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專題跟蹤突破6 解直角三角形的實際應用
1.(2016·瀘州)如圖,為了測量出樓房AC的高度,從距離樓底C處60米的點D(點D與樓底C在同一水平面上)出發(fā),沿斜面坡度為i=1∶的斜坡DB前進30米到達點B,在點B處測得樓頂A的仰角為53°,求樓房AC的高度.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈,計算結(jié)果用根號表示,不取近似值)
解:如圖作BN⊥CD于N,BM⊥AC于M.在Rt△BDN中,BD=30,BN∶ND=1∶,∴BN=15,DN=15,∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°,∴四邊形CMBN是矩形,∴C
2、M=BN=15,BM=CN=60-15=45,在Rt△ABM中,tan∠ABM==,∴AM=60,∴AC=AM+CM=15+60
2.(2016·眉山)如圖,埃航MS804客機失事后,國家主席親自發(fā)電進行慰問,埃及政府出動了多艘艦船和飛機進行搜救,其中一艘潛艇在海面下500米的A點處測得俯角為45°的前下方海底有黑匣子信號發(fā)出,繼續(xù)沿原方向直線航行2 000米后到達B點,在B處測得俯角為60°的前下方海底有黑匣子信號發(fā)出,求海底黑匣子C點距離海面的深度.(結(jié)果保留根號)
解:過C作CD⊥AB于D,交海面于點E,設(shè)BD=x,∵∠CBD=60°,∴tan∠CBD==,∴CD=x
3、.∵AB=2 000,∴AD=x+2 000,∵∠CAD=45°∴tan∠CAD==1,∴x=x+2 000,解得x=1 000+1 000,∴CD=(1 000+1 000)=3 000+1 000,∴CE=CD+DE=3 000+1 000+500=3 500+1 000.答:黑匣子C點距離海面的深度為(3 500+1 000)米
3.(2016·昆明)如圖,大樓AB右側(cè)有一障礙物,在障礙物的旁邊有一幢小樓DE,在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°,測得大樓頂端A的仰角為45°(點B,C,E在同一水平直線上),已知AB=80 m,DE=10 m,求障礙物B,C兩點間的距離
4、.(結(jié)果精確到0.1 m;參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)
解:如圖,過點D作DF⊥AB于點F,過點C作CH⊥DF于點H.則DE=BF=CH=10 m,在Rt△ADF中,∵AF=80 -10=70 (m),∠ADF=45°,∴DF=AF=70 m.在Rt△CDE中,∵DE=10 m,∠DCE=30°,∴CE===10(m),∴BC=BE-CE=70-10 ≈70-17.32≈52.7(m).答:障礙物B,C兩點間的距離約為52.7 m
4.(2016·濟寧)某地的一座人行天橋如圖所示,天橋高為6米,坡面BC的坡度為1∶1,為了方便行人推車過天橋,有關(guān)部門決定降低坡
5、度,使新坡面的坡度為1∶.
(1)求新坡面的坡角a;
(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否需要拆除?請說明理由.
解:(1)∵新坡面的坡度為1∶,∴tanα=tan∠CAB==,∴∠α=30°.答:新坡面的坡角a為30°
(2)文化墻PM不需要拆除.過點C作CD⊥AB于點D,則CD=6,∵坡面BC的坡度為1∶1,新坡面的坡度為1∶ ,∴BD=CD=6,AD=6,∴AB=AD-BD=6-6<8,∴文化墻PM不需要拆除
5.(2016·鄂州)為了維護海洋權(quán)益,新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度,一天,有兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A,B兩
6、處巡邏,同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在C處海域.如圖所示,AB=60(+)海里,在B處測得C在北偏東45°的方向上,A處測得C在北偏西30°的方向上,在海岸線AB上有一燈塔D,測得AD=120(-)海里.
(1)分別求出A與C及B與C的距離AC,BC;(結(jié)果保留根號)
(2)已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群,在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查,圖中有無觸礁的危險?(參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73,=2.45)
解:(1)如圖所示,過點C作CE⊥AB于點E,可得∠CBD=45°,∠CAD=60°,設(shè)CE=x,在Rt△CBE中,BE=CE=x,在Rt△CAE中,AE=x,∵AB
7、=60(+)海里,∴x+x=60(+),解得x=60,則AC=x=120,BC=x=120,答:A與C的距離為120海里,B與C的距離為120海里
(2)如圖所示,過點D作DF⊥AC于點F,在△ADF中,∵AD=120(-),∠CAD=60°,∴DF=ADsin60°=180-60≈106.8>100,故海監(jiān)船沿AC前往C處盤查,無觸礁的危險
6.(2016·樂山)如圖,禁止捕魚期間,某海上稽查隊在某海域巡邏,上午某一時刻在A處接到指揮部通知,在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船,正在沿南偏東75°方向以每
8、小時10海里的速度航行,稽查隊員立即乘坐巡邏船以每小時14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā),在C處成功攔截捕魚船,求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時間.
解:設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時間為x小時,如圖所示,由題意得:∠ABC=45°+75°=120°,AB=12,BC=10x,AC=14x,過點A作AD⊥CB的延長線于點D,在Rt△ABD中,AB=12,∠ABD=60°,∴BD=AB·cos60°=AB=6,AD=AB·sin60°=6,∴CD=10x+6.在Rt△ACD中,由勾股定理得:(14x)2=(10x+6)2+(6)2,解得x1=2,x2=-(不合題意舍去).答:巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時間為2小時