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1、 第22練 計數(shù)原理、排列組合與二項式定理【理】 一.題型考點對對練 1.（排列問題與分類加法計數(shù)原理）甲、乙、丙三人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（ ） A. 258 B. 296 C. 306 D. 336 【答案】D 2.（排列問題與分步乘法計數(shù)原理）將數(shù)字“123367”重新排列后得到不同的偶數(shù)個數(shù)為（ ） A. 72 B. 120 C. 192 D. 240 【答案】D 【解析】分三個步驟：一、先排末尾數(shù)，有2、6兩數(shù)中選一個，有2種方法；二、再排剩余

2、的四個數(shù)，有種排法；最后再將3插入四個數(shù)的空間，有種方法，所以由分步計數(shù)原理可得所有不同的偶數(shù)個數(shù)為，應(yīng)選答案D. 3.（組合問題）大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個小孩的現(xiàn)象普遍存在，某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個小孩共8人，準備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名（乘同一輛車的4名小孩不考慮位置），其中A戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自于同一個家庭的乘坐方式共有（ ） A. 18種 B. 24種 C. 36種 D. 48種 【答案】B 【解析】當(dāng)A戶家庭的孿生姐妹乘坐

3、甲車或乙車時，則另兩個小孩，是另外兩個家庭的一個小孩，有 種方法，故選B. 4.（排列與組合的綜合問題）把四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且兩件玩具不能分給同一個人，則不同的分法有（ ） A．36種 B．30種 C．24種 D．18種 【答案】B 5.（排列組合的綜合問題）在某市記者招待會上，需要接受本市甲、乙兩家電視臺記者的提問，兩家電視臺均有記者5人，主持人需要從這10名記者中選出4名記者提問，且這4人中，既有甲電視臺記者，又有乙電視臺記者，且甲電視臺的記者不可以連續(xù)提

4、問，則不同的提問方式的種數(shù)為（ ） A．1200 B．2400 C．3000 D．3600 【答案】B 【解析】若人中，有甲電視臺人，乙電視臺記者人，則不同的提問方式總數(shù)是，若人中，有甲電視臺人，乙電視臺記者人，則不同的提問方式總數(shù)是，若人中，有甲電視臺人，乙電視臺記者人，則不符合主持人的規(guī)定，故所有不同提問方式的總數(shù)為. 6．（二項式定理的賦值應(yīng)用）已知，則（ ） A. 2017 B. 4034 C. D. 0 【答案】C 【解析】因為，兩邊同時求導(dǎo)可得 令，則，故選C. 7.（二項式定理的應(yīng)用）中國南北朝時

5、期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若， ，則的值可以是（ ） A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014 【答案】A 8.（利用二項式定理求指定項）的展開式中，的系數(shù)為__________． 【答案】 8 【解析】由題意得，展開式的通項公式為，則的展開式中，的項為：，故答案為：8. 9.（二項式系數(shù)與項的系數(shù)）若，則__________． 【答案】 【解析】因二項式定理的通項公式為，則，故，應(yīng)填答案. 10.（二項式定理的實際應(yīng)用）核算某項稅率，需用公式.現(xiàn)已知

6、K的展開式中各項的二項式系數(shù)之和是64，用四舍五入的方法計算當(dāng)時K的值.若精確到，其千分位上的數(shù)字應(yīng)是__________． 【答案】3 【解析】由題設(shè)可得得，所以，則當(dāng)時，，故應(yīng)填3. 二.易錯問題糾錯練 11.（分步、分類不清至錯）如圖，圓被其內(nèi)接三角形分為4塊，現(xiàn)有5種顏色準備用來涂這4塊，要求每塊涂一種顏色，且相鄰兩塊的顏色不同，則不同的涂色方法有（ ） A. 360種 B. 320種 C. 108種 D. 96種 【答案】B 【注意問題】按照所投顏色種類進行分類． 12.（限制條件處理不好至錯）將5名學(xué)生分到A，B，C三個宿舍，每個

7、宿舍至少1人至多2人，其中學(xué)生甲不到A宿舍的不同分法有（ ） A. 18種 B. 36種 C. 48種 D. 60種 【答案】D 【解析】根據(jù)限制要求，按甲一個人住在一個宿舍和當(dāng)甲與另一個一進行分類.利用分類計數(shù)原理，第一類，甲一個人住在一個宿舍時有 種,第二類,當(dāng)甲與另一個一起時有 ，所以共有種.選D. 【注意問題】根據(jù)限制要求，按甲一個人住在一個宿舍和當(dāng)甲與另一個一進行分類. 13.（二項式系數(shù)與項的系數(shù)混淆至錯）在的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為4096，則其常數(shù)項為（ ） A. -220 B. 220 C. 110 D.

8、 -110 【答案】A 【解析】先利用二項式系數(shù)求n，在通過展開式通式求常數(shù)項.由題設(shè)可得，則，令，故所求常數(shù)項為，應(yīng)選答案A. 【注意問題】先利用二項式系數(shù)求n，在通過展開式通式求常數(shù)項． 14.（二項式性質(zhì)利用不當(dāng)至錯）的各項系數(shù)之和大于8，小于32，則展開式中系數(shù)最大的項是（ ） A. B. C. D.或 【答案】A 【注意問題】先利用各項系數(shù)和確定n的值，再利用性質(zhì)求最大項． 三.新題好題好好練 15. 【2018江西南昌摸底】某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位

9、，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有 A. 種 B. 種 C. 種 D. 種 【答案】A 【解析】根據(jù)題意，由于節(jié)目甲必須排在前三位，分3種情況討論：①、甲排在第一位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則乙丙相鄰的位置有4個，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個節(jié)目全排列，安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種編排方法；②、甲排在第二位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則乙丙相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個節(jié)目全排列，安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種編排方法；③、甲排在第三位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則乙丙相

10、鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個節(jié)目全排列，安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種編排方法；則符合題意要求的編排方法有種；故選A． 16．把3盆不同的蘭花和4盆不同的玫瑰花擺放在下圖圖案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆蘭花不能放在一條直線上，則不同的擺放方法為（ ） A．2680種 B．4320種 C．4920種 D．5140種 【答案】B 17.數(shù)字“”中，各位數(shù)字相加和為，稱該數(shù)為“長久四位數(shù)”，則用數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字且大于的“長

11、久四位數(shù)”有（ ）個 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】卡片上的四位數(shù)字之和等于，四個數(shù)字為組成的無重復(fù)數(shù)字且大于的“長久四位數(shù)”共有：，組成的無重復(fù)數(shù)字且大于的“長久四位數(shù)”共有個；組成的無重復(fù)數(shù)字且大于的“長久四位數(shù)”共有個，故共（個）. 18.《中國詩詞大會》（第二季)亮點頗多，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞，在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有韻味.若《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場，且《將進酒》排在《望岳》的

12、前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有（ ） A. 種 B. 種 C. 種 D. 種 【答案】A 【解析】《將進酒》、《望岳》和另確定的兩首詩詞排列全排列共有種排法，滿足《將進酒》排在《望岳》的前面的排法共有，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在個空里（最后一個空不排），有種排法，《將進酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有種，故選A. 19.若，則在的展開式中，的冪函數(shù)不是整數(shù)的項共有（ ） A. 13項 B. 14項 C. 15項

13、 D. 16項 【答案】C 20.設(shè)，則的展開式中常數(shù)項是（ ） A. 332 B. -332 C. 320 D. -320 【答案】B 【解析】由題意，得，所以的通項為，則的展開式中常數(shù)項為；故選B. 21.的展開式中，的系數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】展開式中含項為展開式中項的系數(shù)為項的系數(shù)為展開式中的系數(shù)為，故選B. 22.在的展開式中，含項的系數(shù)為________． 【答案】 【解析】由題意得，只有第一項含有，因為的通項，所以，所以的系數(shù)為. 23.若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相鄰的排法總數(shù)為，則二項式的展開式中含項的系數(shù)為______________. 【答案】 24. 【2018江西宜春六校聯(lián)考】若，且，則的值為__________． 【答案】1 【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，則，即： ，從而有： ，令可得： , 令可得： ,原式： . 9