中率超過0.5的場次，試寫出X的概率分布．
[解] (1)根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲球員投籃命中率超過0.5的場次有5場，分別是4,5,6,7,10，所以在隨機(jī)選擇的一場比賽
14、中，甲球員的投籃命中率超過0.5的概率是.
(2)在10場比賽中，乙球員投籃命中率超過0.5的場次有4場，分別是3,6,8,10，所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，乙球員的投籃命中率超過0.5的概率是.
設(shè)在一場比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動員恰有一人命中率超過0.5為事件A，甲隊員命中率超過0.5且乙隊員命中率不超過0.5為事件B1，乙隊員命中率超過0.5且甲隊員命中率不超過0.5為事件B2，
則P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝.
(3)X的可能取值為0,1,2,3，依題意X～B.
P(X＝0)＝C03＝；
P(X＝1)＝C12＝；
P(X＝2)＝C21＝；
P(X＝3)＝C3＝
15、，
X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
[規(guī)律方法] 1.求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件，還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解．
2．(1)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同．
(2)牢記公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含義．
[變式訓(xùn)練3] 某架飛機(jī)載有5位空降兵依次空降到A，B，C三個地點(diǎn)，每位空降兵都要空降到A，B，C中的任意一個地
16、點(diǎn)，且空降到每一個地點(diǎn)的概率都是，用ξ表示地點(diǎn)C空降人數(shù)，求：
(1)地點(diǎn)A空降1人，地點(diǎn)B，C各空降2人的概率；
(2)隨機(jī)變量ξ的概率分布．
[解] (1)設(shè)“地點(diǎn)A空降1人，地點(diǎn)B，C各空降2人”為事件M，易知基本事件的總數(shù)n＝35＝243個，事件M發(fā)生包含的基本事件M＝CC＝30個．
故所求事件M的概率P(M)＝＝＝.
(2)依題意，5位空降兵空降到地點(diǎn)C相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗．
∴ξ～B，且ξ的取值可能為0,1,2,3,4,5.
則P(ξ＝k)＝Ck5－k.
∴P(ξ＝0)＝C05＝，P(ξ＝1)＝C4＝，
P(ξ＝2)＝C23＝，P(ξ＝3)＝C32＝，
P(ξ
17、＝4)＝C4＝，P(ξ＝5)＝C5＝.
∴隨機(jī)變量ξ的概率分布為：
ξ
0
1
2
3
4
5
P
[思想與方法]
1．古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)＝＝，其中，在實際應(yīng)用中P(B|A)＝是一種重要的求條件概率的方法．
2．相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別
相互獨(dú)立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算公式為P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
3．n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次可看作是C個互斥事件的和，其中每一個事件
18、發(fā)生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1－p)n－k.
[易錯與防范]
1．易混淆“相互獨(dú)立”和“事件互斥”
兩事件互斥是指兩事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個事件相互獨(dú)立不一定互斥．
2．易混淆P(B|A)與P(A|B)
前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．
3．易混淆二項分布與兩點(diǎn)分布
由二項分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項分布，即n＝1時的二項分布．
課時分層訓(xùn)練(五)
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
(建議用時：30分鐘)
19、
1．(2017·蘇州模擬)假定某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為.現(xiàn)有4發(fā)子彈，該射手一旦射中目標(biāo)，就停止射擊，否則就一直獨(dú)立地射擊到子彈用完．設(shè)耗用子彈數(shù)為X，求：X的概率分布. 【導(dǎo)學(xué)號：62172332】
[解] 耗用子彈數(shù)X的所有可能取值為1,2,3,4.
當(dāng)X＝1時，表示射擊一次，命中目標(biāo)，則P(X＝1)＝；
當(dāng)X＝2時，表示射擊兩次，第一次未中，第二次射中目標(biāo)，則P(X＝2)＝×＝；
當(dāng)X＝3時，表示射擊三次，第一次、第二次均未擊中，第三次擊中，則P(X＝3)＝××＝；
當(dāng)X＝4時，表示射擊四次，前三次均未擊中，第四次擊中或四次均未擊中，
則P(X＝4)＝×××＋×××＝
20、.
X的概率分布為
X
1
2
3
4
P
2.(2017·南京模擬)一個口袋中裝有大小相同的3個白球和1個紅球，從中有放回地摸球，每次摸出一個，若有3次摸到紅球即停止．
(1)求恰好摸4次停止的概率；
(2)記4次之內(nèi)(含4次)摸到紅球的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布．
[解] (1)設(shè)事件“恰好摸4次停止”的概率為P，則
P＝C×2××＝.
(2)由題意，得X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝C×4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝1－－－＝，
∴X的概率分布為
X
0
1
2
21、3
P
3.(2017·無錫模擬)乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動員間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同．
(1)求甲以4比1獲勝的概率；
(2)求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率；
(3)求比賽局?jǐn)?shù)的概率分布. 【導(dǎo)學(xué)號：62172333】
[解] (1)由已知，得甲、乙兩名運(yùn)動員在每一局比賽中獲勝的概率都是.記“甲以4比1獲勝”為事件A，
則P(A)＝C34－3·＝.
(2)記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B.乙以4比2獲勝的概率為P1＝C35－3·＝，乙以4比3獲勝的概率為P2＝C3·6－3·＝，
22、所以P(B)＝P1＋P2＝.
(3)設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為4,5,6,7.
P(X＝4)＝2C4＝，
P(X＝5)＝2C34－3·＝，P(X＝6)＝2C35－3·＝，P(X＝7)＝2C36－3·＝.
所以比賽局?jǐn)?shù)的概率分布為
X
4
5
6
7
P
4.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．
(1
23、)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布；
(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率．
[解] (1)設(shè)“每盤游戲中擊鼓三次后，出現(xiàn)音樂的次數(shù)為ξ”．
依題意，ξ的取值可能為0,1,2,3，且ξ～B，
則P(ξ＝k)＝Ck3－k＝C·3.
又每盤游戲得分X的取值為10,20,100，－200.根據(jù)題意：
則P(X＝10)＝P(ξ＝1)＝C3＝，
P(X＝20)＝P(ξ＝2)＝C3＝，
P(X＝100)＝P(ξ＝3)＝C3＝，
P(X＝－200)＝P(ξ＝0)＝C3＝.
所以X的概率分布為
X
10
20
100
－200
P
(2)設(shè)“第i
24、盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1,2,3)，
則P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以，“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為
1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.
因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.
B組 能力提升
(建議用時：15分鐘)
1．某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定．小王到該銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試．若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定．
(1)求當(dāng)天小王
25、的該銀行卡被鎖定的概率；
(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的概率分布．
[解] (1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”為事件A，
則P(A)＝××＝.
(2)依題意得，X所有可能的取值是1,2,3.
又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
所以X的概率分布為
X
1
2
3
P
2.(2017·南通三模)甲，乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n(n∈N＋)局，根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P(n)．
(1)求P(2)與P(3)的
26、值；
(2)試比較P(n)與P(n＋1)的大小，并證明你的結(jié)論．
[解] (1)若甲、乙比賽4局甲獲勝，則甲在4局比賽中至少勝3局，
所以P(2)＝C 4＋C4＝，
同理 P(3)＝C6＋C6＋C6＝.
(2)在2n局比賽中甲獲勝，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n＋1局
故 P(n)＝C 2n＋C2n＋…＋C2n
＝·2n＝·2n＝，
所以P(n＋1)＝.
又因為 ＝＝＝＝>1，
所以>，所以P(n)
27、5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率；
(3)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分．在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分．記ξ為射手射擊3次后的總分?jǐn)?shù)，求ξ的概率分布．
[解] (1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，
則X～B.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率為P(X＝2)＝C×2×3＝.
(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則
P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3
28、A45)＋P(1·2A3A4A5)
＝3×2＋×3×＋2×3＝.
(3)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i＝1,2,3)．
由題意可知，ξ的所有可能取值為0,1,2,3,6.
P(ξ＝0)＝P(123)＝3＝；
P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)
＝×2＋××＋2×＝；
P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝；
P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)
＝2×＋×2＝；
P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝3＝.
所以ξ的概率分布是
ξ
0
1
2
3
6
P
4．在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成
29、本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如表所示：
作物產(chǎn)量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市場價格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的概率分布；
(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率．
[解] (1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，
B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，由題設(shè)知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
因為利潤＝產(chǎn)量×市場價格－成本，
所以X所有可能的
30、取值為
500×10－1 000＝4 000，
500×6－1 000＝2 000，
300×10－1 000＝2 000，
300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
所以X的概率分布為
X
4 000
2 000
800
P
0.3
0.5
0.2
(2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i＝1,2,3)，
由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，
3季的利潤均不少于2 000元的概率為
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2)＝3×0.82×0.2＝0.384，
所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512＋0.384＝0.896.
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第1章 第61課 獨(dú)立性及二項分布
