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備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學 解答題高分寶典 專題05 解析幾何(核心考點)理

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1、 專題05解析幾何 核心考點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是圓錐曲線中的重要問題,也是高考考查的熱點,研究此類一般要用到方程思想,常見類型為交點個數(shù)、切線、弦長、對稱等問題. 【經(jīng)典示例】在直角坐標系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點P,M關(guān)于點P的對稱點為N,連接ON并延長交C于點H. (1)求; (2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點?說明理由. 答題模板 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟 第一步,聯(lián)立方程,得關(guān)于x或y的一元二次方程; 第二步,寫出根與系數(shù)的關(guān)系,并求出Δ>0時參數(shù)范

2、圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點); 第三步,根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2,x1+x2(或y1y2,y1+y2)的關(guān)系式,求得結(jié)果; 第四步,反思回顧,查看有無忽略特殊情況. 【滿分答案】(1)由已知得M(0,t),P, 又N為M關(guān)于點P的對稱點,故N,ON的方程為y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H. 所以N為OH的中點,即=2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點,理由如下: 直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t). 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y(tǒng)2=2t,即直線MH與C只有一個公共點,所以除H以

3、外直線MH與C沒有其他公共點. 【解題技巧】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去一個變量得到關(guān)于x(或y)的一元方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). 若a≠0,可考慮一元二次方程的判別式Δ,有 ①Δ>0?直線與圓錐曲線相交; ②Δ=0?直線與圓錐曲線相切; ③Δ<0?直線與圓錐曲線相離. 2.判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時,可直接求解相應方程組得到交點坐標,也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定,需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0. 3.依據(jù)直線與圓錐曲線的交點個數(shù)求參數(shù)時,聯(lián)立方程并消元,得到一元方程,此時注意觀察方程的二次項系數(shù)是否為0,若

4、為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解. 4.設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則|AB|=|x2-x1|=|y2-y1|. 5.有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法 涉及弦長的問題中,應熟練的利用根與系數(shù)的關(guān)系、設而不求法計算弦長;涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設而不求法簡化運算;涉及過焦點的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解. 6.處理中點弦問題常用的求解方法 (1)點差法:即設出弦的兩端點坐標后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直

5、接聯(lián)系了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率. (2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數(shù)的關(guān)系求解. (3)解決對稱問題除掌握解決中點弦問題的方法外,還要注意:如果點A,B關(guān)于直線l對稱,則l垂直直線AB且A,B的中點在直線l上的應用. 模擬訓練 1.已知點P是圓O:x2+y2=1上任意一點,過點P作PQ⊥y軸于點Q,延長QP到點M,使=. (1)求點M的軌跡E的方程; (2)過點C(m,0)作圓O的切線l,交(1)中曲線E于A,B兩點,求△AOB面積的最大值. (2)由題意可知直線l不與y軸垂直, 故可設l:x=t

6、y+m,t∈R,A(x1,y1),B(x2,y2). ∵l與圓O:x2+y2=1相切,∴=1,即m2=t2+1.① 聯(lián)立消去x,得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0. 其中Δ=(2mt)2-4(t2+4)(m2-4)=16(t2-m2)+64=48>0. ∴y1+y2=-,y1y2=.② ∴|AB|===. 將①②代入上式得 |AB|==,|m|≥1, ∴S△AOB=|AB|·1=×=≤=1, 當且僅當|m|=,即m=±時,等號成立.∴(S△AOB)max=1. 核心考點二圓錐曲線中的定點、定值問題 以直線與圓錐曲線為載體,結(jié)合其他條件探究直線或曲線過定點,或與動點

7、有關(guān)的定值問題,一般常出現(xiàn)在解答題第二問中,難度多為中等. 【經(jīng)典示例】已知橢圓+=1(a>0,b>0)過點(0,1),其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列.直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q、P,與橢圓分別交于點M、N,各點均不重合且滿足=λ1,=λ2. (1)求橢圓的標準方程; (2)若λ1+λ2=-3,試證明:直線l過定點并求此定點. 答題模板 證明直線過定點的步驟: 第一步,設出直線方程為(或);. 第二步,證明 (或);. 第三步,確定直線過點 (或). 【滿分答案】(1)設橢圓的焦距為2c,由題意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2, 又a2

8、=b2+c2,∴a2=3. ∴橢圓的方程為+y2=1. (2)證明 由題意設P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1), N(x2,y2),設l方程為x=t(y-m), 由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1), ∴y1-m=-y1λ1,由題意y1≠0,∴λ1=-1. 同理由=λ2知λ2=-1. ∵λ1+λ2=-3,∴y1y2+m(y1+y2)=0,① 聯(lián)立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0, ∴由題意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,② 且有y1+y2=,y1y2=,③ ③代入①得t2m2-3+2m2t2=0, ∴

9、(mt)2=1, 由題意mt<0,∴mt=-1,滿足②, 得直線l方程為x=ty+1,過定點(1,0),即Q為定點. 【解題技巧】 1.圓錐曲線中定點問題的兩種解法 (1)引進參數(shù)法:引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點. (2)特殊到一般法:根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān). 2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 (1)求代數(shù)式為定值.依題意設條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值; (2)求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設條件

10、化簡、變形求得; (3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式,再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得. 模擬訓練 2.如圖,在平面直角坐標系xOy中,點F(,0),直線l:x=-,點P在直線l上移動,R是線段PF與y軸的交點,RQ⊥FP,PQ⊥l. (1)求動點Q的軌跡C的方程; (2)設圓M過A(1,0),且圓心M在曲線C上,TS是圓M在y軸上截得的弦,當M運動時,弦長|TS|是否為定值?請說明理由. (2)弦長|TS|為定值.理由如下: 取曲線C上點M(x0,y0),M到y(tǒng)軸的距離為d=|x0|=x0,圓的半徑r=|MA|=, 則|TS|=2=2, ∵點

11、M在曲線C上,∴x0=, ∴|TS|=2=2是定值. 核心考點三圓錐曲線中的最值、范圍問題 以直線與圓錐曲線為載體,結(jié)合其他條件求某些量的最值與范圍,一般常出現(xiàn)在解答題第二問中,最值問題是高考中的熱點問題,常涉及不等式、函數(shù)的值域問題,綜合性比較強,解法靈活多變,求解此類問題一般把所求量表示為某些量的函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域或利用基本不等式求最值,此類問題一般運算量較大,要注意運算的準確性. 【經(jīng)典示例】已知△ABP的三個頂點都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,=3. (1)若|PF|=3,求點M的坐標; (2)求△ABP面積的最大值. 答題模板

12、 求△ABP面積的最大值的步驟 第一步,設直線AB的方程為y=kx+m,并確定k,m的關(guān)系; 第二步,把面積表示為m的函數(shù); 第三步,求最大值; 第四步,由最大值確定△ABP面積的最大值. 【滿分答案】(1)由題意知焦點F(0,1),準線方程為y=-1. 設P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y(tǒng)0+1,得y0=2, 所以P(2,2)或P(-2,2), 由=3,得M或M. (2)設直線AB的方程為y=kx+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 由得x2-4kx-4m=0. 于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所

13、以AB中點M的坐標為(2k,2k2+m). 由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以 由x=4y0得k2=-m+, 由Δ>0,k2≥0,得-f=. 所以當m=時,f(m)取到最大值,此時k=±. 所以△ABP面積的最大值為. 【解題技巧】 1.解

14、決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面 (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍; (2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系; (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍; (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍; (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍. 2.處理圓錐曲線最值問題的求解方法 圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何法,即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面

15、幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解;二是利用代數(shù)法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解. 模擬訓練 3.已知橢圓M:+=1(a>0)的一個焦點為F(-1,0),左、右頂點分別為A,B.經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C,D兩點. (1)當直線l的傾斜角為45°時,求線段CD的長; (2)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1-S2|的最大值. 消去y,得7x2+8x-8=0, 設C(x1,y1),D(x2,y2),Δ=288,x1+x2=-,x1x2=-, 所以|CD|=|x1-x2|==. (2

16、)當直線l的斜率不存在時,直線方程為x=-1, 此時△ABD與△ABC面積相等,|S1-S2|=0; 當直線l的斜率存在時,設直線方程為y=k(x+1)(k≠0), 聯(lián)立方程,得 消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, Δ>0,且x1+x2=-,x1x2=, 此時|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=, 因為k≠0,上式=≤==當且僅當k=±時等號成立, 所以|S1-S2|的最大值為. 核心考點四軌跡問題 軌跡問題一般出現(xiàn)在解答題的第一問,難度中等或中等以下,求解軌

17、跡問題關(guān)鍵是建立關(guān)于x,y的等式,求解過程中要注意變形的等價性,同時需注意軌跡的完備性. 【經(jīng)典示例】如圖所示,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當x0=1-時,切線MA的斜率為-. (1)求p的值; (2)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O). 答題模板 “相關(guān)點法”的基本步驟利用向量求空間角的步驟 第一步,設點:設被動點坐標為(x,y),主動點坐標為(x1,y1); 第二步,求關(guān)系式:求出兩個動點坐標之間的關(guān)系式;

18、 第三步,代換:將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點的軌跡方程 第四步,反思回顧.查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范 【滿分答案】(1)因為拋物線C1:x2=4y上任意一點(x,y)的切線斜率為y′=, 且切線MA的斜率為-, 所以點A的坐標為(-1,), 故切線MA的方程為y=-(x+1)+. 因為點M(1-,y0)在切線MA及拋物線C2上, 所以y0=-×(2-)+ =-,① y0=-=-.② 由①②得p=2. (2)設N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2. 由N為線段AB的中點,知 x=,③ y=.④ 所以切線MA,MB的方程分別為

19、y=(x-x1)+,⑤ y=(x-x2)+.⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標為 x0=,y0=. 因為點M(x0,y0)在C2上,即x=-4y0, 所以x1x2=-.⑦ 由③④⑦得x2=y(tǒng),x≠0. 當x1=x2時,A,B重合于原點O, AB的中點N為點O,坐標滿足x2=y(tǒng). 因此AB的中點N的軌跡方程是x2=y(tǒng). 【解題技巧】 1.直接法求曲線方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性.通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步,求出曲線的方程后

20、還需注意檢驗方程的純粹性和完備性. 2.應用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動點的等量關(guān)系式,由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線,再設出標準方程,用待定系數(shù)法求解 模擬訓練 4.如圖,已知圓E:(x+)2+y2=16,點F(,0),P是圓E上任意一點,線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于點Q. (1)求動點Q的軌跡Γ的方程; (2)設直線l與(1)中軌跡Γ相交于A,B兩點,直線OA,l,OB的斜率分別為k1,k,k2(其中k>0),△OAB的面積為S,以OA,OB為直徑的圓的面積分別為S1,S2,若k1,k,k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列,求的取值范圍. 【解析】(1)連接

21、QF,根據(jù)題意, |QP|=|QF|, 則|QE|+|QF|=|QE|+|QP| =4>|EF|=2, 故動點Q的軌跡Γ是以E,F為焦點, 長軸長為4的橢圓. 設其方程為+=1(a>b>0), 可知a=2,c==,則b=1, ∴點Q的軌跡Γ的方程為+y2=1. ∵k1,k,k2構(gòu)成等比數(shù)列, ∴k2=k1k2=, 整理得km(x1+x2)+m2=0, ∴+m2=0,解得k2=. ∵k>0,∴k=. 此時Δ=16(2-m2)>0, 解得m∈(-,). 又由A,O,B三點不共線得m≠0, 從而m∈(-,0)∪(0,). 故S=|AB|d=|x1-x2|· = =|m|. 又+y=+y=1, 則S1+S2=(x+y+x+y) =(x+x+2) = [(x1+x2)2-2x1x2]+=為定值. ∴=×≥, 當且僅當m=±1時等號成立. 綜上,∈[,+∞). 12

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