《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第24課 二倍角的三角函數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第24課 二倍角的三角函數(shù)（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第24課 二倍角的三角函數(shù) [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 二倍角的正弦、余弦及正切 √ 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 2．二倍角公式的變形及逆用 (1)公式C2α的變形： ①sin2α＝(1－cos 2α)； ②cos2α＝(1＋cos 2α)． (2)公式的逆用： ①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝sin. 1．(思考辨析

2、)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)對(duì)?α∈R，sin 2α＝2sin α均不成立．(　　) (2)sin2－cos2＝cos ＝.(　　) (3)sin α＋cos α＝.(　　) (4)等式1＋cos α＝2sin2對(duì)?α∈R均成立．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列各式中值為的是________．(填序號(hào)) ①2sin 15°cos 15°；②cos215°－sin215°；③2sin215°－1；④sin215°＋cos215°. ②　[2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，cos215°－s

3、in215°＝cos 30°＝，2sin215°－1＝－cos 30°＝－， sin215°＋cos215°＝1.] 3．若sin α＝，α∈，則tan 2α＝________. －　[∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝＝， ∴tan α＝2， ∴tan 2α＝＝＝－.] 4．(2017·南京模擬)若tan α＝，則＝________. 　[＝＝tan α＝.] 5．(教材改編)函數(shù) f(x)＝sin x＋cos x的最小值為________． －2　[函數(shù)f(x)＝2sin的最小值是－2.] 應(yīng)用倍角公式求值 　(2017·無(wú)錫模擬)已知coscos＝－，

4、α∈. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－的值． [解]　(1)cos·cos ＝cos·sin ＝sin＝－， 即sin＝－. ∵α∈， ∴2α＋∈， ∴cos＝－， ∴sin 2α＝sin ＝sincos－cos·sin ＝. (2)∵α∈，∴2α∈. 又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－. ∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2. [規(guī)律方法]　給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．如本題中＋＝，從而先利用誘導(dǎo)公式變換函數(shù)名，進(jìn)而逆用二倍角公式求值． [變式訓(xùn)練1]　(20

5、17·南京、鹽城二模)已知α為銳角，cos＝. (1)求tan的值； (2)求sin的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172133】 [解]　(1)因?yàn)棣痢?，所以α＋∈? 所以sin＝＝， 所以tan＝＝2. (2)因?yàn)閟in＝sin＝2sincos＝， cos＝cos＝2cos2－1＝－， 所以sin＝sin＝sincos－cossin ＝. 應(yīng)用倍角公式化簡(jiǎn) 　(1)化簡(jiǎn)：＝________. (2)化簡(jiǎn)：. (1)2cos α　[原式＝＝2cos α.] (2)原式＝ ＝＝＝cos 2x. [規(guī)律方法]　1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則 (1)一看“角”

6、，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式． (2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，最常見的是“切化弦”． (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向． 2．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法 弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪． [變式訓(xùn)練2]　化簡(jiǎn)sin2＋sin2－sin2α＝________. 　[法一：原式＝＋－sin2α ＝1－－sin2α＝1－cos 2α·cos －sin2α＝1－－＝. 法二：令α＝0，則原式＝＋＝.] 三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用 　已知函數(shù)f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1

7、)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172134】 [解]　(1)由已知，有 f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)， 在區(qū)間上是增函數(shù)， 且f＝－，f＝－，f＝， 所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－. [規(guī)律方法]　1.進(jìn)行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用． 2．把形如y＝asin x＋bcos x化為y＝sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)

8、性、最值與對(duì)稱性． [變式訓(xùn)練3]　已知函數(shù)f(x)＝sinsin x－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)討論f(x)在上的單調(diào)性． [解]　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－. 因此f(x)的最小正周期為π，最大值為. (2)當(dāng)x∈時(shí)，0≤2x－≤π， 從而當(dāng)0≤2x－≤，即≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)≤2x－≤π，即≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞減． 綜上可知，f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減． [思想與方法] 1．三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn)要

9、注意觀察角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，然后進(jìn)行變換． 2．利用三角函數(shù)值求角要考慮角的范圍． 3．與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問(wèn)題．借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析式整理為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函數(shù)圖象解決． [易錯(cuò)與防范] 1．利用輔助角公式asin x＋bcos x轉(zhuǎn)化時(shí)，一定要嚴(yán)格對(duì)照和差公式，防止弄錯(cuò)輔助角． 2．計(jì)算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函數(shù)最值時(shí)，不要將ωx＋φ的范圍和x的范圍混淆． 課時(shí)分層訓(xùn)練(二十四) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．已知sin 2α＝，則cos2

10、等于________． 　[因?yàn)閏os2＝ ＝＝＝＝.] 2．設(shè)sin 2α＝－sin α，α∈，則tan 2α的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172135】 　[∵sin 2α＝2sinαcos α＝－sin α， ∴cos α＝－， 又α∈， ∴sin α＝，tan α＝－， ∴tan 2α＝＝＝.] 3．(2016·全國(guó)卷Ⅲ改編)若tan θ＝－，則cos 2θ＝________. 　[∵cos 2θ＝＝. 又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.] 4．已知sin α＝，α∈，則＝________. －　[ ＝ ＝cos α－sin α. ∵

11、sin α＝，α∈， ∴cos α＝－. ∴原式＝－.] 5．(2017·蘇州模擬)已知sin(α－45°)＝－且0°<α<90°，則cos 2α的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172136】 　[∵sin(α－45°)＝－， ∴sin α－cos α＝－， ∴2sin αcos α＝， ∴sin α＋cos α＝＝， ∴sin α＝，cos α＝. ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝.] 6．(2016·山東高考改編)函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是________． π　[法一：∵f(x)＝(sin x＋c

12、os x)(cos x－sin x) ＝4 ＝4sincos ＝2sin， ∴T＝＝π. 法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x) ＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x ＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin， ∴T＝＝π.] 7．(2017·蘇州模擬)若sin＝，則cos＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172137】 －　[cos＝cos ＝－cos＝－ ＝－＝－.] 8．化簡(jiǎn)＋2＝________. －2sin 4　[＋2 ＝＋2 ＝＋2 ＝－2cos 4＋2(cos 4－sin

13、4)＝－2sin 4.] 9．(2017·南通模擬)若α∈，且3cos 2α＝sin，則sin 2α的值為________． －　[∵3cos 2α＝sin， ∴3sin＝sin， ∴3×2sincos＝sin. ∴sin≠0，∴cos＝， 即sin α＋cos α＝， ∴sin 2α＝－＝－.] 10．已知cos4α－sin4α＝，且α∈， 則cos＝______________. 　[∵cos4α－sin4α＝cos2α－sin2α＝cos 2α＝， 又α∈，∴2α∈(0，π)． ∴sin 2α＝. ∴cos＝cos 2αcos－sin 2αsin ＝cos 2

14、α－sin 2α ＝×－× ＝.] 二、解答題 11．(2017·鹽城期中)已知函數(shù)f(x)＝sin xcos x－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)＝－1，求cos的值． [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝sin 2x－＝sin 2x－－＝sin－， 所以f(x)的最小正周期為T＝＝π. (2)因?yàn)閒(x)＝－1，所以sin－＝－1，即sin＝－， 所以cos＝cos＝sin＝－. 12．已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R. (1)求f的值； (2)若sin α＝，且α∈，求f. [解]　(1)f＝cos2＋sinco

15、s ＝2＋×＝. (2)因?yàn)閒(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x ＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin. 所以f＝＋sin ＝＋sin＝＋. 又因?yàn)閟in α＝，且α∈， 所以cos α＝－， 所以f＝＋ ＝. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．函數(shù)f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于________． 　[由題意知f(x)＝sin x＋4×＝sin x＋2cos x＋2≤＋2＝.] 2．如圖24-1，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C，B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∠AOC＝α.若|

16、BC|＝1，則cos2－sincos－的值為________． 圖24-1 　[由題意得|OB|＝|OC|＝|BC|＝1，從而△OBC為等邊三角形，∴sin∠AOB＝sin＝， ∴cos2－sin·cos－＝·－－＝－sin α＋cos α＝sin＝sin＝sin＝.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． [解]　∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝ ＝＝＞0， ∴0＜α＜. 又∵tan 2α＝＝＝＞0， ∴0＜2α＜， ∴tan(2α－β)＝ ＝＝1. ∵tan β＝－＜0， ∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－. 4．已知函數(shù)f(x)＝2sin xsin. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域． [解]　(1)f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋. 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. (2)當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈， sin∈， f(x)∈. 故f(x)的值域?yàn)?