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1、
第21練圓錐曲線的綜合應用【理】
一.題型考點對對練
1.(直線與圓錐曲線的位置關系)【黑龍江省齊齊哈爾2018屆模擬】已知橢圓,過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點,其中點是橢圓的上頂點,橢圓的左頂點為,直線分別與直線相交于兩點.則( )
A. B. C. D.
【答案】B
本題選擇B選項.
2.(圓錐曲線中的范圍、最值問題)已知雙曲線右焦點為F,P為雙曲線左支上一點,點,則周長的最小值為
A. (B) C. (D)
【答案】A
3.(圓錐曲線中的定值、定點、存在性問題)如圖, 為橢圓長軸的左、右
2、端點, 為坐標原點, 為橢圓上不同于的三點,直線圍成一個平行四邊形,則( )
A. 14 B. 12 C. 9 D. 7
【答案】A
【解析】設, 斜率分別為,則的斜率為,且,所以,同理,因此
.故選A.
4.(軌跡與軌跡方程)已知點,直線,直線垂直于點,線段的垂直平分線交于點.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)已知點,過且與軸不垂直的直線交于兩點,直線分別交于點,求證:以為直徑的圓必過定點.
(2)由題意可設直線,代入,得,
設,則;又,設直線的斜率分別為,則,設,
令,得,同理,得,從而;
.又以為直徑的圓的方程為: ,即,即,令,解
3、得或,從而以為直徑的圓恒過定點和.
5.(直線與圓錐曲線的位置關系)【2018屆南京市聯(lián)考】已知橢圓: 的右焦點為,過作直線(不過原點)交橢圓于兩點,若的中點為,直線交橢圓的右準線于
(1)若直線垂直軸時, ,求橢圓的離心率;
(2)若橢圓的離心率,當直線斜率存在時設為,直線的斜率設為,試求的值。
6. (圓錐曲線中的范圍、最值問題)如圖,在平面直角坐標系中,橢圓W: 的離心率為,直線l:y=2上的點和橢圓W上的點的距離的最小值為1.
(Ⅰ) 求橢圓W的方程;
(Ⅱ) 已知橢圓W的上頂點為A,點B,C是W上的不同于A的兩點,且點B,C關于原點對稱,直線AB,AC分別交直線l
4、于點E,F(xiàn).記直線與的斜率分別為, .
① 求證: 為定值;
② 求△CEF的面積的最小值.
證法二:直線AC的方程為, 由得,
解得,同理,因為B,O,C三點共線,則由,
整理得,所以.
②直線AC的方程為,直線AB的方程為,不妨設,則,
令y=2,得,而,
所以,△CEF的面積 .
由得,則 ,當且僅當取得等號,所以△CEF的面積的最小值為.
7. (圓錐曲線中的范圍、最值問題)如圖,過橢圓: 的左右焦點分別作直線, 交橢圓于與,且.
(1)求證:當直線的斜率與直線的斜率都存在時, 為定值;
(2)求四邊形面積的最大值.
(2)當?shù)膬A斜角為時,
5、與重合,舍去.當?shù)膬A斜角不為0時,由對稱性得四邊形為平行四邊形, ,設直線的方程為,代入,得.顯然, , .所以,設,所以, .所以.當且僅當即時等號成立,所以.所以平行四邊形面積的最大值為.
8.(圓錐曲線中的定值、定點、存在性問題)已知的頂點,點在軸上移動, ,且的中點在軸上.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)已知過的直線交軌跡于不同兩點, ,求證: 與, 兩點連線, 的斜率之積為定值.
由得,所以, ,,同理,,所以與, 兩點連線的斜率之積為定值4.
9. (圓錐曲線中的定值、定點、存在性問題)【江蘇省如東2018屆期中】已知橢圓的離心率為,其左、右焦點分別為,點是坐標平面
6、內(nèi)一點,且, (為坐標原點).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點,在軸上是否存在定點,使以為直徑的圓恒過該點?若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.
【解析】(1)設, , ,則由,得;
由得,即.所以.
又因為,所以.因此所求橢圓的方程為: .
(2)設動直線的方程為: ,由得.
設, ,則, .假設在軸上是否存在定點,滿足題設,則, .
,由假設得對于任意的, 恒成立,即解得.因此,在軸上存在定點,使以為直徑的圓恒過該點,點的坐標為.
二.易錯問題糾錯練
10.(忽略軌跡的純粹性)如圖,拋物線: 與圓: 相交于, 兩點,且點的橫坐標
7、為.過劣弧上動點作圓的切線交拋物線于, 兩點,分別以, 為切點作拋物線的切線, , 與相交于點.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求動點的軌跡方程.
【解析】(Ⅰ)由點的橫坐標為,可得點的坐標為,代入,解得
(Ⅱ)利用直線與圓錐曲線的位置關系,可知方程為,其中, 滿足, ,再利用中點公式,可知滿足,代入得,考慮到,知,動點的軌跡方程為, .
【注意問題】求出軌跡方程后注意范圍,不符合的點.
11. (忽略對直線斜率不存在的情況)已知動圓過定點,并且內(nèi)切于定圓.
(1)求動圓圓心的軌跡方程;
(2)若上存在兩個點,(1)中曲線上有兩個點,并且三點共線, 三點共線, ,求四邊形的面積的最
8、小值.
(2)當直線斜率不存在時,直線的斜率為0,易得,四邊形的面積.
當直線斜率存在時,設其方程為,聯(lián)立方程得
,消元得
設,則,
∵,∴直線的方程為,,得
設,則,
四邊形的面積,
令, ,上式,
令,
(),∴,∴,綜上可得,最小值為8.
【注意問題】設直線方程時,用到斜率需討論率不存在時.
12.(直線與圓錐曲線有兩個交點忽略)已知橢圓: 的上下兩個焦點分別為, ,過點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點, 的面積為,橢圓的離心力為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)已知為坐標原點,直線: 與軸交于點,與橢圓交于, 兩個不同的點,若存在實數(shù),使得,求的取值范圍.
9、
【解析】(Ⅰ)根據(jù)已知橢圓的焦距為,當時, ,由題意的面積為,由已知得,∴,∴,∴橢圓的標準方程為.
且, ,由,得,即,∴,∴,即.
當時, 不成立,∴,∵,∴,即,∴,解得或.綜上所述, 的取值范圍為.
【注意問題】在解直線與二次曲線位置關系是,需考慮直線與二次曲線有有兩個交點即.
三.新題好題好好練
13. 【四川省成都市2018屆一診】已知兩點分別在軸和軸上運動,且,若動點滿足
(1)求出動點的軌跡對應曲線的標準方程;
(2)直線與曲線交于兩點, ,試問:當變化時,是否存在一直線,使得面積為?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
(2)由方程組得
10、設則
所以
因為直線過點,所以的面積,令則不成立,不存在直線滿足題意.
14. 【2018屆遼寧省沈陽聯(lián)考】平面直角坐標系中,橢圓: ()的離心率是,拋物線: 的焦點是的一個頂點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設是上動點,且位于第一象限, 在點處的切線與交于不同的兩點, ,線段的中點為,直線與過且垂直于軸的直線交于點.
(i)求證:點在定直線上;
(ii)直線與軸交于點,記的面積為, 的面積為,求的最大值及取得最大值時點的坐標.
,由,得且,因此,將其代入得,因為,所以直線方程為.聯(lián)立方程,得點的縱坐標為,即點在定直線上
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直線方程為,令得,所以,
又 ,所以,
,所以,
令,則,當,即時, 取得最大值,此時,滿足,所以點的坐標為,因此的最大值為,此時點的坐標為
16.已知點是長軸長為的橢圓: 上異于頂點的一個動點, 為坐標原點, 為橢圓的右頂點,點為線段的中點,且直線與的斜率之積恒為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設過左焦點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點,線段的垂直平分線與軸交于點,點橫坐標的取值范圍是,求的最小值.
設, 中點,∴.
∴
∴的垂直平分線方程為,令,得
∵,∴,∴.
,
.
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