《精編高中數(shù)學北師大版選修23教學案：第二章 5 第二課時 離散型隨機變量的方差 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精編高中數(shù)學北師大版選修23教學案：第二章 5 第二課時 離散型隨機變量的方差 Word版含解析（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精編北師大版數(shù)學資料 第二課時　離散型隨機變量的方差 求隨機變量的方差 [例1]　已知隨機變量X的分布列為 X 0 1 x P p 若EX＝，求DX的值． [思路點撥]　解答本題可先根據(jù)i＝1求出p的值，然后借助EX＝求出x的取值，最后代入相應的公式求方差． [精解詳析]　由＋＋p＝1，得p＝. 又EX＝0×＋1×＋x＝， ∴x＝2. ∴DX＝2×＋2×＋2× ＝. [一點通]　求離散型隨機變量的方差的方法： (1)根據(jù)題目條件先求分布列． (2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常數(shù)時，應先由

2、分布列的性質(zhì)求出待定常數(shù)再求方差． 1．(浙江高考)隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________. 解析：由題意設(shè)P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下 ξ 0 1 2 P p －p 由E(ξ)＝1，可得p＝， 所以D(ξ)＝12×＋02×＋12×＝. 答案： 2．已知隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 試求DX和D(2X－1)． 解：EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1 ＝1.8. 所以DX＝(0－1.

3、8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.2X－1的分布列為 2X－1 －1 1 3 5 7 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 所以E(2X－1)＝2EX－1＝2.6. 所以D(2X－1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24. 求實際問題的均值和方差 [例2]　在一個不透明的紙袋里裝有5個大小相同的小球，其中有1個紅球和4個黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一

4、球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數(shù)X的均值和方差． [思路點撥]　 → → → [精解詳析]　X可能取值為1,2,3,4,5. P(X＝1)＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××＝， P(X＝4)＝×××＝， P(X＝5)＝××××1＝. ∴X的分布列為 X 1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 由定義知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3. DX＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2. [一點通]　(1)求離散型隨機變量X的均值和方差的基本步驟： ①理解X的意

5、義，寫出X可能取的全部值； ②求X取每個值時的概率； ③寫X的分布列； ④求EX，DX. (2)若隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)， 則EX＝np，DX＝np(1－p)． 3．一批產(chǎn)品中次品率為，現(xiàn)在連續(xù)抽查4次，用X表示次品數(shù)，則DX等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：∵X～B， ∴DX＝np(1－p)＝4××＝. 答案：C 4．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號． 求X的分布列，均值和方差． 解：由題意，得X的所有可能取值為0,1

6、,2,3,4，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. 隨機變量的均值和方差的實際應用 [例3]　(10分)甲，乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相同，所得次品數(shù)分別為X，Y，X和Y的分布列如下表．試對這兩名工人的技術(shù)水平進行比較． X 0 1 2 P

7、 Y 0 1 2 P [思路點撥]　解本題的關(guān)鍵是，一要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即數(shù)學期望，二要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大?。鶕?jù)數(shù)學期望與方差值判斷兩名工人的技術(shù)水平情況． [精解詳析]　工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的數(shù)學期望和方差分別為 EX＝0×＋1×＋2×＝0.7， DX＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.(4分) 工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的數(shù)學期望和方差分別為 EY＝0×＋1×＋2×＝0.7， DY＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.(

8、4分) 由EX＝EY知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當，但DX＞DY，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定． (10分) [一點通]　均值僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，如果兩個隨機變量的均值相等，還要看隨機變量的方差，方差大說明隨機變量取值較分散，方差小，說明取值比較集中．因此，在利用均值和方差的意義去分析解決問題時，兩者都要分析． 5．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量X和Y，且X，Y的分布列為 Y 1 2 3 P 0.3 b 0.3 X 1 2 3 P a 0.1 0.6 求：(1)a，b的值；

9、(2)計算X，Y的數(shù)學期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況． 解：(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知 a＋0.1＋0.6＝1， ∴a＝0.3. 同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4. (2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2， DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6 ＝0.81， DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3 ＝0.6. 由于EX>EY，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但DX>DY，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因

10、此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢和劣勢． 6．最近，李師傅一家三口就如何將手中的10萬塊錢投資理財，提出了三種方案： 第一種方案：李師傅的兒子認為：根據(jù)股市收益大的特點，應該將10萬塊錢全部用來買股票．據(jù)分析預測：投資股市一年可能獲利40%，也可能虧損20%(只有這兩種可能)，且獲利與虧損的概率均為. 第二種方案：李師傅認為：現(xiàn)在股市風險大，基金風險較小，應將10萬塊錢全部用來買基金．據(jù)分析預測：投資基金一年后可能獲利20%，也可能損失10%，還可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，，. 第三種方案：李師傅妻子認為：投入股市、基金均有風險，應該將10萬塊錢全部存入銀行一年

11、，現(xiàn)在存款年利率為4%，存款利息稅率為5%. 針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財方法，并說明理由． 解：若按方案一執(zhí)行，設(shè)收益為X萬元，則其分布列為 X 4 －2 P EX＝4×＋(－2)×＝1(萬元)． 若按方案二執(zhí)行，設(shè)收益為Y萬元，則其分布列為 Y 2 0 －1 P EY＝2×＋0×＋(－1)×＝1(萬元)． 若按方案三執(zhí)行，收益z＝10×4%×(1－5%)＝0.38(萬元)， ∴EX＝EY >z. 又DX＝(4－1)2×＋(－2－1)2×＝9. DY＝(2－1)2×＋(0－1)2×＋(－1－1)2× ＝.

12、 由上知DX>DY，說明雖然方案一、二收益相等，但方案二更穩(wěn)妥． ∴建議李師傅家選擇方案二投資較為合理． 1．隨機變量的方差反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度．方差越小，則隨機變量的取值越集中在其均值周圍；反之，方差越大，則隨機變量的取值就越分散． 2．隨機變量的方差與樣本方差的區(qū)別：樣本方差是隨著樣本的不同而變化的，因此，它是一個變量，而隨機變量的方差是一個常量． 1．從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，則隨機變量X的方差為(　　) A.　　　　　　　　 B. C

13、. D. 解析：由X～B，∴DX＝3××＝. 答案：B 2．已知隨機變量X的分布列為：P(X＝k)＝(k＝1,2,3)，則D(3X＋5)＝(　　) A．6 B．9 C．3 D．4 解析：EX＝(1＋2＋3)×＝2， ∵Y＝3X＋5可能取值為8,11,14，其概率均為， ∴EY＝8×＋11×＋14×＝11. ∴DY＝D(3X＋5)＝(8－11)2×＋(11－11)2×＋(11－14)2×＝6. 答案：A 3．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值與方差分別為(　　) A．EX＝0，DX＝1 B．EX＝，DX＝ C．EX＝0，DX＝

14、 D．EX＝，DX＝1 解析：EX＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0， DX＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1. 答案：A 4．若隨機變量X的分布列為P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝b.若EX＝，則DX等于(　　) A. B. C. D. 解析：由題意，得 ∴a＝，b＝. DX＝2×＋2×＝. 答案：D 5．從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中任取不同的兩個，則這兩個數(shù)乘積的數(shù)學期望是________． 解析：從1,2,3,4,5中任取不同的兩個數(shù)，其乘積X的值為2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每個值的概率都是，∴EX＝×(2＋3

15、＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5. 答案：8.5 6．變量X的分布列如下： X＝k －1 0 1 P(X＝k) a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，若EX＝，則DX的值為________． 解析：由a，b，c成等差數(shù)列可知2b＝a＋c. 又∵a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝. 又∵EX＝－a＋c＝，∴a＝，c＝. ∴DX＝2×＋2×＋2× ＝. 答案： 7．(全國新課標改編)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理． (1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當

16、天的利潤y(單位：元)關(guān)于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． 若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學期望及方差． 解：(1)當日需求量n≥16時，利潤y＝80. 當日需求量n＜16時，利潤y＝10n－80. 所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為 y＝(n∈N)． (2)X可能的取值

17、為60,70,80，并且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列為 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的數(shù)學期望為 EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X的方差為 DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7 ＝44. 8．(浙江高考)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，

18、記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數(shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 解：(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以Eη＝＋＋＝， Dη＝2·＋2·＋2·＝. 化簡得解得a＝3c，b＝2c， 故a∶b∶c＝3∶2∶1.