4、值．
變式遷移1 已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
探究點(diǎn)二 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值
例2 (2010·安徽合肥三模)已知sin＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos的值．
變式遷移2 設(shè)f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，則f＝________.
探究點(diǎn)三 綜合應(yīng)用
例3 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．
變式遷移3 是否存在角α，β，其中α∈(－，)
5、，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同時(shí)成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
轉(zhuǎn)化與化歸思想
例 (14分)已知α是三角形的內(nèi)角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出來(lái)，并求其值．
多角度審題 由sin α＋cos α＝應(yīng)聯(lián)想到隱含條件sin2α＋cos2α＝1，要求tan α，應(yīng)當(dāng)切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可，(2)需要把弦化成切．
【答題模板】
解 (1)聯(lián)立方程
由①得cos α＝－sin α，將其代入②，整理得2
6、5sin2α－5sin α－12＝0.[2分]
∵α是三角形的內(nèi)角，∴，[4分]
∴tan α＝－.[7分]
(2)＝＝＝，[10分]
∵tan α＝－，∴＝＝＝－.[14分]
【突破思維障礙】
由sin α＋cos α＝及sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立方程組，利用角α的范圍，應(yīng)先求sin α再求cos α.(1)問(wèn)切化弦即可求．(2)問(wèn)應(yīng)弦化切，這時(shí)應(yīng)注意“1”的活用．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
在求解sin α，cos α的過(guò)程中，若消去cos α得到關(guān)于sin α的方程，則求得兩解，然后應(yīng)根據(jù)α角的范圍舍去一個(gè)解，若不注意，則誤認(rèn)為有兩解．
1．由一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三
7、角函數(shù)值時(shí)，要注意討論角的范圍．
2．注意公式的變形使用，弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想，要盡量少開(kāi)方運(yùn)算，慎重確定符號(hào)．注意“1”的靈活代換．
3．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷．
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．(2011·蘇州月考)cos(－)的值是________．
2．已知tan α＝－，且α為第二象限角，則sin α的值等于________．
3．已知f(α)＝，則f(－)的值為_(kāi)_______．
4．(2011·連云港調(diào)研)設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β
8、都是非零實(shí)數(shù)，若f(2 010)＝－1，則f(2 011)＝________.
5．(2010·全國(guó)Ⅰ改編)記cos(－80°)＝k，則tan 100°＝________.
6．已知tan α＝，則的值為_(kāi)_______．
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010·東北育才學(xué)校高三第一次模擬考試)若tan α＝2，則＋cos2α＝________.
二、解答題(共42分)
9．(14分)已知f(α)＝.
(1)化簡(jiǎn)f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．
10．(14分
9、)化簡(jiǎn)： (k∈Z)．
11．(14分)已知sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根．
(1)求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－的值．
答案 自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)＝tan α 2.(1)sin α cos α tan α (2)－sin α cos α
－tan α (3)sin α?。璫os α －tan α (4)－sin α?。璫os α tan α (5)cos α sin α
(6)cos α －sin α
自我檢測(cè)
1.
10、解析 cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.
2.
解析 ∵3sin α＋cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝，
∴＝
＝＝.
3.
4.
解析 cos(－)－sin(－)＝cos(－4π－)－sin(－4π－)＝cos(－)－sin(－)
＝cos＋sin＝.
5．－
解析 sin(α－)＝－sin(－α)
＝－sin[(－α)＋]＝－cos(－α)＝－.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 學(xué)會(huì)利用方程思想解三角函數(shù)題，對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的
11、值，就可以求出其余二式的值，但要注意對(duì)符號(hào)的判斷．
解 由sin x＋cos x＝得，
1＋2sin xcos x＝，則2sin xcos x＝－.
∵－0，
即sin x－cos x<0.則sin x－cos x
＝－
＝－＝－.
(1)sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)
＝×＝－.
(2)由，
得，則tan x＝－.
即＝＝.
變式遷移1 解 ∵sin(3π＋α)＝2sin，
∴－sin α＝－2cos α.
∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.
方法一 (直接代入法)
12、：
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
方法二 (同除轉(zhuǎn)化法)：
(1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α
＝＝＝.
例2 解題導(dǎo)引 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式記憶有一定規(guī)律：的本質(zhì)是：奇變偶不變(對(duì)k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號(hào)看象限(看原函數(shù)，同時(shí)可把α看成是銳角)．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：(1)負(fù)角變正角，再寫(xiě)成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．
解 (1)∵sin＝－，α∈(0，π)，
∴cos α＝－，sin α＝.
∴＝＝－.
(2)∵cos α＝－，sin α＝，
∴sin 2α＝－，c
13、os 2α＝－，
cos＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
變式遷移2
解析 ∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝＝.
例3 解題導(dǎo)引 先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件，再利用平方關(guān)系求得cos A．求角時(shí)，一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角．誘導(dǎo)公式在三角形中常用結(jié)論有：A＋B＝π－C；＋＋＝.
解 由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±.
(1)當(dāng)cos A＝時(shí)，cos B＝，
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
(2)當(dāng)cos A＝－時(shí)，cos B＝－.
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝π，
14、B＝π，不合題意．
綜上知，A＝，B＝，C＝π.
變式遷移3 解 假設(shè)滿足題設(shè)要求的α，β存在，則α，β滿足
①2＋②2，得sin2α＋3(1－sin2α)＝2，
即sin2α＝，sin α＝±.
∵－<α<，∴α＝或α＝－.
(1)當(dāng)α＝時(shí)，由②得cos β＝，
∵0<β<π，∴β＝.
(2)當(dāng)α＝－時(shí)，由②得cos β＝，β＝，但不適合①式，故舍去．
綜上可知，存在α＝，β＝使兩個(gè)等式同時(shí)成立．
課后練習(xí)區(qū)
1.
解析 cos(－)＝cos＝cos(12π－)
＝cos＝.
2.
解析 已知tan α＝－，且α為第二象限角，
有cos α＝－＝－＝－，
15、
所以sin α＝.
3．－
解析 ∵f(α)＝＝－cos α，∴f(－)
＝－cos(－)＝－cos(10π＋)＝－cos＝－.
4．1
解析 ∵f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)
＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)
＝asin[2 010π＋(π＋α)]＋bcos[2 010π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.
5．－
解析 ∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，
sin 80°
16、＝＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
6．－3
解析 原式＝＝
＝＝＝－3.
7.
解析 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋2＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝44＋＝.
8.
解析 原式＝＋
＝3＋＝3＋＝.
9．解 (1)f(α)＝
＝＝－cos α.…………………………………
17、………………………(7分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sin α＝，
∴sin α＝－，……………………………………………………………………………(10分)
∴cos α＝－＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.…………………………………………………………………(14分)
10．解 當(dāng)k為偶數(shù)2n (n∈Z)時(shí)，
原式＝
＝
＝＝＝－1；……………………………………………………(6分)
當(dāng)k為奇數(shù)2n＋1 (n∈Z)時(shí)，
原式＝
＝＝＝－1.………………………………………(12分)
∴當(dāng)k∈Z時(shí)，原式＝－1.………………………………………………………
18、………(14分)
11．解 由已知原方程的判別式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，則a2－2a－1＝0，…………(6分)
從而a＝1－或a＝1＋(舍去)，
因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(1－)[1－(1－)]＝－2.………………………………………………………(11分)
(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－
＝－(＋)＝－＝－＝1＋.………………………………(14分)
新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第4章學(xué)案17
