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1、談《簡易邏輯》中的命題的否定
作者:ZZ 文章來源:ZZ 點擊數(shù):1390 更新時間:2005-6-16
數(shù)學是一門邏輯性很強的學科,學習數(shù)學時處處涉及命題之間的邏輯的關系和推理論證?!度罩破胀ǜ呒壷袑W教科書(試驗本)數(shù)學》的新教材第一冊(上)的第一章新增“簡易邏輯”內容,介紹一些簡單而又實用的邏輯知識,本意是讓學生弄清命題之間的邏輯關系,自覺地使用邏輯規(guī)則,避免一些易犯的錯誤,從而增強判斷是非能力和推理能力,提高數(shù)學思維能力。
由于新增內容,對于高一新生來說是較為抽象,在理解上尚一定難度,加之資料書上對這方面談得少,且我們在線教師不熟悉,
2、知識上存在一定缺陷。至此本人根據(jù)自已參與新教材的教學實踐,談談如何來構造比較合理的命題的否定,供師生們參考。
首先我們要理解好命題否定“非”的認識。“非”命題是對原命題結論的否定。一個命題p經過使用邏輯聯(lián)結詞“非”,就構成一個復合命題“非p”(記作“┓P”)稱為命題的否定?!胺荘”叫做命題P的非命題,也叫做命題P的否定。“非P”形式的復合命題的真值與原命題P的真值為一真一假,一假一真,構成一對矛盾命題。但“非P”絕不是“是”與“不是”的簡單演譯。
《簡易邏輯》一節(jié)中涉及到命題的否定無外乎下面幾種類型:單稱命題的否定即簡單命題的否定,存在性命題的否定,全稱性命題的否定,復合命題
3、“P且q”、“P或q”的否定。下面一一試述:
1 簡單命題的否定
在邏輯聯(lián)結詞中的最簡單命題形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一個特定對象。
例1 寫出下列命題的否定。
(1) 是有理數(shù)。
(2) 菱形的對角線互相垂直。
(3) N {x R︱x>–2}.
(4) 方程 =1沒有實數(shù)根。
解:(1)的否定: 不是有理數(shù)。 或者是并非 是有理數(shù)。
(2)的否定:菱形的對角線不互相垂直。
(3)的否定:N {x R︱x>–2}。
(4)的否定:方程 =1有x
4、≠3的實數(shù)根。
2 復合命題“P且q”;“P或q”形式的否定。
給定命題P、q,用聯(lián)結詞“且”來構成的復合命題“P且q”叫做命題P、q的合取命題(也叫聯(lián)言命題)。記作P q.用聯(lián)結詞“或”來構成的復合命題“P或q” 叫做命題P、q的析取命題(也叫選言命題)。記作P q。它的否定可以通過真值表來:(“1”表示真,“0”表示假)
P q P q P q ┓(P q) ┓(P q) ┓P ┓q ┓P ┓q
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1
5、1 1
從表可知:┓(P q)與 ┓P ┓q的真值相同;┓(P q)與 ┓P ┓q的真值相同,故它們分別是等價命題,因而我們認為“P且q“的否定為:“非P或非q”;“P或q”的否定為“非P且非q”。用符號語言表示:
┓(P q)= ┓P ┓q ┓(P q)= ┓P ┓q
從而知命題“P q”和“P q”的否定:既否定命題P,q;又改變聯(lián)結詞。
例2 寫出下列命題的否定。
(1) a=±5。
(2) f(x)=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。
(3) 5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)。
(4) 2+2=5或3<2。
(5
6、) AB∥CD
(6) a,b都是0。
解(1)的否定:a≠5且a≠–5。(原命題屬于P或q型)
(2)的否定:f(x)不是奇函數(shù)或不是偶函數(shù)。(原命題屬于P且q型)
(3)的否定:5不是10 的約數(shù)或5不是15的約數(shù)。
(4)的否定:2+2≠5且3≥2。
(5)的否定:AB∥CD或AB≠CD。
(6)的否定:“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。
可見回應了原命題與其否定命題是一對矛盾命題。
3 復合命題“若P則q”形式的否定。
“若P則q”(記作P q)型命題的否定實質上較復雜,但在中學數(shù)學里
7、所研究的命題都是具有實質性蘊涵關系的命題,是具有真假性的命題,不能區(qū)分真假性的命題不作研究。
當語句P和q能判斷其真假時就成為命題,那么“若P則q”就是邏輯中的蘊涵關系,其否定形式不妨用真值表來解決。(用“1”表示真,“0”表示假)
P q ┓q P q ┓P q ┓(P q) P (┓q) P (┓q)
1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0 0 1
從表可知,“若P則q”的否定命題真值性與命題“P且非q”相同,故是等價命題。我們就此認為:命題”
8、若P則q”的否定為“P且非q”,且習慣表達為“雖然P,卻非q”的形式,或是“盡管P,然而非q”.用符號語言表示:
┓(P q)= P (┓q) 或 ┓(P q)= ┓(┓P q)= P (┓q)
例3 寫出下列命題的否定。
?。?)若x2+y2=0, 則x, y全為0。
(2)若x=2或x=–1 則x2-x-2=0.
?。?)若集合B真包含集合A,則集合A包含于集合B。
解:(1)的否定:雖然x2+y2=0,但是x和 y不全為0。
?。?)的否定:雖然x=2或x=–1,但x2-x-2≠0.。
?。?)的否定:盡管集合B真包含集合A,然而
9、集合A不包含于集合B。
但在教學中發(fā)現(xiàn)有些師生把例3的答案寫成:(1)若x2+y2=0,則x, y不全為0。(2)若x=2或x=–1,則x2-x-2≠0.是不對的。它誤把若P則q的否定命題認為是“條件P不變,結論q否定,且聯(lián)結詞不變的命題”。即為┓(P q)= P (┓q)。實際上,原命題與否定命題應屬于矛盾命題,而“若P則非q”與“若P則q”構成對立關系的命題;另方面從真值表可知,當P為假時,它們的真值都為真,故不可成為矛盾命題,因此┓(P q)≠P (┓q)例如“若2是奇數(shù),則7是奇數(shù)”與“若2是奇數(shù),則7不是奇數(shù)”都為真命題。希教學中切實注意它們的區(qū)別。
4 含量
10、詞命題的否定。
數(shù)學命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語,在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞(用符號分別記為“ ”與“ ”來表示);由這樣的量詞構成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。那么它的否定又怎么樣?
一般地,全稱命題P: x A,有P(x)成立;其否定命題┓P為: x A,
使P(x)不成立。存在性命題P: x A,使P(x)成立; 其否定命題┓P為: x A,有P(x)不成立。用符號語言表示:
非(( x)p(x))=( x)非p(x) 非(( x)
11、p(x))=( x)非p(x)
在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞,存在性的量詞改成全稱性的量詞,并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則:否定全稱得存在,否定存在得全稱,否定肯定得否定,否定否定得肯定.
例4 寫出下列命題的否定。
(1) 所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。
(2) 任何實數(shù)x都是方程5x-12=0的根。
(3) 對任意實數(shù)x,存在實數(shù)y,使x+y>0.
(4) 有些質數(shù)是奇數(shù)。
解;(1)的否定:有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。
(2)的否定:存在實數(shù)x不是方程5x-12=0的根。
(
12、3)的否定:存在實數(shù)x,對所有實數(shù)y,有x+y≤0。
(4)的否定:所有的質數(shù)都不是奇數(shù)。
但解題中會遇到省略了“所有,任何,任意”等量詞的簡化形式,如“若x>3,則x2>9”。在求解中極易誤當為簡單命題處理;這種情形下時應先將命題寫成完整形式,再依據(jù)法則來寫出其否定形式。
例5 寫出下列命題的否定。
(1) 若x2>4 則x>2.。
(2) 若m≥0,則x2+x-m=0有實數(shù)根。
(3) 可以被5整除的整數(shù),末位是0.。
(4) 被8整除的數(shù)能被4整除。
(5) 若一個四邊形是正方形,則它的四條邊相等。
解(
13、1)的否定:存在實數(shù)x0,雖然滿足x02>4但x0≤2.。或者說:存在小于或等于2的數(shù)x0,滿足x02>4。(完整表達為對任意的實數(shù)x, 若x2>4 則x>2)
?。?)的否定:雖然實數(shù)m≥0,但存在一個x0,使x02+ x0-m=0無實數(shù)根。(原意表達:對任意實數(shù)m,若m≥0,則x2+x-m=0有實數(shù)根。)
?。?)的否定:存在一個可以被5整除的整數(shù),其末位不是0.。
?。?)的否定:存在一個數(shù)能被8整除,但不能被4整除.(原意表達為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)
?。?)的否定:存在一個四邊形,雖然它是正方形,但四條邊中至少有兩條不相等。(原意表達為無論哪個四邊形
14、,若它是正方形,則它的四條邊中任何兩條都相等。)
由此看來,要準確表達含量詞命題的否定,就要求我們掌握好一些詞語的否定如下表:
詞語 是 一定是 都是 大于 小于 且
詞語的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
詞語 必有一個 至少有n個 至多有一個 所有x成立 所有x不成立
詞語的否定 一個也沒有 至多有n-1個 至少有兩個 存在一個x不成立 存在有一個成立
5 命題的否定與否命題的區(qū)別。
命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由:一,任何
15、命題均有否定,無論是真命題還是假命題;而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。二,命題的否定是原命題的矛盾命題,兩者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命題與原命題可能是同真同假,也可能是一真一假。如下面真值表可知:
P q ┓p ┓q” P q ┓p ┓q”
1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1
三,原命題“若P則q” 的形式,它的否定命題在前面已講過;而它的否命題為“若非P,則非q”,(記為“若┓p,則┓q”)即是說既否定條件又否定結論。
例6 寫出下列命題的否
16、定命題與否命題。并判斷其真假性。
?。?) 若x>y,則5x>5y。
?。?) 若x2+x﹤2,則x2-x﹤2。
?。?) 正方形的四條邊相等。
?。?) 已知a,b為實數(shù),若x2+ax+b≤0有非空實解集,則a2-4b≥0。
解:(1)的否定: x,y(x>y且5x≤5y)。 假命題
否命題:V x,y(x≤y 5x≤5y)。 真命題
(原命題為:V x,y(x>y 5x>5y)。真命題)
(2)的否定: x(x2+x﹤2,且x2-x≥2)。真命題
否命題:V x(x2+x≥2, x2-x≥2)。假命題
(原
17、命題為:V x(x2+x﹤2, x2-x﹤2)。假命題)
(3)的否定:存在一個四邊形,盡管它是正方形,然而四條邊中至少有兩條邊不相等。假命題
否命題:若一個四邊形不是正方形,則它的四條邊不相等。假命題
(原命題是真命題 。 看例5(5))
(4)的否定:存在兩個實數(shù)a,b,雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實解集,但使a2-4b﹤0。假命題
否命題:已知a,b為實數(shù),若x2+ax+b≤0沒有非空實解集,則a2-4b﹤0。真命題
(原命題為:對任意的實數(shù)a,b, 若x2+ax+b≤0有非空實解集,則a2-4b≥0真命題)
在教學中,務必理清各類型命題形式結構,性質關系。才能真正準確地完整地表達出命題的否定,才能避犯邏輯性錯誤,才能更好把邏輯知識負載于其它知識之上,達到培養(yǎng)和發(fā)展學生的邏輯思維能力。