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高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧 第07講 導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題

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1、 第07講:導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理 【知識(shí)要點(diǎn)】 在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和高考中,我們經(jīng)常會(huì)遇到不等式的雙變量的存在性和任意性問題,學(xué)生由于對(duì)于這類問題理解不清,很容易和不等式的恒成立問題混淆,面對(duì)這類問題總是感到很棘手,或在解題中出現(xiàn)知識(shí)性錯(cuò)誤. 1、雙存在性問題 “存在,存在,使得成立”稱為不等式的雙存在性問題,存在,存在,使得成立,即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值小.,即.(見下圖1) “存在,存在,使得成立”,即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值大,即.(見下圖2) 2、雙任意性問題 “任意,對(duì)任意的,使得成立” 稱為不等式

2、的雙任意性問題. 任意,對(duì)任意的,使得成立,即在區(qū)間任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小,即. “任意,對(duì)任意的,使得成立”,即在區(qū)間內(nèi)任意一 個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大,即. 3、存在任意性問題 “存在,對(duì)任意的,使得成立” 稱為不等式的存在任意性問題. 存在,對(duì)任意的,使得成立,即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小,即. (見下圖3) “存在,對(duì)任意的,使得成立”,即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大,即.(見下圖4) 【方法講評(píng)】 題型一 雙存在性問題 使用情景 不等式中的兩個(gè)自變量屬性都

3、是存在性的. 解題理論 存在,存在,使得成立” 稱為不等式的雙存在性問題,存在,存在,使得成立,即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值小,即. “存在,存在,使得成立”,即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)函數(shù)值大,即. 【例1】已知函數(shù). (Ⅰ)討論的單調(diào)性; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè),若存在,,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),) 當(dāng)時(shí),,, , 當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減, 所以當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,增區(qū)間. 當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為. 當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為, 增區(qū)間為. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知在上的最大值為, ,令,得.

4、 時(shí),,單調(diào)遞減, ,,單調(diào)遞增, 所以在上的最小值為, 由題意可知,解得, 所以. 【點(diǎn)評(píng)】(1)存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題,關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系,所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對(duì)于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解(見前面的知識(shí)要點(diǎn)),也可以這樣記憶,雙存在性問題兩邊的最值相反. 【反饋檢測(cè)1】設(shè)函數(shù), (1)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),試求出關(guān)于的關(guān)系式(用表示),并確定的單調(diào)區(qū)間; (2)在(1)的條件下,設(shè),函數(shù),若存在使得成立,求的取值范圍. 題型二 雙任意性問題 使用情景 不等式的兩個(gè)自變量屬性都是任意的. 解題理論 “任意

5、,對(duì)任意的,使得成立” 稱為不等式的雙任意性問題. 任意,對(duì)任意的,使得成立,即在區(qū)間任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小,即. “任意,對(duì)任意的,使得成立”,即在區(qū)間 內(nèi)任意一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大,即 . 【例2】已知函數(shù).若不等式對(duì)所有,都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】則對(duì)所有的,都成立, 令,,是關(guān)于的一次函數(shù), 因?yàn)?,所? 【點(diǎn)評(píng)】(1)存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題,關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系,所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對(duì)于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解(見前面的知識(shí)要點(diǎn)),也可以這樣記憶,雙任意性

6、問題,兩邊的最值相反. 【反饋檢測(cè)2】已知函數(shù),,,. (Ⅰ)討論的單調(diào)性; (Ⅱ)對(duì)于任意,任意,總有,求的取值范圍. 題型三 存在任意性 使用情景 不等式的兩個(gè)自變量一個(gè)屬性是存在性的,一個(gè)是任意性的. 解題理論 “存在,對(duì)任意的,使得成立”稱為不等式的存在任意性問題. 存在,對(duì)任意的,使得成立,即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要小,即. “存在,對(duì)任意的,使得成立”,即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)值比函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)值都要大,即. 【例3】(2010高考山東理數(shù)第22題)已知函數(shù). (Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性; (Ⅱ)設(shè)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,存

7、在,使,求實(shí)數(shù)取值范圍. (1)當(dāng)時(shí),,當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞增. (2)當(dāng)時(shí),由,即,解得. 當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),,時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減; 時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增; 時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí),當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減; 當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞增. 綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí),函數(shù)在單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減. (Ⅱ)當(dāng)時(shí),在(0,1)上是減函數(shù),在(1,2)上是增函數(shù),所以對(duì)任意,有 又已知存在,使,所以,,(※) 又 當(dāng)時(shí),與(※)矛盾; 當(dāng)時(shí),也與(※)矛盾; 當(dāng)時(shí),. 綜上所述,

8、實(shí)數(shù)的取值范圍是. 【點(diǎn)評(píng)】(1)存在性問題和任意性問題都是最值關(guān)系問題,關(guān)鍵是是什么樣的最值關(guān)系,所以務(wù)必理解清楚,不能含糊.(2)對(duì)于存在性問題和任意性問題的理解可以數(shù)形結(jié)合理解(見前面的知識(shí)要點(diǎn)),也可以這樣記憶,存在任意性問題,兩邊的最值相同. 【反饋檢測(cè)3】已知函數(shù). (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)已知,函數(shù).若對(duì)任意,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破技巧第07講: 導(dǎo)數(shù)中的雙變量存在性和任意性問題的處理參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】(1);(2) . 令,得或 ∵是極值點(diǎn),∴,即 當(dāng)即時(shí),由得或 由得 當(dāng)

9、即時(shí),由得或 由得 綜上可知:當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)由(1)知,當(dāng)a>0時(shí),在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增,∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 又∵,, ∴函數(shù)在區(qū)間[0,4]上的值域是,即 又在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù),且它在區(qū)間[0,4]上的值域是 ∵-==, ∴存在使得成立只須僅須 -<1 【反饋檢測(cè)2答案】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),遞減區(qū)間為,不存在增區(qū)間;當(dāng)時(shí),遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間;(Ⅱ). ∴遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間; 綜上:當(dāng)時(shí),遞減區(qū)間為,不存在增區(qū)間; 當(dāng)時(shí),遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間; (Ⅱ)令,由已知得只需即 若對(duì)任意,恒成立,即 令,則 設(shè),則 ∴在遞減,即 ∴在遞減∴即 的取值范圍為. 【反饋檢測(cè)3答案】(I)詳見解析;(II). 【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】 當(dāng)時(shí),或,在上遞增,在和上遞減; ,在上遞減. (II)由(2)知在內(nèi)單調(diào)遞減,內(nèi)單調(diào)遞增,內(nèi)單調(diào)遞減, 又, 故有, 只需在[0,2]上最小值小于等于-1即可. 即時(shí)最小值,不合題意,舍去; 即時(shí)最小值; 即時(shí)最小值; 綜上所述:. 10

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