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1、第第5課時一次函數和二次函數課時一次函數和二次函數第二章基本初等函數、導數及其應用第二章基本初等函數、導數及其應用教材回扣教材回扣 夯實雙基夯實雙基基礎梳理基礎梳理1.一次函數一次函數(1)定義：函數定義：函數_叫做一叫做一次函數次函數,它的定義域、值域均為它的定義域、值域均為R.其圖其圖象是一條直線象是一條直線,其中其中k叫做該直線的叫做該直線的_,b叫做該直線在叫做該直線在y軸上的軸上的_.ykxb(k0)斜率斜率截距截距(2)性質：性質：當當k0時時,一次函數是一次函數是_;當當k0時時,開口開口_,當當a0時時,在在_上是減函數上是減函數,在在_上是增函數上是增函數,當當x_時時,y取

2、最小值是取最小值是_;當當a0 D.b0答案：答案：A答案：答案：B4.(2011高考陜西卷高考陜西卷)設設nN,一元二一元二次方程次方程x24xn0有整數根的充要有整數根的充要條件是條件是n_.當當n3時時,x24x30,得得x1或或x3;當當n4時時,x24x40,得得x2.n3或或n4.答案：答案：3或或45.已知二次函數已知二次函數f(x)ax2bx,滿足滿足f(m)f(n),mn,則則f(mn)_.答案：答案：0考點探究考點探究 講練互動講練互動考點考點1一次函數的概念和性質一次函數的概念和性質一次函數的單調性與一次函數的單調性與k的正負有關的正負有關,在研在研究其性質時究其性質時,

3、應注意這一點應注意這一點. (原創(chuàng)題原創(chuàng)題)已知函數已知函數f(x)(12m)xm1,m為何值時為何值時,(1)這個函數為正比例函數這個函數為正比例函數;(2)這個函數為一次函數這個函數為一次函數;(3)函數值函數值y隨隨x的減小而減小的減小而減小;(4)函數圖象不過第一象限函數圖象不過第一象限;(5)函數圖象與直線函數圖象與直線y2x6的交點在的交點在x軸上軸上;(6)在在x2,1時時,f(x)0恒成立恒成立.例例1【失誤點評】【失誤點評】在在(6)中易忽略中易忽略12m0這這一情況一情況.考點考點2求二次函數的解析式求二次函數的解析式利用已知條件求二次函數的解析式利用已知條件求二次函數的解

4、析式,常常用的方法是待定系數法用的方法是待定系數法,但可根據不同但可根據不同的條件選用適當形式求的條件選用適當形式求f(x)的解析式的解析式.(1)若已知三個點坐標時若已知三個點坐標時,宜用一般式宜用一般式.(2)若已知拋物線的頂點坐標或與對稱若已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸、最大軸、最大(小小)值有關時值有關時,常使用頂點式常使用頂點式.(3)若已知拋物線與若已知拋物線與x軸有兩個交點軸有兩個交點,且且橫坐標已知時橫坐標已知時,選用標根式求選用標根式求f(x)更方便更方便. 已知二次函數已知二次函數f(x)的二次項系數的二次項系數為為a,滿足不等式滿足不等式f(x)2x的解集為的解集為(1,

5、3),且方程且方程f(x)6a0有兩個相等實有兩個相等實根根,求求f(x)的解析式的解析式.【思路分析思路分析】f(x)與與f(x)2x的二次的二次項系數相等項系數相等,由由f(x)2x0的解集為的解集為(1,3),可設可設f(x)2xa(x1)(x3).例例2【名師點評名師點評】求二次函數的解析式的求二次函數的解析式的關鍵是待定系數關鍵是待定系數,由題目的條件由題目的條件,合理地合理地選擇二次函數解析式的表達式形式選擇二次函數解析式的表達式形式.考點考點3求二次函數的最值求二次函數的最值求二次函數的最值必須認清定義域區(qū)間求二次函數的最值必須認清定義域區(qū)間與對稱軸的相對位置以及拋物線的開口與對

6、稱軸的相對位置以及拋物線的開口方向方向(即二次函數中二次項系數的正負即二次函數中二次項系數的正負),然后借助于二次函數的圖象或性質求解然后借助于二次函數的圖象或性質求解.因此因此,定義域、對稱軸及二次項系數是定義域、對稱軸及二次項系數是求二次函數的最值的三要素求二次函數的最值的三要素. 函數函數f(x)x22x2在閉區(qū)間在閉區(qū)間t,t1(tR)上的最小值記為上的最小值記為g(t).(1)試寫出試寫出g(t)的函數表達式的函數表達式;(2)作作g(t)的圖象并寫出的圖象并寫出g(t)的最小值的最小值.例例3(2)g(t)的圖象如圖所示：的圖象如圖所示：g(t)min1.【規(guī)律小結規(guī)律小結】二次函

7、數區(qū)間最值主要二次函數區(qū)間最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定有三種類型：軸定區(qū)間定,軸定區(qū)間動軸定區(qū)間動和軸動區(qū)間定和軸動區(qū)間定.一般來說一般來說,討論二次函數在閉區(qū)間上的討論二次函數在閉區(qū)間上的最值最值,主要是看區(qū)間是落在二次函數的主要是看區(qū)間是落在二次函數的哪一個單調區(qū)間上哪一個單調區(qū)間上,從而應用單調性求從而應用單調性求最值最值.互動探究互動探究將本例變?yōu)橐阎瘮祵⒈纠優(yōu)橐阎瘮礷(x)x22ax1a在在x0,1時有最大值時有最大值2,求求a的的值值.方法技巧方法技巧2.二次函數、二次方程、二次不等式之二次函數、二次方程、二次不等式之間的相互轉化間的相互轉化.(1)在研究一元二次方程根的分

8、布問題在研究一元二次方程根的分布問題時時,常借助于二次函數的圖象數形結合常借助于二次函數的圖象數形結合來解來解,一般從開口方向一般從開口方向;對稱軸位對稱軸位置置;判別式判別式;端點函數值符號四個方端點函數值符號四個方面分析面分析.(2)在研究一元二次不等式的有關問題在研究一元二次不等式的有關問題時時,一般需借助于二次函數的圖象、性一般需借助于二次函數的圖象、性質求解質求解.3.冪函數冪函數yx(R),其中其中為常數為常數,其其本質特征是以冪的底本質特征是以冪的底x為自變量為自變量,指數指數為常數為常數,這是判斷一個函數是否是冪函數的重要這是判斷一個函數是否是冪函數的重要依據和唯一標準依據和唯

9、一標準.應當注意并不是任意應當注意并不是任意的一次函數、二次函數都是冪函數的一次函數、二次函數都是冪函數,如如yx1,yx22x等都不是冪函數等都不是冪函數.失誤防范失誤防范1.研究二次函數的性質要注意二次項研究二次函數的性質要注意二次項系數系數a的正負的正負,及對稱軸的位置及對稱軸的位置,兩點不兩點不應忽視應忽視.2.冪函數的圖象一定會出現在第一象冪函數的圖象一定會出現在第一象限限,一定不會出現在第四象限一定不會出現在第四象限,至于是否至于是否出現在第二、三象限出現在第二、三象限,要看函數的奇偶要看函數的奇偶性性;冪函數的圖象最多只能同時出現在冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內兩個象限

10、內;如果冪函數圖象與坐標軸如果冪函數圖象與坐標軸相交相交,則交點一定是原點則交點一定是原點.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預測命題預測從近幾年的高考試題來看從近幾年的高考試題來看,二次函數圖二次函數圖象的應用與其最值問題是高考的熱點象的應用與其最值問題是高考的熱點,題型多以小題或大題中關鍵的一步的題型多以小題或大題中關鍵的一步的形式出現形式出現,主要考查二次函數與一元二次方程及一主要考查二次函數與一元二次方程及一元二次不等式三者的綜合應用元二次不等式三者的綜合應用,注重考注重考查圖象與性質的靈活運用查圖象與性質的靈活運用.而冪函數一而冪函數一般不單獨命題般不單獨命題,而常與指數函數、對

11、數而常與指數函數、對數函數交匯命題函數交匯命題,題型一般為選擇題、填題型一般為選擇題、填空題中的一部分內容空題中的一部分內容,主要考查冪函數主要考查冪函數的圖象及性質的圖象及性質.預測在預測在2013年高考中以二次函數為命年高考中以二次函數為命題落腳點的題目仍將是一個熱點題落腳點的題目仍將是一個熱點,重點重點考查數形結合與等價轉化兩種數學思想考查數形結合與等價轉化兩種數學思想.典例透析典例透析 (本題滿分本題滿分12分分)(2010高考江高考江西卷西卷)設函數設函數f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若若f(x)的兩個極值點為的兩個極值點為x1,x2,且且x1x21,求實數求實數a的值的值;(2)是否存在實數是否存在實數a,使得使得f(x)是是(,)上的單調函數上的單調函數?若存在若存在,求出求出a的值的值;若不存在若不存在,說明理由說明理由.例例【名師點評名師點評】本題難度較小本題難度較小,求導后求導后轉化為考生熟悉的二次函數轉化為考生熟悉的二次函數,利用根與利用根與系數的關系和判別式便可求解系數的關系和判別式便可求解,把把(2)條條件改為件改為f(x)能否在能否在2,2上單調遞減上單調遞減,a存在嗎存在嗎?