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1、專題06 數(shù)列
一.基礎(chǔ)題組
1. 【2014上海,理8】 設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列{}的公比為q,若,則q= .
【答案】
【考點(diǎn)】無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和.
2. 【2013上海,理10】設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1,x2,…,x19的公差,隨機(jī)變量ξ等可能地取值x1,x2,…,x19,則方程Dξ=______.
【答案】30|d|
3. 【2013上海,理17】在數(shù)列{an}中,an=2n-1.若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素cij=ai·aj+ai+aj(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為( )
A.18
2、 B.28 C.48 D.63
【答案】A
4. 【2012上海,理6】有一列正方體,棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列,體積分別記為V1,V2,…,Vn,…,則__________.
【答案】
5. 【2011上海,理18】設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列,Ai是邊長(zhǎng)為ai,ai+1的矩形的面積(i=1,2,…),則{An}為等比數(shù)列的充要條件是( )
A.{an}是等比數(shù)列
B.a(chǎn)1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比數(shù)列
C.a(chǎn)1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比數(shù)列
D.a(chǎn)1,a3
3、,…,a2n-1,…和a2,a4,…a2n,…均是等比數(shù)列,且公比相同
【答案】D
6. 【2010上海,理11】將直線:、:(,)軸、軸圍成的封閉圖形的面積記為,則 ;
【答案】1
【點(diǎn)評(píng)】本題將直線與直線的位置關(guān)系與數(shù)列極限結(jié)合,考查兩直線的交點(diǎn)的求法、兩直線垂直的充要條件、四邊形的面積計(jì)算以及數(shù)列極限的運(yùn)算法則,是本次考題的一個(gè)閃光點(diǎn).
7. (2009上海,理12)已知函數(shù)f(x)=sinx+tanx,項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列{an}滿足an∈(,),且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,則當(dāng)k=__________時(shí),f(ak)
4、=0.
【答案】14
8. (2009上海,理23)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分.
已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.
(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?說(shuō)明理由;
(2)找出所有數(shù)列{an}和{bn},使對(duì)一切n∈N*,,并說(shuō)明理由;
(3)若a1=5,d=4,b1=q=3,試確定所有的p,使數(shù)列{an}中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和是數(shù)列{bn}中的一項(xiàng),請(qǐng)證明.
【答案】(1) 不存在;(2) {an}為非零常數(shù)列,{bn}為恒等于1的常數(shù)列;(3)參考解析
5、
9. 【2008上海,理14】 若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為a-的無(wú)窮等比數(shù)列,且{an}各項(xiàng)的和為a,則a的值
是( ) A.1 B.2 C. D.
【答案】
10. 【2005上海,理12】用個(gè)不同的實(shí)數(shù)可得到個(gè)不同的排列,每個(gè)排列為一行寫成一個(gè)行的數(shù)陣。對(duì)第行,記,。例如:用1,2,3可得數(shù)陣如圖,由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12,所以,,那么,在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中,=________.
【答案】-1080
11. 【2005上海,理20】(本題滿分14分)本題共有2
6、個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.
假設(shè)某市2004年新建住房400萬(wàn)平方米,其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房.預(yù)計(jì)在今后的若干年后,該市每年新建住房面積平均比上年增長(zhǎng)8%.另外,每年新建住房中,中底價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米.那么,到哪一年底
(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2004年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)平方米?
(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?
【答案】(1)2013;(2)2009
二.能力題組
1. 【2013上海,理23】(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分3分,第2小
7、題滿分6分,第3小題滿分9分.
給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.數(shù)列a1,a2,a2,…滿足an+1=f(an),n∈N*.
(1)若a1=-c-2,求a2及a3;
(2)求證:對(duì)任意n∈N*,an+1-an≥c;
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1) a2=2,a3=c+10 ;(2)參考解析; (3) [-c,+∞)∪{-c-8}
2. 【2012上海,理23】對(duì)于數(shù)集X={-1,x1,x2,…,xn},其中0<x1<x2<…<xn,n≥2,定義向量集
8、Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X}.若對(duì)任意a1∈Y,存在a2∈Y,使得a1·a2=0,則稱X具有性質(zhì)P.例如{-1,1,2}具有性質(zhì)P.
(1)若x>2,且{-1,1,2,x}具有性質(zhì)P,求x的值;
(2)若X具有性質(zhì)P,求證:1∈X,且當(dāng)xn>1時(shí),x1=1;
(3)若X具有性質(zhì)P,且x1=1,x2=q(q為常數(shù)),求有窮數(shù)列x1,x2,…,xn的通項(xiàng)公式.
【答案】(1) 4;(2) 參考解析;(3) xk=qk-1
由
3. 【2011上海,理22】已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*).將集合{x|x=an,
9、n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列c1,c2,c3,…cn,….
(1)寫出c1,c2,c3,c4;
(2)求證:在數(shù)列{cn}中,但不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)恰為a2,a4,…a2n…;
(3)求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.
【答案】(1) 9,11,12,13; (2)參考解析; (3)參考解析
4. 【2010上海,理20】 (本題滿分13分)本題共有2個(gè)小題,第一個(gè)小題滿分5分,第2個(gè)小題滿分8分。
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,
(1)證明:是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求出為何值時(shí),取得最小值,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)
10、(2)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和公式、不等式的解法以及方程和函數(shù)思想.本題的實(shí)質(zhì)是:已知遞推公式(,為常數(shù))求通項(xiàng)公式.
5. 【2008上海,理21】(3’+7’+8’)已知以a1為首項(xiàng)的數(shù)列{an}滿足:an+1=
⑴ 當(dāng)a1=1,c=1,d=3時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
⑵ 當(dāng)0<a1<1,c=1,d=3時(shí),試用a1表示數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100
⑶ 當(dāng)0<a1<(m是正整數(shù)),c=,d≥3m時(shí),求證:數(shù)列a2-,a3m+2-,a6m+2-,a9m+2-成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)d=3m
6. 【2007上海,理20】若有窮數(shù)列(是正整數(shù)),滿足即
(是
11、正整數(shù),且),就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”。
(1)已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列,且成等差數(shù)列,,試寫出的每一項(xiàng)
(2)已知是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列,且構(gòu)成首項(xiàng)為50,公差為的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為,則當(dāng)為何值時(shí),取到最大值?最大值為多少?
(3)對(duì)于給定的正整數(shù),試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)的對(duì)稱數(shù)列,使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng);當(dāng)時(shí),試求其中一個(gè)數(shù)列的前2008項(xiàng)和
7. 【2006上海,理21】(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分)
已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)(整數(shù)≥2),首項(xiàng)=2.設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為,且=+2(=1,2,┅,2-1),
12、其中常數(shù)>1.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若=2,數(shù)列滿足=(=1,2,┅,2),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若(2)中的數(shù)列滿足不等式|-|+|-|+┅+|-|+|-|≤4,求的值.
【答案】(1)參考解析;(2)bn ;(3)k=2,3,4,5,6,7
三.拔高題組
1. 【2008上海,理20】(本題滿分18分)本題共3個(gè)小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.
已知數(shù)列滿足.
(1) 若,求的取值范圍;
(2) 若是公比為等比數(shù)列,,求的取值范圍;
(3) 若成等差數(shù)列,且,求正整數(shù)的最大值,以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.
【答案】(1);(2);(3)的最大值為1999,此時(shí)公差為.
【考點(diǎn)】解不等式(組),數(shù)列的單調(diào)性,分類討論,等差(比)數(shù)列的前項(xiàng)和.