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1、課時作業(yè)(五十七) 一、選擇題 1．函數(shù)y＝f(x)在(0,2)上是增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋2)是偶數(shù)，則f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小關系是(　　) A．f(2.5)f(1)>f(3.5) C．f(3.5)>f(2.5)>f(1) D．f(1)>f(3.5)>f(2.5) 答案　B 解析　函數(shù)y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，∴y＝f(x)關于x＝2對稱，又∵函數(shù)y＝f(x)在(0,2)上單增，∴在(2,4)上單減， ∴f(1)＝f(3)， ∴f(2.5)>f(3)>f(3.5)， ∴選B. 2．用反證法證明命題：若

2、整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設中正確的是(　　) A．假設a、b、c都是偶數(shù) B．假設a、b、c都不是偶數(shù) C．假設a、b、c至多有一個偶數(shù) D．假設a、b、c至多有兩個偶數(shù) 答案　B 3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，則下列不等式中恒成立的是(　　) A.>　　　　　　　　B.＋≤1 C.≥2 D.≤ 答案　D 解析　取a＝1，b＝3，可驗證A、B、C均不正確，故選D. 4．(2011·東北育才學校一模)若<<0，則下列不等式：①a＋b|b|；③a2中，正確的不等

3、式是(　　) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 答案　C 解析　取a＝－1，b＝－2，驗證即可． 5．已知函數(shù)f(x)滿足：f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，則＋＋＋＝(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 答案　D 解析　根據(jù)f(a＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f2(n)， 又f(1)＝2，則＝2. 由＋＋＋＝＋＋＋＝16. 二、填空題 6．(2011·山東泰安一模)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，當x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時，都有>0，給出下列命題：

4、①f(3)＝0； ②直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸； ③函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為增函數(shù)； ④函數(shù)y＝f(x)在[－9,9]上有四個零點． 其中所有正確命題的序號為________(把所有正確命題的序號都填上) 答案?、佗冖? 解析　∵x1≠x2時，都有>0， ∴f(x)在[0,3]上遞增． ∵f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，令x＝－3得f(3)＝f(－3)＋f(3)， ∴f(－3)＝f(3)＝0.①對． ∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)周期為6，畫出示意圖如下： 由圖象知，②④正確，③不正確，故填①②④. 7．(2011·天津濱海新

5、區(qū)五校聯(lián)考)給出下列四個命題中： ①命題“?x∈R，x2＋1>3x”的否定“?x∈R，x2＋1>3x”； ②若不等式(－1)na<2＋對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為[－2，] ③設圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)與坐標軸有4個交點，分別為A(x1,0)，B(x2,0)，C(0，y1)，D(0，y2)，則x1x2－y1y2＝0； ④將函數(shù)y＝cos2x的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y＝sin(2x－)． 其中正確命題的序號是________． 答案?、冖邰? 解析?、僦忻}的否定應為?x∈R，x2＋1≤3x. ②當n為偶數(shù)時，a<2＋＝2－，

6、 ∵2－≥，∴a<， 當n為奇數(shù)時，a>－2－， ∵－2－<－2， ∴a≥－2，綜上，－2≤a<，故②正確． ③令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴y1y2＝F， 令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴x1x2＝F， ∴x1x2－y1y2＝0，故③正確． ④y＝cos2x平移后：y＝cos2(x－)＝cos(2x－)＝cos(2x－－)＝sin(2x－)．綜上，故填②③④. 8．(2011·山東日照一模)給出下列四個命題： ①若a－1，則≥；③若正整數(shù)m和n滿足；m0，且x≠1，則lnx＋≥2. 其中真命題的序號是________．

7、(請把真命題的序號都填上) 答案?、冖? 解析　對于①，a＝－2b2，故①錯． 對于④，lnx不一定為正數(shù)， 故01時，lnx＋≥2，故④錯． 三、解答題 9．已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c. 解析　∵a，b，c∈R＋，∴≥，≥，≥， ∴l(xiāng)g≥(lg a＋lg b)，lg≥(lg b＋lg c)，lg≥(lg c＋lg a)． 以上三式相加，且注意到a、b、c不全相等，故得lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c. 10．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x＋

8、y)＝f(x)＋f(y)，當x<0時，f(x)<0. (1)求證：f(x)為奇函數(shù)； (2)求證：f(x)為R上的增函數(shù)． 解析　(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0) 即f(0)＝0. 再令y＝－x，f(0)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (2)設x1、x2∈R，且x1

9、林長春一模)設f(x)＝ax2＋bx＋c，若6a＋2b＋c＝0，f(1)f(3)>0， (1)若a＝1，求f(2)的值； (2)求證：方程f(x)＝0必有兩個不等實根x1，x2，且30， 若a＝0，則f(1)f(3)＝－b2≤0與已知矛盾， ∴a≠0， 其次說明二次方程f(x)＝

10、0必有兩個不等實根x1、x2， ∵f(2)＝4a＋2b＋c＝－2a， ∴若a>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c開口向上，而此時f(2)<0， ∴若a<0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c開口向下，而此時f(2)>0. 故二次函數(shù)圖象必與x軸有兩個不同的交點． ∴二次方程f(x)＝0必有兩個不等實根x1，x2， (或利用Δ＝b2－4ac＝b2＋4a(6a＋2b)＝b2＋8ab＋24a2＝(b＋4a)2＋8a2>0來說明) ∵a≠0， ∴將不等式－(5a＋b)(3a＋b)兩邊同除以－a2得(＋3)(＋5)<0， ∴－5<<－3，∴3

11、an}的前n項和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m為常數(shù)，且m≠－3. (1)求證：{an}是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{an}的公比q＝f(m)，數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求證：{}為等差數(shù)列． 分析　本題主要考查使用定義證明等差數(shù)列、等比數(shù)列，證明方法屬于綜合法，解題的關鍵是恰當?shù)靥幚磉f推關系． 證明　(1)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3， ∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3. ∴(3＋m)a1＝m＋3. ∵m≠3，∴a1＝1. 由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得 (3－m)Sn＋1＋2man＋

12、1＝m＋3. 兩式相減，得(3＋m)an＋1＝2man， ∵m≠－3， ∴＝. ∵m為常數(shù)，且m≠－3， ∴{an}是等比數(shù)列． (2)由(1)知，b1＝a1＝1，q＝f(m)＝， ∴n∈N*，且n≥2時，bn＝f(bn－1)＝· ?bnbn－1＋3bn＝3bn－1 ?－＝. ∴{}是首項為1，公差為的等差數(shù)列． 13．已知數(shù)列{an}的前n項的和Sn滿足Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求證：{an＋3}為等比數(shù)列，并求{an}的通項公式． (2)數(shù)列{an}是否存在三項使它們按原順序可以構成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由． 解

13、析　(1)證明　∵Sn＝2an－3n(n∈N*)， ∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3. 又由 得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3， ∴aa＋1＋3＝2(an＋3)， ∴{an＋3}是首項為a1＋3＝6，公比為2的等比數(shù)列， ∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)． (2)解　假設數(shù)列{an}中存在三項ar，as，at(r