《精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;1 第1課時(shí) 求值問題 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;1 第1課時(shí) 求值問題 Word版含答案（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第1課時(shí)　求 值 問 題 [核心必知] 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 關(guān)系 公式表達(dá) 語言敘述 平方關(guān)系 sin2α＋cos2α＝1 同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1 商數(shù)關(guān)系 ＝tan_α 同一個(gè)角α(α≠kπ＋(k∈Z))的正弦、余弦的商等于α的正切 [問題思考] 1．如何理解同角三角函數(shù)關(guān)系中“同角”的含義？ 提示：“同角”有兩層含義．一是“角相同”，二是對“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，與角的表達(dá)式無關(guān)，如sin22α＋cos22α＝1，sin2＋cos2＝1等． 2．平方關(guān)系對任意

2、α∈R均成立，對嗎？商數(shù)關(guān)系呢？ 提示：正確．因?yàn)閷θ我猞痢蔙，sin α，cos α都有意義，所以sin2α＋cos2α＝1對任意角α∈R都成立．而商數(shù)關(guān)系，＝tan α則不然，需保證cos α≠0，則tan α有意義，所以商數(shù)關(guān)系，只對α∈R，且α≠kπ＋(k∈Z)成立． 講一講 1．(1)已知sin α＝，α是第二象限角，求cos α，tan α；(2)若cos α＝－，試求sin α，tan α的值． [嘗試解答]　(1)∵sin2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝. 又∵α是第二象限角， ∴cos α<0，cos α＝－.

3、∴tan α＝＝×(－)＝－. (2)∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角． 當(dāng)α是第二象限角時(shí)，sin α>0. ∴sin α＝＝ ＝， tan α＝＝×(－)＝－. 當(dāng)α是第三象限角時(shí)，sin α<0， 則sin α＝－，tan α＝. 1．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，其最基本的應(yīng)用是“知一求二”． 2．知弦求值時(shí)，一般需用到平方關(guān)系，這時(shí)涉及開方運(yùn)算，應(yīng)注意角的取值范圍．當(dāng)角所在的象限不確定時(shí)，要注意就角所在的象限分類討論． 練一練 1．[多維思考]　若本講(2)條件改為“cos α＝m(

4、m≠0)”，結(jié)果如何？ 解：當(dāng)m＝±1時(shí)，sin α＝0，tan α＝＝0； 當(dāng)m≠±1時(shí)，由于m≠0，所以角α為象限角． 若α為第一或第二象限角，則sin α＝＝， ∴tan α＝＝ . 若α為第三或第四象限角，則 sin α＝－＝－， ∴tan α＝＝－ . 講一講 2．已知tan α＝2.試求： (1)sin α的值； (2)和sin αcos α的值． [嘗試解答]　(1)∵tan2α＝＝＝－1， ∴＝1＋tan2α. ∴cos2α＝＝＝. ∵tan α＝2>0， ∴α是第一或第三象限角． 當(dāng)α是第一象限角時(shí)，cos α>0， ∴cos α

5、＝， ∴sin α＝cos αtan α＝×2＝. 當(dāng)α是第三象限角時(shí)，cos α<0， ∴cos α＝－， ∴sin α＝cos αtan α＝－. (2)＝＝＝＝. sin αcos α＝＝＝ ＝＝. 1．已知角α的正切值在求角α的正弦值時(shí)，應(yīng)盡量少用平方關(guān)系，一般按以下思路求解： cos2α＝cos αsin α. 2．本講(2)是已知角α的正切值，求關(guān)于sin α，cos α的齊次式值的問題．解決該類問題通常是利用商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，將原式化為關(guān)于tan α的表達(dá)式，然后整體代入tan α的值求解，體現(xiàn)了“整體化”的思想，可減少運(yùn)算量并避免討論． 練

6、一練 2．已知tan(π－α)＝，求： (1)sin α＋cos α的值； (2)2sin2α－cos2α的值． 解：(1)由已知得tan α＝－<0，∴α是第二或第四象限的角， 則cos2α＝＝＝＝. 當(dāng)α是第二象限角時(shí)，cos α＝－， ∴sin α＝tan αcos α＝－×(－)＝， sin α＋cos α＝－； 當(dāng)α是第四象限角時(shí)，cos α＝， ∴sin α＝tan αcos α＝－，sin α＋cos α＝. (2)2sin2α－cos2α＝ ＝＝＝0. 講一講 3．(1)已知sin α＝cos α，則sin4α－cos4α＝________．

7、(2)若sin α＋cos α＝，且0<α<π，則tan α＝________. [嘗試解答]　(1)由sin α＝cos α，得tan α＝. ∴cos2α＝＝＝. ∴sin2α＝1－cos2α＝. ∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α) ＝sin2α－cos2α＝－＝－. (2)由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝. ∴sin αcos α＝－<0. 又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝＝ ＝ ＝.?、? 可得sin α＝，cos α＝

8、－， ∴tan α＝＝－. [答案]　(1)－　(2)－ 1．已知角α的某一個(gè)三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值時(shí)，一般先利用公式將其化簡，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解． 2．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此關(guān)系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值時(shí)，要注意判斷它們的符號(hào)． 練一練 3．已知sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0的兩個(gè)根(a∈R)． (1)求s

9、in3θ＋cos3θ的值； (2)求tan θ＋的值． 解：∵sin θ，cos θ是方程x2－ax＋a＝0的兩個(gè)根， ∴sin θ＋cos θ＝a，且sin θcos θ＝a， (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ. 即a2＝1＋2a，解得a＝1±，而當(dāng)a＝1＋時(shí)， Δ＝(1＋)2－4(1＋)＝－1－2<0， ∴a＝1－，則 (1)sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ) ＝a(1－a)＝(1－)[1－(1－)]＝－2. (2)tan θ＋＝＋ ＝＝＝＝＝－1－. 若sin A＝，且A是三角形的一個(gè)內(nèi)角，求

10、的值． [錯(cuò)解]　∵sin A＝， ∴cos A＝ ＝， ∴＝＝6. [錯(cuò)因]　由sin A＝不能確定A是銳角或鈍角，那么cos A就有正、負(fù)兩個(gè)值，此解法中忽視開方運(yùn)算的符號(hào)而出現(xiàn)錯(cuò)誤． [正解]　∵sin A＝，且A是三角形的一個(gè)內(nèi)角， ∴A是銳角或鈍角． 當(dāng)A為銳角時(shí)， cos A＝＝. ∴＝＝6； 當(dāng)A為鈍角時(shí)， cos A＝－＝－. ∴＝＝－. 1．下列各項(xiàng)中可能成立的是(　　) A．sin α＝且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．α在第二象限時(shí)，tan α＝－ 解

11、析：選B　由平方關(guān)系知A不成立；由商數(shù)關(guān)系知D不成立．對于B，當(dāng)sin α＝0時(shí)，cos α＝±1，所以B可能成立．而對于C，當(dāng)tan α＝1時(shí)，cos2α＝＝，所以C不成立．應(yīng)選B. 2．已知sin α＝－，α是第三象限角，則tan α等于(　　) A.　　　　　　　　　　B．－ C. D．－ 解析：選C　∵sin α＝－，且α是第三象限角． ∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝. 3．已知tan φ＝－，且φ為三角形的內(nèi)角，那么cos φ的值為(　　) A．－ B. C．－ D．－2 解析：選C　cos2φ＝＝＝. ∵φ為三

12、角形的內(nèi)角，tan φ<0， ∴φ∈(，π)，∴cos φ＝－. 4．已知sin α＝，則sin2α－cos2α的值為________． 解析：sin2α－cos2α ＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－. 答案：－ 5．已知tan α＝－，則的值是________． 解析：原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－. 答案： － 6．已知sin α＝，cos α＝，α是第四象限角， 試求tan α的值． 解：∵sin2α＋cos2α＝1， ∴()2＋()2＝1. 化簡，整理得， m(m－8)＝0，∴m1＝0，m2＝8. 當(dāng)m＝0時(shí)，sin α＝，cos α＝－，不符合α

13、是第四象限角，舍去． 當(dāng)m＝8時(shí)，sin α＝－，cos α＝，∴tan α＝－. 一、選擇題 1．已知sin(α＋)＝，α∈(－，0)，則tan α的值為(　　) A．－2　　　　　　　　　B．2 C．－ D. 解析：選A　由已知得cos α＝.∵α∈(－，0)， ∴sin α＝－＝－， ∴tan α＝＝－×3＝－2. 2．已知向量a＝(3，4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，則tan α＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選A　由a∥b得，＝. ∴＝＝tan α. 3．若sin α，c

14、os α是方程3x2＋6mx＋2m＋1＝0的兩根．則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－ B. C．－或 D. 解析：選A　依題意得 ∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α， ∴(－2m)2＝1＋(2m＋1)， 即12m2－4m－5＝0. 解m＝－或. m＝時(shí)，Δ＝36m2－12(2m＋1)<0，∴m＝－. 4．已知＝5，則sin2α－sin αcos α的值是(　　) A. B．－ C．－2 D．2 解析：選A　由條件可得＝5.解得tan α＝2. ∴sin2α－sin αcos α＝ ＝＝＝. 二、填空題 5．若sin θ＝－，tan θ

15、>0，則cos θ＝________． 解析：∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ是第三象限角， ∴cos θ＝－＝－. 答案：－ 6．已知α∈(π，)，tan α＝2，則cos α＝________． 解析：依題意得由此解得cos2α＝. 又α∈(π，)，因此cos α＝－. 答案：－ 7．已知A為三角形內(nèi)角，且sin Acos A＝－，則cos A－sin A＝________． 解析：(cos A－sin A)2＝1－2sin Acos A＝1－2×(－)＝. ∵00，cos A<0. ∴cos A－sin A<0

16、，∴cos A－sin A＝－. 答案：－ 8．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝， 則sin θcos θ＝________． 解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ ＝1－2(sin θcos θ)2＝，∴(sin θcos θ)2＝. ∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0. ∴sin θ cos θ＝. 答案： 三、解答題 9．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1，2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值． 解：(1)∵

17、a∥b，∴2sin θ－(cos θ－2sin θ)＝0， 即4sin θ＝cos θ，故tan θ＝. (2)∵|a|＝|b|，∴sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5. 展開得sin2θ＋cos2θ－4sin θcos θ＋4sin2θ＝5. 把sin2θ＝1－cos2θ代入并整理， 得cos θ(sin θ＋cos θ)＝0. ∴cos θ＝0或tan θ＝－1. 又θ∈(0，π)， ∴θ＝或θ＝. 10．已知3sin α＋cos α＝0，求下列各式的值： (1)； (2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α. 解：法一：由已知得，cos α＝－3sin α. (1) ＝＝＝－1. (2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α ＝sin2α＋2sin α(－3sin α)－3(－3sin α)2 ＝－32sin2α. 由得sin2α＝. ∴sin2α＋2sin αcos α－3cos2α＝－32×＝－. 法二：由已知，得＝－，∴tan α＝－. (1) ＝＝＝＝－1. (2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α ＝ ＝ ＝ ＝－.