《高中數(shù)學必修4教案：4_備課資料（2_2_3向量數(shù)乘運算及其幾何意義）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學必修4教案：4_備課資料（2_2_3向量數(shù)乘運算及其幾何意義）（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
備課資料
一、向量的數(shù)乘運算律的證明
設(shè)a、b為任意向量,λ、μ為任意實數(shù),則有
(1)λ(μa)=(λμ)a; ①
(2)(λ+μ)a=λa+μa; ②
(3)λ(a+b)=λa+λb. ③
證明：(1)如果λ=0或μ=0或a=0,則①式顯然成立.
如果λ≠0,μ≠0,且a≠0,則根據(jù)向量
2、數(shù)乘的定義,有
|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,
|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.
所以|λ(μa)|=|(λμ)a|.
如果λ、μ同號,則①式兩邊向量的方向都與a同向;如果λ、μ異號,則①式兩邊向量的方向都與a反向.
因此,向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向,所以這兩個向量相等.
(2)如果λ=0或μ=0或a=0,則②顯然成立.
如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下兩種情況:
當λ、μ同號時,則λa和μa同向,所以
|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,
|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ
3、||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,
即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.
由λ、μ同號,知②式兩邊向量的方向或都與a同向,或都與a反向,即②式兩邊向量的方向相同.
綜上所述,②式成立.
如果λ、μ異號,當λ>μ時,②式兩邊向量的方向都與λa的方向相同;當λ<μ時,②式兩邊向量的方向都與μa的方向相同.
還可證|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立.
(3)當a=0,b=0中至少有一個成立,或λ=0,λ=1時,③式顯然成立.
圖13
當a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1時,
可分如下兩種情況:
當λ>0且λ≠1時如圖13,在平面內(nèi)任取一點O作=a,
4、=b,=λa,=λb,則=a+b,=λa+λb.
由作法知∥,有∠OAB=∠OA1B1,||=λ||.
所以|==λ.所以△AOB∽△A1OB1.
所以=λ,∠AOB=∠A1OB1.
圖14
因此O、B、B1在同一條直線上,||=|λ|,與λ的方向也相同.
所以λ(a+b)=λa+λb.
當λ<0時,由圖14可類似證明λ(a+b)=λa+λb.
所以③式也成立.
二、備用習題
1.[(2a+8b)-(4a-2b)]等于（ ）
A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b
2.設(shè)兩非零向量
5、e1、e2不共線,且ke1+e2與e1+ke2共線,則k的值為（ ）
A.1 B.-1 C.±1 D.0
3.若向量方2x-3(x-2a)=0,則向量x等于（ ）
A.a B.-6a C.6a D.a
4.在△ABC=,EF∥BC,EF交AC于F,設(shè)=a,=b,則用a、b表示的形式是=_________.
5.在△ABC,M、N、P分別是AB、BC、CA邊上的靠近A、B、C的三等分點,O是△ABC平面上的任意一點,
6、若+=e1-e2,則=________.
6.已知△ABC的重心為G,O為坐標原點,=a,=b,=c,
求證:=(a+b+c).
7.對判斷向量a=-2e與b=2e是否共線?有如下解法:
解:∵a=-2e,b=-2e,∴b=-a.∴a與b共線.請根據(jù)本節(jié)所學的共線知識給以評析.如果解法有誤,請給出正確解法.
參考答案:
1.B 2.C 3.C
4.-a+b
5. e1-e2.
6.連接AG并延長,設(shè)AG交于M.
∵=b-a,=c-a,=c-b,
∴=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a).
∴==(c+b-2a).
∴=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c
7、).
7.評析:乍看上述解答,真是簡單明快.然而,仔細研究題目已知,卻發(fā)現(xiàn)其解答存在問題,這是因為,原題已知中,對向量e并無任何限制,那么就應允許e=0,而當e=0時,顯然,a=0,b=0,此時,a不符合定理中的條件,且使b=λa成立的λ值也不唯一(如λ=-1,λ=1,λ=2等均可使b=λa成立),故不能應用定理來判斷它們是否共線.可見,對e=0的情況應另法判斷才妥.
綜上分析,此題應解答如下:
解:(1)當e=0時,則a=-2e=0.
由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”,所以此時a與b共線.
(2)當e≠0時,則a=-2e≠0,b=2e≠0,
∴b=-a〔這時滿足定理中的a≠0,及有且只有一個實數(shù)λ(λ=-1),使得b=λa成立〕.
∴a與b共線.
綜合(1)(2),可知a與b共線.
(設(shè)計者：沈獻宏)
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