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1、第10章氣體分子運動論一、選擇題
1(B),2(C),3(C),4(B),5(D),6(E),7(B),8(B),9(A),10(C)二、填空題
355.kT,kT,MRT/Mmoi.;
2221
(1) .1.2x1024kgm/s,—x1028m(7).理想氣體處于熱平衡狀態(tài)
s1,4X103Pa.
3.分布在vp~R速率區(qū)間的分子數(shù)在總分子數(shù)中占的百分率,
分子平動動能的平均值.
⑷.Nf(v)dv,
v0
v0
vf(v)dv/
v0
f(v)dv,
f(v)dv.
v0
(5) .氫,1.58x103.;.保持不變.
參考解答:令xLP
2
2、kT
.m,麥克斯韋速率分布函數(shù)可以寫作:
42x
——xev'
2
dx
8kTv2
nmvp?,
24n
x/1
2ex2
dx.這個積分顯然與溫度無關(guān)!
11-iPV/NA或LkPV/R.;
22
(8).
NAfA(v)NBfB(v)NaNb
(9).
2;(10).1.
二、計算題1.一超聲波源發(fā)射超聲波的功率為10W.假設(shè)它工作10s,并且全部波動能量都被1mol
氧氣吸收而用于增加其內(nèi)能,則氧氣的溫度升高了多少?
(氧氣分子視為剛性分子,普適氣體常量R=8.31J?mol1?K1)
解:
1
A=Pt=
3、viRT,
2
T=2Pt/(viR)=4.81K.
2.儲有1mol氧氣,容積為1m3的容器以v=10m?s-1的速度運動.設(shè)容器突然停止,其中氧氣的80%的機械運動動能轉(zhuǎn)化為氣體分子熱運動動能,問氣體的溫度及壓強各升高了多少?
(氧氣分子視為剛性分子,普適氣體常量R=8.31J?mol1?K1)
解:
1 25
0.8xMv=(M/Mmol)RT,
2 2
T=0.8Mmolv2/(5R)=0.062K
3.質(zhì)量m=6.2X1017g的微粒懸浮在27C的液體中,觀察到懸浮粒子的方均根速率為1.4cm?s1.假設(shè)粒子速率服從麥克斯韋速率分布,求阿伏伽德羅常數(shù).(普適氣
4、體常量R=8.31J?mol1?K1)
解:據(jù)
1/2
v23RT/Mmoi3RT/NaE,
得
Na=3RT/(mv2)=6.15X1023mol-1.
4.設(shè)氣體分子速率服從麥克斯韋速率分布律,求氣體分子速率與最概然速率之差不超過1%的分子占全部分子的百分比.
p=RT/V
p=0.51Pa.
p=RT/V
p=0.51Pa.
(一摩爾氧氣)
/2
(附:麥克斯韋速率分布律
n(昴)3/5(牛)/JeXP{a}即ea)解:
解:
代入
N4m
(
Nn2kT
4v2()ex){
?、nvp
v=Vp.
2
3/2,mv2
)e)p(
5、)v
2kT
v2v
()2}-
vpvp
與vp相差不超過1%的分子是速率在
vP
"到v
100
Vp
100
區(qū)間的分子,故
(1)
(2)
(3)
試用N與v0表示a的值.
試求速率在1.5v。?2.0v。之間的分子數(shù)目.試求分子的平均速率.
解:(1)
由分布圖可知:
0->v0:
Nf(v)=(a/v0)v,
f(v)=av/(N
5.由N個分子組成的氣體,其分子速率分布如圖所示.
Nf(v)=a,f(v)=a/N.
vof2vo:
vo).
2vof(v)=0
由歸一化條件f(v)dv1,
v°2v0有(av/Nv0
6、)dva/Ndv1,
0v°
⑵N
3
2v0
2vo
Nf(v)dv
N—dv
3n尹
1
2avo,
將a代入得N
(3)0tvo:
1
2v。
2
f(v)=av/(Nv0)=(v/Nv0)x2N/(3v0)2v/(3v0).
2N/(3/o)
1n
3
vof2vo:
vo
2
vvf(v)dvv2v/(3v0)dv
00
f(v)=a/N=(1/N)x(2N/3v0)=2/(3v0).
2v02
v2/(3v0)dvv0v0=11v0/9
9
v。
1.0X10
5mmHg,設(shè)空氣分子的有效
7、直徑d=3.0x10
6.一顯像管內(nèi)的空氣壓強約為
試求27C時顯像管中單位體積的空氣分子的數(shù)目、平均自由程和平均碰撞頻率.
10
m,
x105Pa)
x105Pa)
解:⑴
(空氣的摩爾質(zhì)量28.9x103kg/mol,玻爾茲曼常量k=1.38x1023J?K1760mmHg=1.013—3.22x1017m3:kT
kTF2.27.8m
?2ndpt8RT160si.
VMmol四研討題
1?比較在推導(dǎo)理想氣體壓強公式、內(nèi)能公式、平均碰撞頻率公式時所使用的理想氣體分子模型有何不同?參考解答:
推導(dǎo)壓強公式時,用的是理想氣體分子模型,將理想氣體分子看作彈性自由
8、質(zhì)點;在推導(dǎo)內(nèi)能公式時,計算每個分子所具有的平均能量,考慮了分子的自由度,除了單原子分子仍
看作質(zhì)點外,其他分子都看成了質(zhì)點的組合;推導(dǎo)平均碰撞頻率公式時,將氣體分子看成有一定大小、有效直徑為d的彈性小球。
2. 速率分布分布函數(shù)假設(shè)氣體分子速率分布在0?*范圍內(nèi),也就是說存在大于光速c的分子。然而,由愛因斯坦的狹義相對論知,任何物體的速度均不會超過光速,這豈不是矛盾?氣體中有速率為無窮大的分子嗎?
參考解答:
(1)分布函數(shù)歸一化條件:f(v)dv10
⑵平均速率:vvf(v)dv0
在以上積分計算中,均假定氣體分子速率分布在0^8范圍內(nèi),也就是說有速率為無窮大的分子存在,而這與
9、愛因斯坦的狹義相對論任何物體的速率均不可超過光速矛盾.歷年來,學(xué)
生學(xué)到這部分內(nèi)容,總對上面積分中積分限的正確性提出質(zhì)疑.那么,氣體中是否存在速率為無窮大的分子呢?
v取*時的f(v)即可,有
limf(v)lim4
vv2kl
3
m2mv2/2kT2ev
從麥克斯韋速率分布函數(shù)f(v)的物理意義及其數(shù)學(xué)表示式上可方便快捷地得到正確的結(jié)論.分析如下.從物理意義上講,f(v)代表速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)所占的比率,要分析是否有速率為無窮大的分子存在,只需計算速率
0,即不存在速率無窮大的分子。
vmax區(qū)間.為什
上式說明,速率在無窮大附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為
10、
既然不存在速率為無窮大的分子,那么正確的積分應(yīng)選為0到最大速率么選0^8范圍、能否得知一個熱力學(xué)系統(tǒng)分子運動的最大速率呢?
由微觀粒子的波粒二象性及不確定關(guān)系可知:分子最大速率的準(zhǔn)確值實際上是不可知的。而從數(shù)學(xué)上講,對某個區(qū)間的積分運算可以分段進(jìn)行,或者說加上一個被積函數(shù)為0的任意區(qū)間的積分,并不影響原積分結(jié)果。
3. 試用氣體的分子熱運動說明為什么大氣中氫的含量極少?
參考解答:
氣體的算術(shù)平均速率公式:v
抨160F,
在空氣中有02,N2,Ar,H2,CO2等分子,其中以H2的摩爾質(zhì)量最小.從上式可知,在同一溫度下H2的v的較大,而在大氣中分子速度大于第二宇宙速度11.2
11、公里/秒時,分子就有可能擺脫地球的引力作用離開大氣層.H2摩爾質(zhì)量最小,其速度達(dá)到11.2公里/秒的分子數(shù)就比。2、Ar、CO2達(dá)到這一速度的分子數(shù)多。H2逃逸地球引力作用的幾率最大,離
開大氣層的氫氣最多?所以H2在大氣中的含量最少.
4. 測定氣體分子速率分布實驗為什么要求在高度真空的容器內(nèi)進(jìn)行?假若真空度較差,問容器內(nèi)允許的氣體壓強受到什么限制?參考解答:
使得測
一〉L,
如果不是高度真空,容器內(nèi)有雜質(zhì)粒子,分子與雜質(zhì)粒子碰撞會改變速率分布,到的分布不準(zhǔn)。假若真空度較差,只要分子的平均自由程—大于容器的線度L,即那么可以認(rèn)為分子在前進(jìn)過程中基本不受雜質(zhì)粒子的影響。由于平均自由程與壓強的關(guān)系為:
#弔,所以要求缶pL,即P為T這就是對于容器內(nèi)壓強的限制條件。
v=0.02vp,N/N=1.66%.