高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章第八節(jié) 函數(shù)與方程課件 理 (廣東專用)
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1、第八節(jié)函數(shù)與方程第八節(jié)函數(shù)與方程1函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)(1)定義:對于函數(shù)定義:對于函數(shù)yf(x)(xD),把使,把使_成立的實(shí)數(shù)成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)的零點(diǎn)(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系:方程函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系:方程f(x)0有實(shí)根有實(shí)根函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象與的圖象與_有交點(diǎn)有交點(diǎn)函數(shù)函數(shù)yf(x)有有_(3)零點(diǎn)存在定理:如果函數(shù)零點(diǎn)存在定理:如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有續(xù)不斷的一條曲線,并且有_,那么函數(shù),那么函數(shù)yf(x)在在區(qū)間區(qū)間_內(nèi)有零點(diǎn),即存在內(nèi)有零點(diǎn),即存在x0(a,b),使得,使得_.f
2、(x)0 x軸軸零點(diǎn)零點(diǎn)f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系b24ac000)的圖象的圖象與與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)_無交點(diǎn)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210(x1,0),(x2,0)(x1,0)3.二分法二分法對于在區(qū)間對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且上連續(xù)不斷且_的函數(shù)的函數(shù)yf(x),通過不斷地把函數(shù)通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間的零點(diǎn)所在的區(qū)間_,使區(qū),使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近_,進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法,進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法叫做二分法 f(a)f(b)0一分為二一分為二零點(diǎn)零點(diǎn)1函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)yf(x)的圖象與的圖象
3、與x軸的交點(diǎn)嗎?軸的交點(diǎn)嗎?【提示【提示】不是函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù),是函數(shù)不是函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù),是函數(shù)yf(x)的圖的圖象與象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 2若函數(shù)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),則內(nèi)有零點(diǎn),則yf(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是否一定是連續(xù)不斷的一條曲線,且有上的圖象是否一定是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)f(b)0呢?呢?【提示【提示】不一定如圖所示,函數(shù)都有零點(diǎn),但不連續(xù)或不不一定如圖所示,函數(shù)都有零點(diǎn),但不連續(xù)或不滿足滿足f(a)f(b)0.1(教材改編題教材改編題)如圖所示的函數(shù)圖象與如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn),但不能軸均有交點(diǎn),但不
4、能用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是()【解析【解析】二分法適用于在二分法適用于在a,b上連續(xù)且上連續(xù)且f(a)f(b)0的情形的情形【答案【答案】A2(2011福建高考改編福建高考改編)若函數(shù)若函數(shù)f(x)x2mx1有兩個(gè)零點(diǎn),則有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是()A(1,1)B(2,2)C(,2)(2,) D(,1)(1,)【解析【解析】依題意,依題意,m240,m2或或m2.【答案【答案】C【答案【答案】C4(2012保定模擬保定模擬)下列是函數(shù)下列是函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,2上一些點(diǎn)的函上一些點(diǎn)的函數(shù)值數(shù)值.x11.251.3751.406 51.43
5、8f(x)20.9840.2600.0520.165x1.51.6251.751.8752f(x)0.6251.9822.6454.356由此可判斷:方程由此可判斷:方程f(x)0的一個(gè)近似解為的一個(gè)近似解為_(精確度精確度0.1,且近似解保留兩位有效數(shù)字,且近似解保留兩位有效數(shù)字)【解析【解析】f(1.438)f(1.406 5)0,且,且|1.4381.406 5|0.031 50.1,f(x)0的一個(gè)近似解為的一個(gè)近似解為1.4.【答案【答案】1.4函數(shù)零點(diǎn)的求解與判定函數(shù)零點(diǎn)的求解與判定 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】注意到三角函數(shù)注意到三角函數(shù)cos x的有界性,可將區(qū)間的有界性,可將區(qū)間0
6、,)分成分成0,1與與1,)兩部分,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定兩部分,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理分別在兩個(gè)區(qū)間上確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)理分別在兩個(gè)區(qū)間上確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【答案【答案】B 【解析【解析】由由f(x)xa0,得,得f(x)xa,令令g(x)xa,在同一坐標(biāo)系中分別,在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)作出函數(shù)f(x)與與g(x)的圖象,如圖所的圖象,如圖所示示從圖象可知,當(dāng)從圖象可知,當(dāng)a1時(shí),兩函數(shù)圖象有時(shí),兩函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),且只有一個(gè)交點(diǎn),故實(shí)數(shù)故實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是(1,)【答案【答案】(1,) 若函數(shù)若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)
7、附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算,參考數(shù)據(jù)如下:的函數(shù)值用二分法計(jì)算,參考數(shù)據(jù)如下:二分法及其應(yīng)用二分法及其應(yīng)用 f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)2.60f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程那么方程x3x22x20的一個(gè)近似根的一個(gè)近似根(精確度精確度0.1)為為()A1.25 B1.375C1.406 25 D1.5【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)二分法求近似零點(diǎn),需將區(qū)間一分為二,二分法求近似零點(diǎn),需將區(qū)間一分為二,逐漸逼近;逐漸逼近;(2)必須滿足精確度要求,即必須滿足精確度要求,即|ab|0.1.【嘗試解答【嘗試解答】根據(jù)題
8、意知函數(shù)的零點(diǎn)在根據(jù)題意知函數(shù)的零點(diǎn)在1.406 25至至1.437 5之之間,間,又又|1.437 51.406 25|0.031 250.1,故方程的一個(gè)近似根可以是故方程的一個(gè)近似根可以是1.406 25.【答案【答案】C1解答本題一要從圖表中尋找數(shù)量信息,二要注意精確解答本題一要從圖表中尋找數(shù)量信息,二要注意精確度的含義,切不可與度的含義,切不可與“精確到精確到”相相“混淆混淆”2(1)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解必須滿足用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解必須滿足yf(x)的的圖象在圖象在a,b內(nèi)連續(xù)不間斷,內(nèi)連續(xù)不間斷,f(a)f(b)0.(2)在第一步中,盡量使區(qū)間長度縮短,以減少計(jì)算量及在
9、第一步中,盡量使區(qū)間長度縮短,以減少計(jì)算量及計(jì)算次數(shù)計(jì)算次數(shù)在用二分法求方程在用二分法求方程x32x10的一個(gè)近似解時(shí),的一個(gè)近似解時(shí),現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi),則下一步可斷定該根所在的內(nèi),則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為區(qū)間為_函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)g(x)m有零點(diǎn),可以分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函有零點(diǎn),可以分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值數(shù)最值(2)結(jié)合函數(shù)結(jié)合函數(shù)f(x)與與g(x)圖象特征,轉(zhuǎn)化為關(guān)于圖象特征,轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不的不等關(guān)系,進(jìn)而求出等關(guān)系,進(jìn)而求出m的取值范圍的取值范圍f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其對稱軸其對
10、稱軸xe,f(x)maxm1e2.若函數(shù)若函數(shù)f(x)與與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)必須有必須有m1e22e,即,即me22e1.即即g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根有兩個(gè)相異實(shí)根m的取值范圍是的取值范圍是(e22e1,) 1第第(2)問常見的錯誤是:不能找出問常見的錯誤是:不能找出f(x)max與與g(x)min之間之間的不等關(guān)系,或弄錯不等號方向的不等關(guān)系,或弄錯不等號方向2解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題,關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建關(guān)于參數(shù)題,關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方
11、程或不等式解方程的方程或不等式解方程(不等式不等式)確定參數(shù)范圍,或采取分離確定參數(shù)范圍,或采取分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域加以解決參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域加以解決設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxb1(a0)(1)當(dāng)當(dāng)a1,b2時(shí),求函數(shù)時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);的零點(diǎn);(2)若對任意若對任意bR,函數(shù),函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)恒有兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取的取值范圍值范圍【解【解】(1)當(dāng)當(dāng)a1,b2時(shí),時(shí),f(x)x22x3,令令f(x)0,得,得x3或或x1.函數(shù)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為3或或1.(2)依題意,依題意,f(x)ax2bxb10有兩個(gè)不同實(shí)根,有兩個(gè)不同實(shí)根,
12、b24a(b1)0恒成立,恒成立,即對于任意即對于任意bR,b24ab4a0恒成立恒成立, 所以有所以有(4a)24(4a)0a2a0,a2a0,解之得,解之得0a1,因此實(shí)數(shù)因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是(0,1). 從近兩年的高考試題來看,函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的問從近兩年的高考試題來看,函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的問題是高考的熱點(diǎn),題型以客觀題為主,考查函數(shù)的零點(diǎn)、方程題是高考的熱點(diǎn),題型以客觀題為主,考查函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根并注重考查函數(shù)與方程的思想方法的根并注重考查函數(shù)與方程的思想方法思想方法之四數(shù)形結(jié)合思想在求函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用思想方法之四數(shù)形結(jié)合思想在求函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用 (2011山東
13、高考山東高考)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)logaxxb(a0,且,且a1)當(dāng)當(dāng)2a3b4時(shí),函數(shù)時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn)x0(n,n1),nN*,則,則n_.【解析【解析】令令y1logax,y2bx.函數(shù)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的零點(diǎn)就是這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由于直線由于直線y2bx在在y軸上的截距軸上的截距b滿足滿足3b4.結(jié)合圖象結(jié)合圖象(如圖所示如圖所示),函數(shù),函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)有唯一零點(diǎn)x0,且,且x02.注意到注意到2a3,且,且3b4,可進(jìn)一步得到:,可進(jìn)一步得到:f(2)loga22b12b0,f(3)loga33b13b0,且,且f(x)l
14、ogaxxb在在(0,)上是增函數(shù)上是增函數(shù)x0(2,3),故,故n2.【答案【答案】2易錯提示:易錯提示:(1)作圖不規(guī)范,難以直觀觀察到作圖不規(guī)范,難以直觀觀察到x02,導(dǎo)致,導(dǎo)致計(jì)算有誤計(jì)算有誤(2)缺乏數(shù)形結(jié)合的思維意識,難以聯(lián)想到求缺乏數(shù)形結(jié)合的思維意識,難以聯(lián)想到求f(2),f(3)值值的符號,思維受阻的符號,思維受阻防范措施:防范措施:(1)判定函數(shù)的零點(diǎn)或由零點(diǎn)求參數(shù)問題要樹判定函數(shù)的零點(diǎn)或由零點(diǎn)求參數(shù)問題要樹立數(shù)形結(jié)合的思想意識立數(shù)形結(jié)合的思想意識(2)熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象及其特征,是正確求解熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象及其特征,是正確求解的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)【解析【解析】x0時(shí),時(shí),f(x)0,即,即x22x30,x3(x1舍去舍去)x0時(shí),時(shí),f(x)0,即,即2ln x0,xe2.【答案【答案】C【答案【答案】B
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