《2019年湖南師大附中高三第二次月考試題 理科數(shù)學(xué)（解析版）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年湖南師大附中高三第二次月考試題 理科數(shù)學(xué)（解析版）（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、湖南師大附中2019屆高三月考試卷(二) 數(shù)　學(xué)(理科) 時(shí)量：120分鐘　　　滿分：150分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若集合A＝，B＝，則滿足A∪X＝B的集合X的個(gè)數(shù)為(D) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】集合X可以是，，，共4個(gè)，故選D. 2．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，則角C的大小為(A) A．30° B．60° C．120° D．15

2、0° 【解析】由正弦定理知：a2＋b2－c2＝ab，則cos C＝＝， 又0°

3、不可能是(D) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】由題設(shè)，an＝3＋(n－1)d，2 019是該數(shù)列的一項(xiàng)，即2 019＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因?yàn)閐∈N*，所以d是2 016的約數(shù)，故d不可能是5，故選D. 5．公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積，由此創(chuàng)立了割圓術(shù)，利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率．如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出n的值為(參考數(shù)據(jù)：≈1.732，sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)(B)

4、A．12 B．24 C．48 D．96 【解析】執(zhí)行程序：n＝6，S＝3sin 60°＝，不滿足條件S≥3.10； n＝12，S＝6sin 30°＝3，不滿足條件S≥3.10； n＝24，S＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，滿足條件S≥3.10，退出循環(huán)． 輸出n的值為24.故選B. 6．設(shè)變量x，y滿足約束條件則z＝|x－3y|的取值范圍是(C) A．[2，8] B．[4，8] C．[0，8] D．[8，＋∞) 【解析】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域如圖，z＝|x－3y|＝，其中表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到直線x－3y＝0的距離，由圖可知，點(diǎn)

5、A(－2，2)到直線x－3y＝0的距離最大，最大為；又距離最小顯然為0，所以z＝|x－3y|的取值范圍為[0，8]，故選C. 7.已知的展開式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，記展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第k項(xiàng)，則k＝(B) A．6 B．7 C．6或7 D．5或6 【解析】∵的展開式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以n＝4＋7＝11，第r＋1項(xiàng)系數(shù)為Tr＋1＝C(－1)r，r＝6時(shí)Tr＋1最大，故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)． 8．如圖直角坐標(biāo)系中，角α和角β的終邊分別交單位圓于A，B兩點(diǎn)，若B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－，且滿足S△OAB＝，則sin的值為(A) A. B. C．－

6、 D．－ 【解析】由圖知∠xOA＝α，∠xOB＝－β，且sin β＝－. 由于S△OAB＝知∠AOB＝，即α－β＝，即α＝β＋. 則 sin＝sin＝cos β＝＝.故選A. 9．已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積是(A) A.＋3 B.＋3 C. D. 【解析】幾何體為圓錐挖掉個(gè)圓臺(tái). 其表面積為： S表＝π×22＋π×12＋××4＋××2＋×2＝＋3.故選A. 10．將函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ(θ∈(0，α])，得到曲線C，若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像，則α的最大值為(D)

7、 A．π B. C. D. 【解析】函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)其任意切線都不經(jīng)過(guò)y軸時(shí)，其圖像都仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像. 因?yàn)閒′(x)＝在[0，＋∞)是減函數(shù)且0

8、B|≤|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8， 當(dāng)弦AB過(guò)焦點(diǎn)F(1，0)時(shí)取得最大值8. 故選C. 12．在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形DCC1D1面內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APD＝∠MPC，則三棱錐P－BCD的體積最大值是(D) A．36 B．24 C．18 D．12 【解析】易知△APD∽△MPC，則＝＝2，欲使三棱錐P－BCD的體積最大，只需高最大，通過(guò)坐標(biāo)法得到動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡(一段圓弧)，進(jìn)而判斷高的最大值2，所以(VP－BCD)max＝××2＝12. 二、填空題，本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．已知

9、x∈R，復(fù)數(shù)z1＝1＋xi，z2＝2＋i，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為__－2__． 【解析】＝＝＝＋i為純虛數(shù)，則＝0，即x＝－2. 14. M、N分別為雙曲線－＝1左、右支上的點(diǎn)，設(shè)v是平行于x軸的單位向量，則 的最小值為__6__． 【解析】由向量數(shù)量積的定義，·v即向量在向量v上的投影與v模長(zhǎng)的乘積，故求的最小值，即求在x軸上的投影的絕對(duì)值的最小值，由雙曲線的圖像可知的最小值為6. 15．某單位周一至周五要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值一天班，則甲連續(xù)值兩天班的概率為____． 【解析】記甲連續(xù)值2天班為事件A，每人至少值一天班記為事件B. 則m(A)＝4A＝24，m

10、(B)＝CA＝240，則P(A＋B)＝＝. 16．已知函數(shù)f(x)＝，關(guān)于x的不等式f2(x)－af(x)>0只有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____． 【解析】作出函數(shù)f(x)的圖像： ①若a>0，由f2(x)－af(x)>0，可得f(x)<0或f(x)>a，顯然f(x)<0沒(méi)有整數(shù)解，則f(x)>a有2個(gè)整數(shù)解，由圖可知：≤a0，可得f(x)<－a或f(x)>0，顯然f(x)<－a沒(méi)有整數(shù)解，而f(x)>0有無(wú)數(shù)多個(gè)整數(shù)解，不符題意，舍去； ③若a＝0，由f2(x)－af(x)>0，可得f(x)≠0，有無(wú)數(shù)多個(gè)整數(shù)解，不

11、符題意，舍去． 綜上可知：a∈. 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． (一)必考題：60分． 17．(本小題滿分12分) 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝(λ＋1)Sn＋1(n∈N*，λ≠－2)，且3a1，4a2，a3＋13成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log4an＋1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn<. 【解析】(1)因?yàn)閍n＋1＝(λ＋1)Sn＋1，① 所以當(dāng)n≥2時(shí)，an

12、＝(λ＋1)Sn－1＋1，② 由①－②得an＋1－an＝(λ＋1)an，即an＋1＝(λ＋2)an(n≥2)，2分 又因?yàn)棣恕伲?，且a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，λ＋2為公比的等比數(shù)列， 故a2＝λ＋2，a3＝， 由題知8a2＝3a1＋a3＋13，所以8＝＋16， 整理得λ2－4λ＋4＝0，解得λ＝2，4分 所以an＝4n－1.6分 (2)因?yàn)閍nbn＝log4an＋1，即4n－1·bn＝log44n， 所以bn＝，8分 則Tn＝1＋＋＋…＋＋ ，③ Tn＝＋＋…＋＋，④ ③－④得Tn＝1＋＋＋…＋－＝－， Tn＝－，11分 又n∈N*，所以Tn<.12分

13、 18．(本小題滿分12分) 如圖，α∩β＝l，二面角α－l－β的大小為θ，A∈α，B∈β，點(diǎn)A在直線l上的射影為A1，點(diǎn)B在l上的射影為B1.已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝. (1)若θ＝120°，求直線AB與平面β所成角的正弦值； (2)若θ＝90°，求二面角A1－AB－B1的余弦值． 【解析】 (1)如圖， 過(guò)點(diǎn)A作平面β的垂線交于點(diǎn)G，連接GB、GA1， 因?yàn)锳G⊥β. 則∠ABG是AB與β所成的角． Rt△GA1A中， GA1A＝60°，AA1＝1, ∴AG＝. Rt△AGB中，AB＝2，AG＝， sin∠ABG＝， 故AB與平面β所成的角的正弦值為

14、. 5分 (2) 解法一：∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α.在平面α內(nèi)過(guò)A1作A1E⊥AB1交AB1于E，則A1E⊥平面AB1B.過(guò)E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角． 在Rt△ABB1中，∠BAB1＝45°，∴AB1＝B1B＝. ∴Rt△AA1B中，A1B＝＝＝. 由AA1·A1B＝A1F·AB得 A1F＝＝＝， ∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE＝＝， ∴二面角A1－AB－B1的余弦值為cos θ＝＝.12分 解法二： 如圖，建立坐標(biāo)系， 則A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(

15、，1，0)．在AB上取一點(diǎn)F(x，y，z)，則存在t∈R，使得＝t， 即(x，y，z－1)＝t(，1，－1), ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t, t，1－t)．要使⊥，須·＝0, 即(t, t，1－t) ·(，1，－1)＝0, 2t＋t－(1－t)＝0，解得t＝， ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為， ∴＝. 設(shè)E為AB1的中點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為. ∴＝. 又·＝·(，1，－1)＝ － － ＝0, ∴⊥， ∴∠A1FE為所求二面角的平面角． 又cos∠A1FE＝＝＝＝＝， ∴二面角A1－AB－B1的余弦值為.12分 19．(本小題滿分12分) 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來(lái)衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量

16、指標(biāo)值為k，當(dāng)k≥85時(shí)，產(chǎn)品為一級(jí)品；當(dāng)75≤k<85時(shí)，產(chǎn)品為二級(jí)品，當(dāng)70≤k<75時(shí)，產(chǎn)品為三級(jí)品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做實(shí)驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面的試驗(yàn)結(jié)果：(以下均視頻率為概率) A配方的頻數(shù)分配表： 指標(biāo)值分組 頻數(shù) 10 30 40 20 B配方的頻數(shù)分配表： 指標(biāo)值分組 頻數(shù) 5 15 25 30 25 (1)若從B配方產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記“抽出的B配方產(chǎn)品中至少1件二級(jí)品”為事件C，求事件C發(fā)生的概率P(C)； (2)若兩種新產(chǎn)品的

17、利潤(rùn)率y與質(zhì)量指標(biāo)k滿足如下關(guān)系：y＝其中0

18、所以從長(zhǎng)期來(lái)看，投資A配方產(chǎn)品的平均利潤(rùn)率較大12分． 20. (本小題滿分12分) 如圖，已知圓E：(x＋1)2＋y2＝8，點(diǎn)F(1，0)，P是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q. (1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Г上的方程； (2)已知A，B，C是軌跡Г上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在一象限，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|CA|＝|CB|，問(wèn)△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應(yīng)直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】(1)∵Q在線段PF的垂直平分線上， ∴|QP|＝|QF|， 得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝2， 又|EF|＝2＜2

19、，∴Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓， ∴Г的方程為＋y2＝1. 5分 (2)由點(diǎn)A在第一象限，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線AB的方程為y＝kx(k＞0)， ∵|CA|＝|CB|， ∴C在AB的垂直平分線上， ∴直線OC的方程為y＝－x. 由(1＋2k2)x2＝2，|AB|＝2|OA|＝2＝2，7分 同理可得|OC|＝， S△ABC＝|AB|×|OC|＝，9分 方法1：設(shè)t＝k2＋1≥1，則k2＝t－1， 故S△ABC＝＝＝， 由二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)可求得當(dāng)t＝2，即k＝1時(shí)，S△ABC有最小值為.12分 方法2： ∵(1＋2k2)(k2＋2)≤＝， ∴S

20、△ABC＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)1＋2k2＝k2＋2，即k＝1時(shí)取等號(hào)． ∴S△ABC≥. 綜上，當(dāng)直線AB的方程為y＝x時(shí)，△ABC的面積有最小值.12分 21．(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)＝ax＋2aln x，a∈R＋，g(x)＝ex－1＋aln x＋x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． (1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線經(jīng)過(guò)(0，－2)，證明：f(x)≤g(x)－1； (2)若函數(shù)y＝f(x)與y＝2g(x)－ln x的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，證明：x0<. 【解析】(1)f′(x)＝a＋，k＝f′(1)＝3a， 又k＝，由3a＝a＋2得a

21、＝1，2分 令F(x)＝g(x)－f(x)＝ex－1－ln x(x>0)，則F′(x)＝ex－1－，3分 當(dāng)x∈(0，1)時(shí)F′(x)<0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)F′(x)>0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增， 故函數(shù)F(x)的最小值為F(1)＝1，即f(x)≤g(x)－1.5分 (2)G(x)＝2g(x)－ln x－f(x)＝2ex－1－ln x＋2x－ax，由題意函數(shù)G(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)镚′(x)＝2ex－1－＋2－a，G′′(x)＝2ex－1＋>0，7分 則G′(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，且其值域?yàn)镽，故G′(x)在(0，＋∞)上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為t

22、， 則當(dāng)x∈(0，t)時(shí)G′(x)<0，則G(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈(t，＋∞)時(shí)G′(x)>0，則G(x)單調(diào)遞增， 從而函數(shù)G(x)在x＝t處取得最小值， 又函數(shù)G(x)有唯一零點(diǎn)x0，則必有t＝x0，9分 所以： 消去a整理得：(2－2x0)ex0－1＋1－ln x0＝0， 令H(x)＝2(1－x)ex－1＋1－ln x，顯然x0為其零點(diǎn)， 而H′(x)＝－x<0，故H(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 而H(1)＝1>0，H＝1－e－ln <0，所以H(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)， 在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)， 即x0<.12分 (二)選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23兩題中任

23、選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos. (1)分別寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知點(diǎn)P(2，－1)，直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，若＝6·，求直線l的斜率． 【解析】(1)將(t為參數(shù))消去參數(shù)t可得y＋1＝tan α(x－2)， ∴直線l的普通方程為y－tan αx＋2tan α＋1＝0.2分 由ρ＝2cos，得ρ2＝2ρ(cos θ－sin θ)，將ρ2＝x2＋y2，

24、ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)代入上式，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.5分 (2)將代入(x－1)2＋(y＋1)2＝2中， 整理得t2＋2cos α·t－1＝0，設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－2cos α，t1·t2＝－1，7分 因?yàn)椋?·，所以(t1－t2)2＝6＝－6t1·t2， 所以(t1＋t2)2＋2t1·t2＝0，即4cos2α－2＝0，cos α＝，α＝，tan α＝1， 所以直線l的斜率為1. 10分 23．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x|＋|x＋a|. (1)若存在x使得不等式f(x)≤3a－1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若不等式f(x)≤3a－1的解集為，求實(shí)數(shù)a，b的值． 【解析】(1)對(duì)x∈R，f(x)＝|x|＋|x＋a|≥|x－(x＋a)|＝|a|，2分 當(dāng)且僅當(dāng)x(x＋a)≤0時(shí)取等號(hào)，故原條件等價(jià)于≤3a－1，即－3a＋1≤a≤3a－1，解得a≥， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5分 (2)由(1)知實(shí)數(shù)a的取值范圍是， 故－a<0， 故f(x)＝的圖象如圖所示，8分 由圖可知10分