《內蒙古呼倫貝爾市高三數(shù)學總復習《空間中的垂直關系》課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《內蒙古呼倫貝爾市高三數(shù)學總復習《空間中的垂直關系》課件（101頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第四十三講第四十三講 空間中的垂直關系空間中的垂直關系走進高考第一關走進高考第一關 考點關考點關回回 歸歸 教教 材材1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)定義定義:如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個平面垂直那么稱這條直線和這個平面垂直.記作記作L,直線直線L叫做平面叫做平面的垂線的垂線,平面平面叫做直線叫做直線L的垂面的垂面,直線與平面垂直時直線與平面垂直時,它們唯一的公共點它們唯一的公共點P叫做垂足叫做垂足.(2)判定定理判定定理:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都

2、垂直,那么該直那么該直線與此平面垂直線與此平面垂直.符號表示符號表示:若直線若直線A 平面平面,直線直線B ,直線直線LA,LB,AB=A,則則L.圖形表示圖形表示:(3)重要的真命題重要的真命題過一點有且只有一條直線與一個平面垂直；過一點有且只有一條直線與一個平面垂直；過一點有且只有一個平面與一條直線垂直過一點有且只有一個平面與一條直線垂直;如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也那么另一條也垂直于這個平面垂直于這個平面.2.平面與平面垂直平面與平面垂直(1)定義定義:兩個平面相交兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角如果它們所成的二面

3、角是直二面角,就就說這兩個平面互相垂直說這兩個平面互相垂直,記作記作:.(2)判定定理判定定理:如果一個平面經過另一個平面的一條垂線如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互那么這兩個平面互相垂直相垂直.符號表示符號表示:若直線若直線AB 平面平面,AB平面平面,則則.如圖所示如圖所示:3.直線與平面垂直的性質直線與平面垂直的性質(1)由線面垂直的定義可知由線面垂直的定義可知,若直線若直線A,B ,則則AB.(2)性質定理性質定理:如果兩條直線同垂直于一個平面如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直那么這兩條直線平行線平行.符號表示符號表示:若若AB,A,則則B.4.平面與平面垂

4、直的性質定理平面與平面垂直的性質定理兩個平面垂直兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直垂直.符號表示符號表示:,=CD,AB ,ABCD,ABCD=B,則則AB.線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化.判定定理判定定理性質定理性質定理線線垂直線面垂直面面垂直5.直線與平面所成的角直線與平面所成的角.(1)斜線在平面內的射影斜線在平面內的射影從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線過垂足和斜足的直線叫斜線在平面內的射影叫斜線在平面內的射影.(2)斜線與

5、平面所成的角斜線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直叫做這條直線和這個平面所成的角線和這個平面所成的角.說明說明:(1)一條直線和平面平行或在平面內一條直線和平面平行或在平面內,我們說它們所成的我們說它們所成的角是角是0的角的角.(2)一條直線垂直于平面一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角我們說它們所成的角是直角.(3)斜線和平面所成的角的范圍是斜線和平面所成的角的范圍是(0,90).6.二面角二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條這條直線叫作

6、二面角的棱直線叫作二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面這兩個半平面叫做二面角的面,以直線以直線AB為棱為棱,半平面半平面、為面的二面角為面的二面角,記作記作AB,也可記也可記作作AB.以二面角的棱上任一點為端點以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分別作垂直于在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角,如如圖圖,COD為二面角的平面角為二面角的平面角.說明說明:(1)二面角的平面角二面角的平面角COD的大小與點的大小與點O在在L上的位置無上的位置無關關.(2)構成二面角的平面角的條件構成二面角的平面角的條件

7、:二面角的頂點必須在棱二面角的頂點必須在棱上上,角的兩邊必須分別在兩個半平面內角的兩邊必須分別在兩個半平面內,角的兩邊必須都角的兩邊必須都與棱垂直與棱垂直,這三個條件缺一不可這三個條件缺一不可.(3)一個二面角的平面角的大小是唯一確定的一個二面角的平面角的大小是唯一確定的.考考 點點 訓訓 練練1.(2009山東山東)已知已知,表示兩個不同的平面表示兩個不同的平面,M為平面為平面內的內的一條直線一條直線,則則“ ”是是“M ”的的( )A.充分不必要條件充分不必要條件B.必要不充分條件必要不充分條件C.充要條件充要條件D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析:由平面與平面垂直的判定

8、定理知由平面與平面垂直的判定定理知,如果如果M為平面為平面內的一內的一條直線條直線,M,則則.反過來則不一定反過來則不一定.所以所以“”是是“M”的必要不充分條件。的必要不充分條件。答案答案:B2.給出下列四個命題給出下列四個命題:若直線若直線L平面平面,L平面平面,則則;各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱;一個二面角的兩個半平面所在平面分別垂直于另一個二面一個二面角的兩個半平面所在平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面所在平面角的兩個半平面所在平面,則這兩個二面角的平面角相等或互則這兩個二面角的平面角相等或互為補角為補角;過空間任意一點過空間任意一點P一定可

9、以作一個和兩條異面直線一定可以作一個和兩條異面直線(點點P不不在此兩條異面直線上在此兩條異面直線上)都平行的平面都平行的平面.其中不正確的命題的個數(shù)有其中不正確的命題的個數(shù)有( )A.1B.2C.3D.4答案答案:D解析解析:命題是錯誤的命題是錯誤的,由由L平面平面,L平面平面,則則與與可能相可能相交交;命題是錯誤的命題是錯誤的,各側面都是正方形各側面都是正方形,底面是菱形且不為正底面是菱形且不為正方形的棱柱不是正棱柱方形的棱柱不是正棱柱;命題是錯誤的命題是錯誤的,例如正方體例如正方體ABCDA1B1C1D1中中,將二面角將二面角A1ADB固定固定,另一個二面另一個二面角角ABB1C中中(如圖

10、所示如圖所示),將面將面ABB1A1固定固定,另一個面另一個面BCC1B1是繞是繞BB1運動的運動的,始終有面始終有面ABB1A1面面ADD1A1,面面BCC1B1面面ABCD,所以兩個二面角的平面角不一定相等或所以兩個二面角的平面角不一定相等或互為補角互為補角;命題是錯誤的命題是錯誤的,設兩條異面直線為設兩條異面直線為A,B,在直線在直線A上上任取一點任取一點A,過點過點A作直線作直線B,使使BB,設設B與與A確定平面確定平面,在在內取不在直線內取不在直線A上的一點上的一點P,則則過點過點P是不可能作一個與兩異面直線都平行的平面是不可能作一個與兩異面直線都平行的平面,故選故選D.3.如圖所示

11、如圖所示,棱長為棱長為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中中,E,F是側是側面對角線面對角線BC1,AD1上一點上一點,若若BED1F是菱形是菱形,則則BED1F在底面在底面ABCD上投影四邊形的面積是上投影四邊形的面積是( )13232A. B. C. D.2424答案答案:B4.(2009江西江西)如圖如圖,正四面體正四面體ABCD的頂點的頂點A,B,C分別在兩分別在兩兩垂直的三條射線兩垂直的三條射線OX,OY,OZ上上,則在下列命題中則在下列命題中,錯誤的錯誤的為為( )A. OABC是正三棱錐是正三棱錐B.直線直線OB平面平面ACDC.直線直線AD與與OB所成的角是所成的角是4

12、5D.二面角二面角DOBA為為45答案答案:B解析解析:設設OA=A,OB=B,OC=C,由題意由題意,A2+B2=A2+C2=B2+C2A=B=C,OABC為正三棱錐為正三棱錐,故故A正確正確.O在正三角形在正三角形ABC上的射影為它的中心上的射影為它的中心,由由A的結論正確的結論正確,可可知知OD平面平面ABC交交ABC的中心于的中心于E,連結連結BE并延長交并延長交AC于于F,則則F為為AC的中點的中點,連結連結DF,若若OB解讀高考第二關解讀高考第二關 熱點關熱點關題型一題型一 垂直關系的考查垂直關系的考查例例1已知已知A,B是兩條直線是兩條直線,是兩個平面是兩個平面,給出下列命題給出

13、下列命題:若直線若直線A垂直于垂直于內兩條相交直線內兩條相交直線,則則A;若直線若直線B垂直于平面垂直于平面內的無數(shù)條直線內的無數(shù)條直線,則則B;若若A,B ,則則AB;若若A,B ,AB,則則.其中正確的命題是其中正確的命題是_.答案答案:解析解析:由線面垂直的判定定理可知由線面垂直的判定定理可知,正確正確,錯誤錯誤,當直線當直線B與與平面平面內的無數(shù)條直線垂直內的無數(shù)條直線垂直,而這無數(shù)條直線是相互平行的直而這無數(shù)條直線是相互平行的直線時線時,B與與不一定垂直不一定垂直.由由A,.A,又又B ,AB.故正確故正確.若若A,AB,則則B,又又B ,故正確故正確.點評點評:解決這類問題的關鍵就

14、是分清線面位置關系的判定定理解決這類問題的關鍵就是分清線面位置關系的判定定理和性質定理的條件和性質定理的條件,并結合長方體模型或實際空間位置作出正并結合長方體模型或實際空間位置作出正確的判斷確的判斷.變式變式1:(1)對于直線對于直線M,N和平面和平面、,能得出能得出的一個條件的一個條件是是( )A.MN,M,NB.MN,=M,N C.MN,N,M D.MN,M,N答案答案:C解析解析:(1)如圖所示如圖所示,選一個正方體選一個正方體ABCDA1B1C1D1,把把AD看看做直線做直線M,BB1看做直線看做直線N,把平面把平面BB1C1C作為平面作為平面,平面平面AA1C1C作為平面作為平面,A

15、雖然滿足雖然滿足MN,M,N,但但不垂不垂直于直于,從而否定從而否定A;類似地可否定類似地可否定B和和D,因此選因此選C.題型二題型二 垂直關系的證明垂直關系的證明例例2(2009海南寧夏海南寧夏)如圖所示如圖所示,在三棱錐在三棱錐PABC中中,PAB是等邊三角形是等邊三角形,PAC=PBC=90.(1)證明證明:ABPC;(2)若若PC=4,且平面且平面PAC平面平面PBC,求三棱錐求三棱錐PABC的體積的體積.解解:(1)證明證明:因為因為PAB是等邊三角形是等邊三角形,PAC=PBC=90,所以所以RTPBC RTPAC,可得可得AC=BC.如圖如圖,取取AB中點中點D,連結連結PD,C

16、D,則則PDAB,CDAB,又又PDDC=D,所以所以AB平面平面PDC,所以所以ABPC.(2)解解:作作BEPC,垂足為垂足為E,連結連結AE.因為因為RTPBC RTPAC,所以所以AEPC,AE=BE.由已知平面由已知平面PAC平面平面PBC,AEB=90.因為因為RTAEB RTPEB,所以所以AEB,PEB,CEB都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形.由已知由已知PC=4,得得AE=BE=2,AEB的面積的面積S=2.因為因為PC平面平面AEB,8PC.3 1PABCVS3所以三棱錐的體積點評點評:在證明垂直關系時在證明垂直關系時,要利用轉化思想要利用轉化思想,依據(jù)垂直的判定定依據(jù)

17、垂直的判定定理、性質定理等理、性質定理等,將線與線、線與面、面與面之間的垂直與平將線與線、線與面、面與面之間的垂直與平行相互轉化行相互轉化.例例3如圖如圖,在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1中中,ABBC,BCBC1,AB=BC1,E,F,G分別為線段分別為線段AC1,A1C1,BB1的中點的中點,求證求證:(1)平面平面ABC平面平面ABC1;(2)EF平面平面BCC1B1;(3)FG平面平面AB1C1.解解:(1)ABBC,BCBC1,ABBC1=B,BC平面平面ABC1,又又BC 平面平面ABC,平面平面ABC平面平面ABC1.(2)在在AA1C1中中,E、F分別為分別為AC1,A1C1

18、的中點的中點,EFAA1,幾何體幾何體ABCA1B1C1為三棱柱為三棱柱,BB1AA1,EFBB1,BB1 平面平面BCC1B1,EF 平面平面BCC1B1,EF平面平面BCC1B1.(3)在在AA1C1中中,E,F分別為分別為AC1,A1C1的中點的中點,1/ /,2,1/ /,2/ /,BE,11111111EFAA EFAAABCA B CGBBBGAA BGAAEFBGEFBGBEFG在三棱柱中為的中點且連接四邊形為平行四邊形變式變式2:(2010安徽模擬安徽模擬)已知已知P在矩形在矩形ABCD邊邊CD上上,AB=2,BC=1,F在在AB上且上且DFAP,垂足為垂足為E,將將ADP沿沿

19、AP折起折起,使點使點D位于位于D位置位置,連連DB、DC得四棱錐得四棱錐D-ABCP.(1)求證求證DFAP;(2)若若PD=1并且平面并且平面DAP平面平面ABCP,求四棱錐求四棱錐D-ABCP的體積的體積.證明證明:(1)APDE,APEF,又又DE,EF是面是面DEF內兩相交直線內兩相交直線,AP平面平面DEF,APDF.(2)PD=1,四邊形四邊形ADPF是邊長為是邊長為1的正方形的正方形,ABCP2EDEEF,2,AP,ABCP,13() 1,2212.34 ABCPDABCPDD APABCP DEDES12VDE S梯形梯形平面平面平面題型三題型三 垂直關系的綜合應用垂直關系的

20、綜合應用例例4(2009浙江浙江)如圖如圖,平面平面PAC平面平面ABC,ABC是以是以AC為斜邊的等腰直角三角形為斜邊的等腰直角三角形,E,F,O分別為分別為PA,PB,AC的中的中點點,AC=16,PA=PC=10.(1)設設G是是OC的中點，證明的中點，證明:FG平面平面BOE;(2)證明證明:在在ABO內存在一點內存在一點M,使使FM平面平面BOE,并求點并求點M到到OA,OB的距離的距離.解解:(1)證明證明:如圖所示如圖所示,設設PE的中點為的中點為H,連結連結HG,HF.因為點因為點E,O,G,H分別是分別是PA,AC,OC,PE的中點的中點,所以所以HGOE,HFEB.因此平面

21、因此平面FGH平面平面BOE.因為因為FG在平面在平面FGH內內,所以所以FG平面平面BOE.(2)解解:在平面在平面OAP內內,過點過點P作作PNOE,交交OA于點于點N,交交OE于于點點Q.如圖所示如圖所示.連結連結BN,過點過點F作作FMPN,交交BN于點于點M.下證下證FM平面平面BOE.由題意由題意,得得OB平面平面PAC,所以所以OBPN.又又PNOE,所以所以PN平面平面BOE.因此因此FM平面平面BOE.所以點所以點N在線段在線段OA上上.因為因為F是是PB的中點的中點,所以所以M是是BN的中點的中點,因此點因此點M在在AOB內內,點點M到到OA,OB的距離分別為的距離分別為1

22、19O B4,O N.224點評點評:在應用線面關系的定理過程中要學會找平面做媒介在應用線面關系的定理過程中要學會找平面做媒介,注注意線面、面面的相互轉化意線面、面面的相互轉化.(),.11115 2009ABCA B CAB1 ACAA3ABC60例陜西 如圖 在直三棱柱中(1)證明證明:ABA1C;(2)求二面角求二面角AA1CB的正切值的正切值.解解:(1)證明證明:三棱柱三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱為直三棱柱,ABAA1.在在ABC中中,AB=1,AC= ,ABC=60,由正弦定理得由正弦定理得ACB=30,BAC=90,即即ABAC.AB平面平面ACC1A1,又又A1C 平面平

23、面ACC1A1,ABA1C.3(2)解解:如圖所示如圖所示,作作ADA1C交交A1C于于D點點,連結連結BD,又又ABA1CA1C平面平面ABDBDA1C,ADB為二面角為二面角AA1CB的平面角的平面角.在在RTAA1C中中,點評點評:計算二面角的關鍵是準確作出二面角的平面角計算二面角的關鍵是準確作出二面角的平面角.從分析從分析構成二面角的圖形結構入手構成二面角的圖形結構入手,從中發(fā)現(xiàn)一些線、面、體的特殊從中發(fā)現(xiàn)一些線、面、體的特殊位置關系位置關系,找到二面角的平面角找到二面角的平面角.變式變式3:如圖如圖,四棱錐四棱錐PABCD的底面為正方形的底面為正方形,PA平面平面ABCD,PA=AB

24、,F為為PA上的點上的點.(1)求證求證:無論點無論點F在在PA上如何移動上如何移動,都有都有BDFC;(2)若若PC平面平面FBD,求二面角求二面角FBDA的余弦值的余弦值.解解:(1)設設ACBD=O,底面底面ABCD為正方形為正方形,ACBD.又又PA平面平面ABCD,PABD,又又PAAC=A,BD平面平面PAC,由于由于F為為PA上的點上的點,FC 平面平面PAC.BDFC.即無論點即無論點F在在PA上如何移動上如何移動,都有都有BDFC.(2)由條件由條件PC平面平面FBD,F點即為點即為PA的中點的中點,又由得又由得,BD平面平面PAC,BDAO,BDFO,FOA為二面角為二面角

25、PBDA的平面角的平面角.不妨設正方形的邊長為不妨設正方形的邊長為1,笑對高考第三關笑對高考第三關 技巧關技巧關考考 向向 精精 測測1.已知直線已知直線L平面平面,直線直線M 平面平面,有下面四個命題有下面四個命題LM;LM;LM;LM.其中正確的是其中正確的是( )A.B.C.D.答案答案:D2.如圖如圖,四棱臺四棱臺ABCDA1B1C1D1的直視圖和三視圖的直視圖和三視圖,底面底面ABCD是邊長為是邊長為2的的形形,BAD=60,A1A=D1D=A1D1=1,M,N分別為分別為A1D1,AD的的中點中點.(1)由三視圖判斷平面由三視圖判斷平面AA1D1D與平面與平面ABCD的位置關系的位

26、置關系(只只須作出判斷須作出判斷);(2)求證求證:BC平面平面MNBB1;(3)求二面角求二面角A1ABD的余弦值的余弦值.解解:(1)平面平面AA1D1D平面平面ABCD.(2)由條件知四邊形由條件知四邊形AA1D1D為等腰梯形為等腰梯形.M,N為上下底邊的中點為上下底邊的中點,MNAD.又又AN= AB=1,BAD=60,ABN為直角三角形為直角三角形,BNAD.又又MNBN=N,AD平面平面MNBB1.ADBC,BC平面平面MNBB1.12(3)如圖作如圖作A1HAD于點于點H,在底面在底面ABCD上作上作HEAB于點于點E,連接連接A1E.平面平面AA1D1D平面平面ABCD,A1H

27、平面平面ABCD,HEAB,A1EAB.A1EH為二面角為二面角A1ABD的平面角的平面角.課時作業(yè)課時作業(yè)(四十三四十三) 空間中的垂直關系空間中的垂直關系一、選擇題一、選擇題1.已知平面已知平面平面平面,=C,直線直線A ,直線直線B ,A,C不垂不垂直直,且且A,B,C交于同一點交于同一點P,則則“BC”是是“BA”的的( )A.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件B.充分不必要條件充分不必要條件C.必要不充分條件必要不充分條件D.充要條件充要條件答案答案:D解析解析:BC,B ,B.又又A ,BA.反之如圖反之如圖:在在A上取一點上取一點A,作作ABC,則有則有AB,ABB.又又B

28、A,AAB=A.B.BC,即這是一個充要條件即這是一個充要條件.2.已知兩條不同的直線已知兩條不同的直線M,N,兩個不同的平面兩個不同的平面,則下列命題則下列命題中正確的是中正確的是( )A.若若M,N,則則MNB.若若M,N,則則MNC.若若M,N,則則MND.若若M,N,則則MN答案答案:A3.如圖如圖,正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都是的各棱長都是2,E、F分別是分別是AB、A1C1的中點的中點,則則EF與平面與平面ABC所成角的正弦值為所成角的正弦值為( )13A.B.222 52 7C. D.57解析解析:如圖所示如圖所示,取取AC的中點的中點G,連結連結EG、FG,則易

29、得則易得FG平平面面ABC,FEG即為直線即為直線EF與平面與平面ABC所成的角所成的角,易知易知FG=2,EG=1, ,C.2 5EF5 sin FEG5選答案答案:C4.若平面若平面平面平面=A,平面平面平面平面,平面平面平面平面,則則A在平在平面面內的射影是內的射影是( )A.一條線段一條線段B.一條直線一條直線C.一個點一個點D.不能確定不能確定答案答案:C解析解析:如圖如圖,在在內取一點內取一點O A,=B,=C,過過O作直線作直線OAB,OBC.又又,OA,OB,OAA,OBA,A.故故A在平面在平面內的射影是一個點內的射影是一個點.5.在正四面體在正四面體PABC中中,D、E、F

30、分別是分別是AB、BC、CA的中的中點點,下列結論不成立的是下列結論不成立的是( )A. BC平面平面PDFB. DF平面平面PAEC.平面平面PDE平面平面ABCD.平面平面PDF平面平面PAE答案答案:C解析解析:如圖如圖,DFBC,DF 平面平面PDF,BC平面平面PDF,A正確正確;PB=PC,AB=AC,PEBC,AEBC,則則BC平面平面PAE.又又DFBC,DF平面平面PAE,B正確正確.DF 面面PDF,平面平面PDF平面平面PAE,D正確正確.故選故選C.6.在四面體在四面體PABC中中,若若PA=PB=PC,則點則點P在平面在平面ABC內的內的射影是射影是ABC的的( )A

31、.外心外心B.內心內心C.垂心垂心D.重心重心答案答案:A解析解析:P在平面在平面ABC內的射影為內的射影為O,由由PA=PB=PC,則對應的則對應的射影射影OA=OB=OC,故故O為為ABC的外心的外心.選選A.二、填空題二、填空題7.在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中中,二面角二面角C1ABC的平面的平面角等于角等于_.答案答案:45解析解析:如圖如圖,正方體正方體ABCDA1B1C1D1中中,AB平面平面BCC1,BCAB,BC1AB,則則C1BC是二面角是二面角C1ABC的平面角的平面角,又又BCC1是等腰直角三角形是等腰直角三角形,則則C1BC=45.8.四邊形四邊形ABCD

32、是正方形是正方形,PA平面平面ABCD,在平面在平面PAB、PBC、PCD、PDA和和ABCD中中,互相垂直的平面一共有互相垂直的平面一共有_對對.答案答案:5解析解析:如圖如圖,已知已知PA平面平面ABCD,PA 面面PAB,PA 面面PDA,平面平面PAB平面平面ABCD,平面平面PDA平面平面ABCD.又又BCAB,BC面面PAB,ADAB,AD面面PAB.面面PAD面面PAB,面面PBC面面PAB.又又CDAD,CDPA,CD面面PAD.平面平面PCD平面平面PDA,故共有故共有5對互相垂直的平面對互相垂直的平面.9.已知直線已知直線L平面平面,直線直線M 平面平面,有下面四個命題有下

33、面四個命題:LM;LM;LM;LM.其中正確的命題是其中正確的命題是_.答案答案:解析解析:,L,L.又又M ,LM.故對故對.中中L有可能平行于有可能平行于M,也可能與也可能與M異面異面.中中L,LM,M.又又M ,.故對故對.L,LM,M,.錯錯.正確的命題是正確的命題是.10.已知正三角形已知正三角形ABC的邊長為的邊長為10,以過以過ABC的中心且平行的中心且平行于于BC的直線的直線EF為棱為棱,將三角形折成直二面角將三角形折成直二面角AEFB,折起折起后后A、B間的距離是間的距離是_.:.3610答案三、解答題三、解答題11.(2009山東山東)如圖如圖,在直四棱柱在直四棱柱ABCD

34、A1B1C1D1中中,底面底面ABCD為等腰梯形為等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分分別是棱別是棱AD,AA1的中點的中點.(1)設設F是棱是棱AB的中點的中點,證明證明:EE1平面平面FCC1;(2)證明證明:平面平面D1AC平面平面BB1C1C.證明證明:(1)如圖如圖(1),取取A1B1的中點為的中點為F1,(1)連結連結FF1,C1F1,由于由于FF1BB1CC1,所以所以F1平面平面FCC1,因此平面因此平面FCC1即為平面即為平面C1CFF1,連結連結A1D,F1C,/ /CD,/ /C.11111111A FD CA DCFA DF由于所以四邊形

35、為平行四邊形因此又又EE1A1D,得得EE1F1C,而而EE1 平面平面FCC1,F1C 平面平面FCC1,故故EE1平面平面FCC1.(2)如圖如圖(2),連結連結AC,在在FBC中中,FC=BC=FB,(2)又又F為為AB的中點的中點,所以所以AF=FC=FB,因此因此ACB=90,即即ACBC.又又ACCC1,且且CC1BC=C,所以所以AC平面平面BB1C1C,而而AC 平面平面D1AC,故平面故平面D1AC平面平面BB1C1C.12.在四棱錐在四棱錐PABCD中中,底面底面ABCD是是DAB=60,且邊長且邊長為為A的菱形的菱形,側面?zhèn)让鍼AD為正三角形為正三角形,其所在平面垂直于底

36、面其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若若G為為AD邊的中點邊的中點,求證求證:BG平面平面PAD;(2)求證求證:ADPB;(3)若若E為為BC邊的中點邊的中點,能否在棱能否在棱PC找到一點找到一點F,使平面使平面DEF平面平面ABCD,并證明你的結論并證明你的結論.解解:(1)菱形菱形ABCD中中,DAB=60,G為為AD的中點的中點,BGAD,又平面又平面PAD平面平面ABCD,平面平面PAD平面平面ABCD=AD,BG平面平面PAD.(2)連結連結PG,PAD為正三角形為正三角形,G為為AD的中點的中點,PGAD,由由(1)知知BGAD,PGBG=G,PG 平面平面PGB,BG 平面平面PGB,AD平面平面PGB.PB 平面平面PGB,ADPB.(3)當當F為為PC的中點時的中點時,平面平面DEF平面平面ABCD,證明證明:在在PBC中中,FEPB,又在菱形又在菱形ABCD中中,GBDE,而而FE 平面平面DEF,DE 平面平面DEF,EFDE=E,平面平面DEF平面平面PGB,由由(1)知知,PG平面平面ABCD,而而PG 平面平面PGB,平面平面PGB平面平面ABCD,平面平面DEF平面平面ABCD.