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1、 任意角三角比 一、任意角三角比教學(xué)內(nèi)容分析 任意角的三角比分為4個(gè)課時(shí)。第一課時(shí)學(xué)習(xí)與角有關(guān)的概念，如正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示。第二課時(shí)通過比較角度制與弧度制，體會(huì)弧度制在解決問題中的優(yōu)點(diǎn)；能正確進(jìn)行弧度與角度的換算；會(huì)利用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決實(shí)際問題。第三課時(shí)通過任意三角比的學(xué)習(xí)進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明。第四課時(shí)領(lǐng)會(huì)象限角的三角比的符號(hào)及坐標(biāo)角的三角比值，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算、判斷和求值等。 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1、知識(shí)與技能 領(lǐng)會(huì)與角有關(guān)的概念，如正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示；通過比較角度制與弧度制，

2、體會(huì)弧度制在解決問題中的優(yōu)點(diǎn)；能正確進(jìn)行弧度與角度的換算；會(huì)利用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決實(shí)際問題；學(xué)會(huì)使用單位圓中的有向線段表示三角比；通過任意三角比的學(xué)習(xí)進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明；領(lǐng)會(huì)象限角的三角比的符號(hào)，及坐標(biāo)角的三角比值。 2、過程與方法 通過生活中的實(shí)例感悟角度概念推廣的必要性，體會(huì)“旋轉(zhuǎn)成角”的概念；通過回憶銳角三角比，感悟任意三角比的定義及相關(guān)要點(diǎn)；通過三角比的建立，是學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結(jié)合思想。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀 在整個(gè)教學(xué)過程中用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物，用對(duì)立統(tǒng)一的規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)。 三、教學(xué)重

3、點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解任意角的相關(guān)概念，掌握弧度制與角度制的關(guān)系和運(yùn)用，掌握任意角三角比的值與符號(hào)，并能進(jìn)行應(yīng)用。 難點(diǎn)：弧度制的應(yīng)用，任意角三角比的值與符號(hào)形成與認(rèn)識(shí)。 四、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 任意角三角比的具體應(yīng)用 任意角三角比的值與符號(hào)的闡述 任意角概念的形成與度量制的發(fā)展 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 第一課時(shí)：任意角及其度量（1） 華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué) 楊雪 教學(xué)目標(biāo)： 1、 通過生活中的實(shí)例感悟角度概念推廣的必要性，體會(huì)“旋轉(zhuǎn)成角”的概念。 2、 領(lǐng)會(huì)與角有關(guān)的概念，如正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同的角，并且能按要求正確表示。 3、 樹立辯證唯

4、物主義的世界觀。 教學(xué)用具： 多媒體。 教學(xué)方法： 講授法。 教學(xué)過程： 一、 引入課題： 在初中時(shí)，我們學(xué)過銳角、直角、鈍角等，在現(xiàn)實(shí)生活和工程實(shí)踐中也常常遇到，但我們也會(huì)遇到如體操中“轉(zhuǎn)體720o”，這樣的角超出了我們熟知的范圍，那么它是如何定義的呢？ 在這一章中我們要把角度擴(kuò)充到一切實(shí)數(shù)，我們要來研究任意角的三角比之間的聯(lián)系，并為我們學(xué)習(xí)下一章的三角函數(shù)打好基礎(chǔ)。 二、 講解新課： （一） 角的概念的推廣： 問：什么是角？ 答：從同一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所構(gòu)成的幾何圖形稱為角。① 問：角還可以怎樣生成？ 答：一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)旋

5、轉(zhuǎn)到另一位置所形成的幾何圖形。② 問：比較一下這兩個(gè)關(guān)于角的定義，你認(rèn)為哪一個(gè)更好? 答：各有千秋。①形象、直觀、易理解，但是“狹隘”，②“旋轉(zhuǎn)”形成角，描述了角生成的動(dòng)態(tài)過程。我們把射線初始位置叫做角的始邊，射線的最終位置叫做角的終邊，端點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。其次，②擴(kuò)大了角的范圍。①定義的角只在0o—360o，②則定義了任意角。 問：既然角可由“旋轉(zhuǎn)”得到，那么平面中有幾種“旋轉(zhuǎn)”的方式? 答：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 問：那么根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方式，角可以分成幾類呢？請(qǐng)你給這幾類角取個(gè)名字。 答：三類：正角、負(fù)角和零角。一條射線繞端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為正角，其度量值是正的；按順時(shí)針方

6、向旋轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，其度量值是負(fù)的；當(dāng)一條射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為形成了一個(gè)角，叫零角，它的大小是0o。我們常用希臘字母α、β來表示角。 例：書P5圖5-1中，主動(dòng)輪與被動(dòng)輪的齒數(shù)之比為3:5，當(dāng)主動(dòng)輪按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)5周時(shí)，OA繞O旋轉(zhuǎn)所形成的角是1800o，被動(dòng)輪會(huì)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)3周，O’B繞O’旋轉(zhuǎn)所形成的角是-1080o。 （二） 象限角： 角的頂點(diǎn)置于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊置于軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限，而是坐標(biāo)角。） 例：書P6例1。 練一練：判斷下列各角分別屬于哪個(gè)象限

7、： 30° 390° -330° 300° -60° 585° 1180° -2000° （三）終邊相同的角： 1．觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同 2．終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0°到360°的角與個(gè)周角的和。 390°=30°+360° -330°=30°-360° 30°=30°+0×360° 1470°=30°+4×360° -1770°=30°-5×360° 3．所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合 即：任何一個(gè)與角a終邊

8、相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和。 練一練：書P7練習(xí)5.1（1） 三、 鞏固練習(xí)： 1、 如圖所示，寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合。 2、 在直角坐標(biāo)系中，若角α與β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則角α與β之間的關(guān)系一定是（ ） A、 B、 C、 D、 3、 如果α是第二象限的角，那么是第幾象限的角？ 四、反思與提高： 1、 什么是角？角可以分為幾類?什么是象限角？ 2、 如何表示終邊相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐標(biāo)軸上角？ 3、 查資料了解關(guān)于三角學(xué)的簡(jiǎn)史。 教學(xué)設(shè)計(jì)說明

9、： 從體操例子出發(fā)，說明實(shí)際生活中存在對(duì)角進(jìn)行拓展的需要，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展與延伸與生活的需要相關(guān)的，并要求學(xué)生課后對(duì)三角學(xué)的簡(jiǎn)史做一定的了解，提高對(duì)知識(shí)背景的認(rèn)識(shí)與了解，更有學(xué)習(xí)的動(dòng)力。 在與學(xué)生的交流、引導(dǎo)中引出正角、負(fù)角、零角的概念，進(jìn)而定義象限角、終邊相同角，通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)鞏固概念，加強(qiáng)認(rèn)識(shí)。 第二課時(shí)：任意角及其度量（2） 華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué) 顧冬磊 一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能目標(biāo)： （1）建立弧度制 （2）能正確進(jìn)行弧度與角度的換算。 （3）引入象限角 （4）會(huì)利用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式解決實(shí)際問題 過程與方法目標(biāo)： （1|）通

10、過比較角度制與弧度制，體會(huì)弧度制在解決問題中的優(yōu)點(diǎn) （2）在弧度制下的扇形面積公式和圓的弧長(zhǎng)公式 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： （1） 樹立辯證唯物主義的世界觀。 （2） 了解數(shù)學(xué)史料，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，提高審美情趣。 二、教學(xué)過程： 一、講解新課： （一）知識(shí)點(diǎn)的介紹 a、介紹弧度制： 問：初中時(shí)我們們學(xué)習(xí)的角度制是如何度量角的？ 答：將一個(gè)周角的規(guī)定為1o。 述：今天我們介紹另一種度量角的單位制——弧度制。它的單位是rad 讀作弧度。 o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B

11、 定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角。 如圖：DAOB=1rad DAOC=2rad 周角=2prad 1． 正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0。 2． 角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值 （為弧長(zhǎng)，為半徑）。 3． 用角度制和

12、弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）。 用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。 b、角度制與弧度制的換算： 抓?。?60°=2prad ∴180°=p rad ∴ 例：書P33例2、例3和表2。 注意幾點(diǎn)： 1．今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略 如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦； 2．一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記住； 3．應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立

13、一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 正角 零角 負(fù)角 正實(shí)數(shù) 零 負(fù)實(shí)數(shù) 任意角的集合 實(shí)數(shù)集R 練一練：書P35練習(xí)5.1（2）/1、2、3 c、弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式： 例：書P33例4。 比較和弧度制下兩組公式的區(qū)別 （二）典型例題： 例：用弧度制表示： 1°終邊在軸上的角的集合； 2°終邊在軸上的角的集合； 3°終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合。 4°第一象限角的集合； 5°第二象限角的集合。 例：書P34例6。 注意：在同一個(gè)表達(dá)式或同一個(gè)問題中不要將角度制和弧度制混用。 介紹分區(qū)域的

14、方法。 （三）鞏固練習(xí)： 4、 如圖所示，寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合。 5、 在直角坐標(biāo)系中，若角α與β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則角α與β之間的關(guān)系一定是（ ） A、 B、 C、 D、 6、 如果α是第二象限的角，那么是第幾象限的角？ 7、 將下列按從小到大的順序排列 8、 計(jì)算：。 9、 地球赤道的半徑約為6370km，求赤道上的弧長(zhǎng)（取3.14，結(jié)果精確到0.01km）。 10、 將鐵片剪成一個(gè)半徑為9厘米，弧長(zhǎng)為15厘米的扇形零件。求這扇形的面積。 三、課后反思與提高： 4、 什么是角？角可以分

15、為幾類?什么是象限角？ 5、 如何表示終邊相同的角？如何表示某一象限角？如何表示某一坐標(biāo)軸上角？ 6、 什么是角度制？什么是弧度制？角、弧度制之間如何換算？ 7、 弧度制在解決問題過程中有哪些優(yōu)點(diǎn)？ 8、 什么是弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式？ 6、寫出終邊在第一、三象限角平分線上和終邊在第二、四象限角平分線上的角的集合（合并成一種形式）． 7、查資料了解關(guān)于三角學(xué)的簡(jiǎn)史。 四、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本節(jié)課是三角比的第二節(jié)課，在了解高中階段角的新的定義方法的基礎(chǔ)上，引入新的角的度量方式——弧度值。本節(jié)課的重點(diǎn)就是介紹弧度值：他的定義，和已經(jīng)學(xué)過的角度制之間的聯(lián)系，以及弧度值相對(duì)于角度制的好處，

16、難點(diǎn)在于角度弧度之間的熟練的轉(zhuǎn)換，因此訓(xùn)練就要集中的打破舊的角度思維思路，改為弧度考慮。整堂課因此分為三大部分，第一部分是新的知識(shí)的介紹，第二部分主要是角度弧度的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，最后一部分是反思和提高，把整堂課以及上一堂課的內(nèi)容作一個(gè)總結(jié)。 第三課時(shí)：任意角的三角比（1） 趙向杰 教學(xué)目標(biāo)： 1、 通過回憶銳角三角比，感悟任意三角比的定義及相關(guān)要點(diǎn)。 2、 通過任意三角比的學(xué)習(xí)進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明。領(lǐng)會(huì)象限角的三角比的符號(hào)，及坐標(biāo)角的三角比值。 3、 通過三角比的建立，是學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結(jié)合思想。 教學(xué)用具： 多媒體。 教學(xué)方法： 講練法。

17、 教學(xué)過程： 一、 引入課題： 在初中時(shí)，我們學(xué)習(xí)了銳角三角比。如圖所示，直角三角形OQP中，，點(diǎn)O在原點(diǎn)處。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則角α的對(duì)邊QP的長(zhǎng)為y，鄰邊OQ的長(zhǎng)為x，斜邊OP的長(zhǎng)為r，。 有銳角三角比的定義，得： 。 銳角α的三角比可以用其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義。 　　 二、講解新課： 1、設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）則P與原點(diǎn)的距離（圖示見書P12略） 2、比值叫做a的正弦 記作： ； 比值叫做a的余弦 記作： ； 比值叫做a的正切 記作： ； 比值叫做a的余切 記作： ； 比值叫做a的

18、正割 記作： ； 比值叫做a的余割 記作： 注意: ①角是“任意角”，當(dāng)b=2kp+a(k?Z)時(shí)，b與a的同名三角比值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。 第一組誘導(dǎo)公式： ②實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。（下面有例子說明） ③，而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定（后面將專題研究） ④定義域： 3、典型例題： 例：書P13例1、例2。 介紹單位元。 練一練：書P14練習(xí)5.2（1）/1、2 例：書P14表3 練一練：書P14練習(xí)5.

19、2（1）/3 計(jì)算5sin270o+2cos90o+3cos360o+tan180osin0o+sin245o－cos60o。 例：書P14例3 練一練：書P16練習(xí)5.2（2）/1 例：⑴ 已知角a的終邊經(jīng)過P(4,-3),求2sina+cosa的值； ⑵已知角a的終邊經(jīng)過P(4a,-3a),(a10)求2sina+cosa的值。 三、 鞏固練習(xí)： 1、 已知角α的終邊上一點(diǎn)，求。 2、 已知角θ的終邊上一點(diǎn)為P，OP=25（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。 3、 已知，且α是第四象限的角，求α的其他三角比。 4、 求證：。 5、 化簡(jiǎn)：。 6、8、設(shè)，則

20、等于（ ） A、 B、 C、 D、 四、反思與提高： 1、任意角的三角比是如何定義的？，，分別與tan α，cos α，sin α有何聯(lián)系？ 2、什么是第一組誘導(dǎo)公式？如何求坐標(biāo)角的三角比？是否所有的角都存在六個(gè)三角比？ 3、試研究六個(gè)三角比值的取值范圍。 4、如何確定任意角的三角比在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)? 第四課時(shí)：任意角的三角比（2） 朱 新 一． 教學(xué)目標(biāo)： 1． 知識(shí)與技能 掌握任意角的三角比的定義，會(huì)根據(jù)角的終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)求出六個(gè)三角比，并能確定六個(gè)三角比在各象限內(nèi)的符號(hào)。會(huì)利用任意角的三角比的定義進(jìn)行三角比的求值、化簡(jiǎn)和

21、證明。 2． 過程與方法 在體會(huì)的過程中感悟和歸納出各象限內(nèi)三角比的符號(hào)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 3． 情感態(tài)度與價(jià)值觀 用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物，用對(duì)立統(tǒng)一的規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系。 4、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)： 根據(jù)角的終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)求出六個(gè)三角比，并能確定六個(gè)三角比在各象限內(nèi)的符號(hào)。利用任意角的三角比的定義進(jìn)行三角比的求值、化簡(jiǎn)和證明。 難點(diǎn)： 六個(gè)三角比在各象限內(nèi)的符號(hào)的理解和記憶。 教學(xué)方法： 二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)： （一）復(fù)習(xí)引入 （二）新課： 1、①角是“任意角”，當(dāng)b=2kp+a(k?Z)時(shí)，b與a的同名三角比值應(yīng)該是

22、相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。 第一組誘導(dǎo)公式： ②實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。③，而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定 ④定義域： 2、任意角的三角比在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)： 因?yàn)榻铅恋娜潜扔善浣K邊上的點(diǎn)確定，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)符號(hào)決定了角α的三角比的符號(hào)。請(qǐng)同學(xué)完成表4。由此，總結(jié)出正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律還可以結(jié)合正弦線、余弦線、正切線進(jìn)行印證。 為了便以記憶，我們也可以歸納為一個(gè)圖： 為正 全正 為正 為正

23、 3、例題 （1）求下列各三角比的值： ①sin1470 ② cos ③tan （2）判斷下列角的正弦、余弦、正切、余切的符號(hào)： ① ② （3）根據(jù)下列條件確定角屬于哪個(gè)象限： ①且 ② （4）求函數(shù) 的值域。 （5）求證：角為第三象限角的充分必要條件是 ① ② （6）求的定義域。 4、鞏固練習(xí)： （1）已知角α的終邊上一點(diǎn)，求。 （2）已知角θ的終邊上一點(diǎn)為P，OP=25（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。 （3）已知

24、，且α是第四象限的角，求α的其他三角比。 （4）確定下列三角比的符號(hào)： ； ； ； 。 （5）已知，確定α所屬的象限。 5、反思與提高： （1）什么是第一組誘導(dǎo)公式？如何求坐標(biāo)角的三角比？是否所有的角都存在六個(gè)三角比？ （2）試研究六個(gè)三角比值的取值范圍。 （3）如何確定任意角的三角比在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)? 三、教學(xué)設(shè)計(jì)說明： 1、本課通過對(duì)任意角三角比的復(fù)習(xí)與回顧，引入終邊相同的角的三角比問題，從而得出第一組誘導(dǎo)公式，并在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生確定各三角比在每個(gè)象限的符號(hào)。 2、因?yàn)檫@節(jié)課主要是讓學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用與深化，所以設(shè)計(jì)了6組層層提高的例題，幫助學(xué)生徹底理解本課時(shí)的知識(shí)并有所提高，同時(shí)還準(zhǔn)備了一組題用于深化所學(xué)的知識(shí)。 3、教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透。