《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第7章 第7節(jié) 課時(shí)分層訓(xùn)練44》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第7章 第7節(jié) 課時(shí)分層訓(xùn)練44（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(四十四)　 立體幾何中的向量方法 A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、選擇題 1．已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1，－1,2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(6，－3,6)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是(　　) A．P(2,3,3)　　　　 B.P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D.P(3，－3,4) A　[逐一驗(yàn)證法，對(duì)于選項(xiàng)A，＝(1,4,1)，∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴點(diǎn)P在平面α內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)．] 2．(2017·西安調(diào)研)如圖7-7-11，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB

2、，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為(　　) 圖7-7-11 A. B.－ C. D.－ A　[不妨設(shè)CB＝1，則B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1＝(0,2,0)，B1(0,2,1)，∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)． cos〈，〉＝＝＝.] 3．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上且＝，N為B1B的中點(diǎn)，則||為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772276】 A.a B.a C.a D.a A　[以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 設(shè)M(x，y，z)， ∵點(diǎn)

3、M在AC1上且＝， (x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)， ∴x＝a，y＝，z＝. 得M， ∴||＝＝.] 4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772277】 A. B. C. D. A　[如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，則＝(，1,2)，則＝(－，0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量．即sin θ＝＝.故選A.] 5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則

4、平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　) A. B. C. D. B　[以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0,0,1)， E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝. 設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1＝(1，y，z)， ∴有即 解得 ∴n1＝(1,2,2)． ∵平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)． ∴cos〈n1，n2〉＝＝， 即所成的銳二面角的余弦值為.] 二、填空題 6．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)

5、論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的序號(hào)是________． ①②③　[∵·＝0，·＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確． 又與不平行． ∴是平面ABCD的法向量，則③正確． 由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴與不平行，故④錯(cuò)誤．] 7．(2017·鄭州模擬)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772278】 　[以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n＝(x，y，z)為平面A

6、1BC1的法向量， 則n·＝0，n·＝0， 即令z＝2，則y＝1，x＝2， 于是n＝(2,1,2)，＝(0,2,0)． 設(shè)所求線面角為α，則sin α＝|cos〈n，〉|＝.] 8．在一直角坐標(biāo)系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點(diǎn)間的距離為________． 2　[如圖為折疊后的圖形，其中作AC⊥CD，BD⊥CD， 則AC＝6，BD＝8，CD＝4， 兩異面直線AC，BD所成的角為60°. 故由＝＋＋， 得||2＝|＋＋|2＝68， ∴||＝2.] 三、解答題 9．(2017·南昌模擬)如圖7-7-1

7、2，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E為棱SB上的一點(diǎn)，且SE＝2EB. 圖7-7-12 (1)證明：DE⊥平面SBC； (2)求二面角A-DE-C的大小． [解]　由題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)， 則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2).2分 (1)證明：∵SE＝2EB， ∴＝＋＝(1,1,0)＋(0,0,2)＝. 又＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,2)， ∴·

8、＝0，·＝0，4分 ∴⊥，⊥. 又BC∩BS＝B，∴DE⊥平面SBC.5分 (2)由(1)知，DE⊥平面SBC， ∵EC?平面SBC，∴DE⊥EC.7分 取DE的中點(diǎn)F， 則F，＝， 故·＝0，由此得FA⊥DE.10分 ∴向量與的夾角等于二面角A-DE-C的平面角， 又cos〈，〉＝＝－， ∴二面角A-DE-C的大小為120°.12分 10．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB.若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

9、理由． [解]　(1)證明：如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F(xiàn)， 則＝，＝(0，a,0).3分 ∵·＝0， ∴⊥，從而得EF⊥CD.5分 (2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G， 設(shè)G(x,0，z)，則＝. 若使GF⊥平面PCB，則FG⊥CB，F(xiàn)G⊥CP. ·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝.8分 由·＝·(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，即存在滿足條件的點(diǎn)G，且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).12分 B組　能力提升

10、 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2017·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為(　　) A. B. C. D. C　[取AD中點(diǎn)O，連接OA1，易證A1O⊥平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 得B(2，－1,0)，D1(0,2，)，＝(－2,3，)，平面ABCD的一個(gè)法向量為n＝(0,0,1)，設(shè)BD1與平面ABCD所成的角為θ，∴sin θ＝＝，∴tan θ＝.] 2．(2017·衡水中學(xué)質(zhì)檢)如圖7-7-13所示

11、，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是________． 圖7-7-13 MN∥平面BB1C1C　[以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系． ∵A1M＝AN＝， 則M，N，∴＝. 又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)， ∴＝(0，a,0)， ∴·＝0， ∴⊥. 又∵是平面BB1C1C的法向量，且MN?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.] 3．(2016·天津高考)如圖7-7-14，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G

12、為AB的中點(diǎn)，AB＝BE＝2. (1)求證：EG∥平面ADF； (2)求二面角O-EF-C的正弦值； (3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH＝HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值． 圖7-7-14 [解]　依題意，OF⊥平面ABCD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(xiàn)(0,0,2)，G(－1,0,0).2分 (1)證明：依題意，＝(2,0,0)，＝(1，－1,2)． 設(shè)n1＝(x1，y1，z1)

13、為平面ADF的法向量， 則即4分 不妨取z1＝1，可得n1＝(0,2,1)． 又＝(0,1，－2)，可得·n1＝0. 又因?yàn)橹本€EG?平面ADF，所以EG∥平面ADF.5分 (2)易證＝(－1,1,0)為平面OEF的一個(gè)法向量，依題意， ＝(1,1,0)，＝(－1,1,2).7分 設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面CEF的法向量，則 即 不妨取x2＝1， 可得n2＝(1，－1,1).9分 因此有cos〈，n2〉＝＝－， 于是sin〈，n2〉＝. 所以，二面角O-EF-C的正弦值為. (3)由AH＝HF，得AH＝AF.因?yàn)椋?1，－1,2)，所以＝＝，進(jìn)而有H，從而＝. 因此cos〈，n2〉＝＝－. 所以，直線BH和平面CEF所成角的正弦值為.12分