《《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第28講 數(shù)列概念及等差數(shù)列》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第28講 數(shù)列概念及等差數(shù)列（29頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座28）—數(shù)列概念及等差數(shù)列 一．課標(biāo)要求： 1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)； 2．通過實例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式； 3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。 二．命題走向 數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個客觀性題目和一個解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)

2、列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計算技能要求比較高。 預(yù)測07年高考： 1．題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題； 2．知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題。 三．要點精講 1．?dāng)?shù)列的概念 （1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作； 數(shù)列的一般形式：，，，……，

3、，……，簡記作 。 （2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。 例如，數(shù)列①的通項公式是= （7，），數(shù)列②的通項公式是= （）。 說明：①表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項，= 表示數(shù)列的通項公式；② 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =； ③不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示： 序號：1 2 3 4 5 6 項 ：4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系

4、可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，……．通常用來代替，其圖象是一群孤立點。 （4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。 （5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的遞推公式。 2．等差數(shù)列 （1）等差

5、數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。 （2）等差數(shù)列的通項公式：； 說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。 （3）等差中項的概念： 定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中 ，，成等差數(shù)列。 （4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。 四．典例解析 題型1：數(shù)列概念 例1．根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式： （1）1，3，5，7……； （2），，，； （3），，，。 解析

6、：（1）=2； （2）= ； （3）= 。 點評：每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。 例2．?dāng)?shù)列中，已知， （1）寫出，，； （2）是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？ 解析：（1）∵，∴， ，； （2）令，解方程得， ∵，∴， 即為該數(shù)列的第15項。 點評：該題考察數(shù)列通項的定義，會判斷數(shù)列項的歸屬。 題型2：數(shù)列的遞推公式 例3．如圖,一粒子在區(qū)域上運動,在第一秒內(nèi)它從原點運動到點,接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度。 （1）設(shè)粒子從原點到達點時，

7、所經(jīng)過的時間分別為，試寫出的通相公式； （2）求粒子從原點運動到點時所需的時間； （3）粒子從原點開始運動，求經(jīng)過2004秒后，它所處的坐標(biāo)。 解析：(1) 由圖形可設(shè)，當(dāng)粒子從原點到達時，明顯有 …　　　　　　　　　　　　　… ∴＝, 。 , 。 , , 即。 （2）有圖形知，粒子從原點運動到點時所需的時間是到達點所經(jīng)過得時間 再加（44－16）＝28秒， 所以秒。 （3

8、）由2004，解得，取最大得n=44， 經(jīng)計算，得＝1980<2004，從而粒子從原點開始運動，經(jīng)過1980秒后到達點，再向左運行24秒所到達的點的坐標(biāo)為（20，44）。 點評：從起始項入手，逐步展開解題思維。由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在。 例4．（1）已知數(shù)列適合：，，寫出前五項并寫出其通項公式； （2）用上面的數(shù)列，通過等式構(gòu)造新數(shù)列，寫出，并寫出的前5項。 解：（1） ，，，，，……，； （2）， ，，，，． 點評：會根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一

9、種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。 題型3：數(shù)列的應(yīng)用 例5．（05廣東，14）設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這條直線交點的個數(shù)，則=____________；當(dāng)時， （用表示）。 答案：5， 圖B 解析：由圖B可得， 由，，， ， 可推得∵n每增加1，則交點增加個， ∴。 點評：解決此類問題的思路是先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。 例6．（2003京春理14，文15）在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_____

10、）內(nèi)。 答案：140 85 解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，…照此規(guī)律，60歲時的收縮壓和舒張壓分別為140；85. 點評：本題以實際問題為背景，考查了如何把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實施為數(shù)學(xué)思維活動。 題型4：等差數(shù)列的概念 例7．（2001天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn=n2，則{an}是（ ） A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 C.等

11、差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 答案：B； 解法一：an= ∴an=2n－1（n∈N） 又an+1－an=2為常數(shù)，≠常數(shù) ∴{an}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列. 解法二：如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列。 點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。 例8．（2006年江蘇卷）設(shè)數(shù)列、、滿足：，（n=1,2,3,…），證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…） 證明：

12、必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則： ==-=0， ∴（n=1,2,3,…）成立； 又=6（常數(shù)）（n=1,2,3,…） ∴數(shù)列為等差數(shù)列。 充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,…）， ∵……① ∴……② ①－②得： = ∵ ∴……③ 從而有……④ ④－③得：……⑤ ∵，，， ∴由⑤得：（n=1,2,3,…）， 由此，不妨設(shè)（n=1,2,3,…），則（常數(shù)） 故……⑥ 從而……⑦ ⑦－⑥得：， 故（常數(shù)）（n=1,2,3,…）， ∴數(shù)列為等差數(shù)列。 綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…）。

13、 證法二： 令A(yù)n = a n+1- a n，由b n≤b n+1知a n - a n+2≤a n+1- a n+3。 從而a n+1- a n≥a n+3 - a n+2,即An≥An+2（n=1,2,3,…） 由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得 c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即 An+2An+1+3An+2=d2. ⑥ 由此得 An+2+2An+3+3An+

14、2=d2. ⑦ ⑥-⑦得 (An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0 ⑧ 因為An-An+2≥0，An+1- An+3≥0，An+2- An+4≥0, 所以由⑧得An-An+2=0(n=1,2,3,…)。 于是由⑥得 4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, ⑨ 從而 2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 ⑩ 由⑨和⑩得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+

15、1= An ,即 a n+2- a n+1= a n+1- a n(n=1,2,3,…)， 所以數(shù)列{a n}是等差數(shù)列。 點評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果。 題型5：等差數(shù)列通項公式 例9．（2006年全國卷I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則（ ） A． B． C． D． 解析：，，將代入，得，從而。選B。 點評：應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項和公差的式子，變元減少，因式就容易處理了。 例10．（1）（2005湖南16

16、）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）證明 解析：（1）（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d。 由即d=1。 所以即 （II）證明因為， 所以 點評：該題通過求通項公式，最終通過通項公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。 題型6：等差數(shù)列的前n項和公式 例11．（1）（2002京皖春，11）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（ ） A.13項 B.12項 C.11項 D.10項 （2）（2001全國理，3）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)

17、列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ） A.1 B.2 C.4 D.6 （3）（2006年全國卷II）設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若＝，則＝（ ） A． B． C． D． 解析：（1）答案：A 設(shè)這個數(shù)列有n項 ∵ ∴ ∴n＝13 （2）答案：B 前三項和為12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4 a1·a2·a3＝48，∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8， 把a1，a3作為方程的兩根且a

18、1＜a3， ∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B. （3）答案為A； 點評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式的運用和考生分析問題、解決問題的能力。 例12．（1）（2000全國文，18）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列｛｝的前n項和，求Tn。 （2）（1998全國文，25）已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+…+b10=100. （Ⅰ）求數(shù)列｛bn｝的通項bn； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項an=lg（1+），記Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和，試比較Sn與lgbn+1的大小

19、，并證明你的結(jié)論。 解析：（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，則 Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75， ∴即 解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）。 ∵， ∴數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，其首項為－2，公差為， ∴Tn＝n2－n． （2）（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，由題意得 解得 ∴bn=2n－1. （Ⅱ）由bn=2n－1，知 Sn=lg（1+1）+lg（1+）+…+lg（1+） =lg［（1+1）（1+）…（1+）］， lgbn+1=lg. 因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+）…（1+）與的大小

20、. 取n=1，有（1+1）＞， 取n=2，有（1+1）（1+）＞，…… 由此推測（1+1）（1+）…（1+）＞. ① 若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：Sn＞lgbn+1。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式。 （i）當(dāng)n=1時已驗證①式成立。 （ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞. 那么，當(dāng)n=k+1時，（1+1）（1+）…（1+）［1+］＞ ·（1+）=（2k+2）。 ∵［（2k+2）］2－（）2 ＝， ∴. 因而 這就是說①式當(dāng)n=k+1時也成立. 由（i），（ii）知①式對任何正整數(shù)n都成立. 由此證得：Sn＞lgbn

21、+1。 評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解。 題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式 例13．（1）（2002上海春，16）設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 （2）（1994全國理，12）等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ） A.130 B.170 C.210 D

22、.260 解析：（1）答案：C； 由S50， 又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0， 由S7>S8，得a8<0，而C選項S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0， 由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項是錯誤的。 （2）答案：C 解法一：由題意得方程組， 視m為已知數(shù)，解得， ∴。 解法二：設(shè)前m項的和為b1，第m+1到2m項之和為b2，第2m+1到3m項之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。 于是b1=30，b2=100－30=70，公

23、差d=70－30=40。 ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前3m項之和S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2－S1=70，從而d=a2－a1=40。 于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。 點評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。 例14．（2000上

24、海，21）在XOY平面上有一點列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…，對每個自然數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=2000（）x（0＜a＜10＝的圖象上，且點Pn、點（n，0）與點（n+1，0）構(gòu)成一個以Pn為頂點的等腰三角形。 （Ⅰ）求點Pn的縱坐標(biāo)bn的表達式； （Ⅱ）若對每個自然數(shù)n，以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍； （Ⅲ）（理）設(shè)Bn＝b1，b2…bn（n∈N）.若a取（Ⅱ）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛Bn｝的最大項的項數(shù)。 （文）設(shè)cn＝lg（bn）（n∈N）.若a?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛cn｝前多

25、少項的和最大?試說明理由。 解析：.解：（Ⅰ）由題意，an＝n＋，∴bn＝2000（）。 （Ⅱ）∵函數(shù)y=2000（）x（0＜a＜10）遞減， ∴對每個自然數(shù)n，有bn＞bn＋1＞bn＋2 則以bn，bn＋1，bn＋2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn＋2＋bn＋1＞bn， 即（）2＋（－1）＞0， 解得a＜－5（1＋）或a＞5（－1）， ∴5（－1）＜a＜10． （Ⅲ）（理）∵5（－1）＜a＜10， ∴a=7，bn＝2000（）。 數(shù)列｛bn｝是一個遞減的正數(shù)數(shù)列.對每個自然數(shù)n≥2，Bn＝bnBn－1。 于是當(dāng)bn≥1時，Bn≥Bn－1，當(dāng)bn＜1時，Bn＜Bn－

26、1， 因此，數(shù)列｛Bn｝的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn＋1＜1。 由bn＝2000（）≥1，得n≤20.8，∴n=20。 （文）∵5（－1）＜a＜10，∴a=7，bn＝2000（）。 于是cn＝lg［2000（）］＝3＋lg2（n＋）lg0.7 數(shù)列｛cn｝是一個遞減的等差數(shù)列. 因此，當(dāng)且僅當(dāng)cn≥0，且cn＋1＜0時，數(shù)列｛cn｝的前n項的和最大。 由cn＝3＋lg2＋（n＋）lg0．7≥0， 得n≤20.8，∴n=20。 點評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，及等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法. 五．思維總結(jié) 1．

27、數(shù)列的知識要點： （1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝）上的函數(shù)f（n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點構(gòu)成的。 （2）對于數(shù)列的通項公式要掌握：①已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；②根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式；③一個數(shù)列還

28、可以用遞推公式來表示；④在數(shù)列｛an｝中，前n 項和Sn 與通項公式an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認真掌握之。即an＝。特別要注意的是，若a1 適合由an＝Sn－Sn－1（n≥2）可得到的表達式，則an 不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子。 2．等差數(shù)列的知識要點： （1）等差數(shù)列定義an＋1－an＝d（常數(shù)）（n N），這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項，如a3－a2＝a2－a1＝d（常數(shù)）就說｛an｝是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。還可由an＋an＋2＝2 an＋1 即an＋2－an＋1＝an＋1－an 來判斷。 （2）等差數(shù)列的通項為a

29、n＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝an＋（a1－d），當(dāng)d≠0時，an 是關(guān)于n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么n 為自然數(shù)的點的集合。 （3）對于A 是a、b 的等差中項，可以表示成2 A＝a＋b。 （4）等差數(shù)列的前n 項和公式Sn＝·n－na1＋d，可以整理成Sn＝n2＋。當(dāng)d≠0時是n 的一個常數(shù)項為0的二次式。 （5）等差數(shù)列的判定方法： ①定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列； ②等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。 3．等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項； （2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成

30、的數(shù)列是， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差數(shù)列中，對任意，，，； （4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則； 5．說明：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則①奇偶； ② ；（Ⅱ）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則①偶奇；②。 6．（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；②若已知，則最值時的值（）可如下確定或。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座14）—直線、圓的位置關(guān)系 一．課標(biāo)要求： 1．能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標(biāo)； 2．探

31、索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離； 3．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系； 4．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題； 5．在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。 二．命題走向 本講考察重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系（特別是弦長問題），此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，有時在解析幾何中也會出現(xiàn)大題，多考察其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識。 預(yù)測2007年對本講的考察是： （1）一個選擇題或一個填空題，解答題多與其它知識聯(lián)合考察； （2）熱點問題是

32、直線的位置關(guān)系、借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線與圓的位置關(guān)系，注重此種思想方法的考察也會是一個命題的方向； （3）本講的內(nèi)容考察了學(xué)生的理解能力、邏輯思維能力、運算能力。 三．要點精講 1．直線l1與直線l2的的平行與垂直 （1）若l1，l2均存在斜率且不重合： ①l1//l2 k1=k2；②l1l2 k1k2=－1。 （2）若 若A1、A2、B1、B2都不為零。 ①l1//l2； ②l1l2 A1A2+B1B2=0； ③l1與l2相交； ④l1與l2重合； 注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點:兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直

33、線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。 2． 距離 （1）兩點間距離：若，則 特別地：軸，則、軸，則。 （2）平行線間距離：若， 則：。注意點：x，y對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等。 （3）點到直線的距離：，則P到l的距離為： 3．直線與圓的位置關(guān)系有三種 （1）若，； （2）； （3）。 還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個數(shù)來判斷： （1）當(dāng)方程組有2個公共解時（直線與圓有2個交點），直線與圓相交； （2）當(dāng)方程組有且只有1個公共解時（直線與圓只有1個交點），直線與圓相切； （3）當(dāng)方程組沒有公共解時（直線與圓沒有交點），直線與圓相離

34、； 即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系： 相切d=rΔ＝0； 相交d0； 相離d>rΔ<0。 4．兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。 ； ； ； ； ； 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 判斷兩個圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個數(shù)來解

35、決。 四．典例解析 題型1：直線間的位置關(guān)系 例1．（1）（2006北京11）若三點 A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共線，則, 的值等于 。 （2）（2006上海文11）已知兩條直線若，則___ _。 解析：（1）答案：；（2）2。 點評：（1）三點共線問題借助斜率來解決，只需保證；（2）對直線平行關(guān)系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況。 例2．（1）（2006福建文，1）已知兩條直線和互相垂直，則等于（ ） A．2　　　　 B．1　　　　 C．0　　　　 D． （2）（2

36、006安徽理，7）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ） A． B． C． D． 解析：（1）答案為D；（2）與直線垂直的直線為，即在某一點的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點的切線為，故選A。 點評：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負倒數(shù)的關(guān)系，同時兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。 題型2：距離問題 例3．（2002京皖春文，8）到兩坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡方程是（ ） A．x－y=0 B．x+y=0 C．|x|－y=0 D．|x|－|y|=0 解析：設(shè)到坐標(biāo)軸距離相等的點為（x，y）

37、 ∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0。答案：D 點評：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑 例4．（2002全國文，21）已知點P到兩個定點M（－1，0）、N（1，0）距離的比為，點N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程。 解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有， 即。 整理得 x2+y2－6x+1=0 ① 因為點N到PM的距離為1，|MＮ|＝2， 所以∠PMN＝30°，直線PM的斜率為±， 直線PM的方程為y=±（x＋1） ② 將②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0。 解得x＝2＋，x

38、＝2－。 代入②式得點P的坐標(biāo)為（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；（2＋，－1－）或（2－，1－）。 直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1。 點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進行了不同程度的考查.對運算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。 題型3：直線與圓的位置關(guān)系 例5．（1）（2006安徽文，7）直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是（

39、 ） A．　 B．　 C． D． （2）（2006江蘇理，2）圓的切線方程中有一個是（ ） A．x－y＝0　　　 B．x＋y＝0　　　 C．x＝0　　　 D．y＝0 解析：（1）解析：由圓的圓心到直線大于，且，選A。 點評：該題考察了直線與圓位置關(guān)系的判定。 （2）直線ax+by=0，則，由排除法， 選C，本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事。 點評：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件：直線與圓的方程

40、組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來解。 例6．（2006江西理，16）已知圓M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直線l：y＝kx，下面四個命題： （A） 對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M相切； （B） 對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點； （C） 對任意實數(shù)q，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切； （D）對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)q，使得直線l與和圓M相切。 其中真命題的代號是______________（寫出所有真命題的代號） 解析：圓心坐標(biāo)為（－cosq，sinq） d＝ 故選（B）（D） 點評：該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想

41、。 題型4：直線與圓綜合問題 例7．（1999全國，9）直線x+y－2=0截圓x2＋y2＝4得的劣弧所對的圓心角為（ ） A． B． C． D． 解析：如圖所示： 圖 由 消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。 ∴A（2，0），B（1，） ∴|AB|==2 又|OB|＝|OA|=2， ∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=，故選C。 點評：本題考查直線與圓相交的基本知識，及正三角形的性質(zhì)以及邏輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想，同時也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的簡捷性。如果注意到直線AB的傾斜角為120°，則等腰△OA

42、B的底角為60°.因此∠AOB=60°.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。 例8．（2006全國2，16）過點（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝ 。 解析：過點的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率 解析(數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線，所以。 點評：本題主要考察數(shù)形結(jié)合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，難度中等。 題型5：對稱問題 例9．（89年高考題）一束光線l自A（－3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x

43、2＋y2－4x－4y＋7＝0上。 (Ⅰ) 求反射線通過圓心C時，光線l的方程； (Ⅱ) 求在x軸上，反射點M的范圍． 解法一：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (x－2)2+(y－2)2=1，它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是(x－2)2+(y+2)2=1。設(shè)光線L所在的直線的方程是y－3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題設(shè)知對稱圓的圓心C′（2，-2）到這條直線的距離等于1，即d==1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= －或k= －。故所求直線方程是y－3=－(x+3)，或y－3= －(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。 解法二：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2+(

44、y－2)2=1，設(shè)交線L所在的直線的方程是 y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由題意知k≠0，于是L的反射點的坐標(biāo)是（－，0），因為光線的入射角等于反射角，所以反射光線L′所在直線的方程為y= －k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。這條直線應(yīng)與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即d==1。以下同解法一。 點評：圓復(fù)合直線的對稱問題，解題思路兼顧到直線對稱性問題，重點關(guān)注對稱圓的幾何要素，特別是圓心坐標(biāo)和圓的半徑。 例10．已知函數(shù)f(x)=x2－1(x≥1)的圖像為C1，曲線C2與C1關(guān)于直線y=x對稱。 （1）求曲線C2的方程y=g(x)； （2）設(shè)函數(shù)y=g(x)的

45、定義域為M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求證|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|; （3）設(shè)A、B為曲線C2上任意不同兩點，證明直線AB與直線y=x必相交。 解析：（1）曲線C1和C2關(guān)于直線y=x對稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。 ∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=，則曲線C2的方程為g(x)= (x≥0)。 （2）設(shè)x1，x2∈M，且x1≠x2，則x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0， ∴|g(x1)－g(x2)|=| －|=≤<|x1－x2|。 （3）設(shè)A(x1，y1)、B（x2，y2）為曲線C2上任意不同兩點，x1，x2∈M，且x1≠x2， 由（

46、2）知，|kAB|=||=<1 ∴直線AB的斜率|kAB|≠1，又直線y=x的斜率為1，∴直線AB與直線y=x必相交。 點評：曲線對稱問題應(yīng)從方程與曲線的對應(yīng)關(guān)系入手來處理，最終轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系。 題型6：軌跡問題 例11．（2005山東理，22）已知動圓過定點，且與直線相切，其中。 （I）求動圓圓心的軌跡的方程； （II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。 解析：（I）如圖，設(shè)為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點

47、的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為； （II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達定理知① （1）當(dāng)時，即時，所以，所以由①知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點。 （2）當(dāng)時，由， 得==， 將①式代入上式整理化簡可得：，所以， 此時，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點。 所以由（1）（2）知，當(dāng)時，直線恒過定點，當(dāng)時直線恒過定點。 點評：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。 例12．（2005江蘇，19）如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動點分別作圓、圓的

48、切線（分別為切點），使得. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點的軌跡方程。 解析：以的中點為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，。 由已知，得。 因為兩圓半徑均為1，所以。 設(shè)，則， 即(或)。 點評：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運算能力。 題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題 例13．已知實數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。 解析：表示過點A（0，－1）和圓上的動點（x，y）的直線的斜率。 如下圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值。 設(shè)切線方程為，即，則，解得。 因此， 點評：直線知識是解析幾何的基礎(chǔ)知識，靈活運用直線知識解題具有構(gòu)思巧

49、妙、直觀性強等特點，對啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運用。 例14．設(shè)雙曲線的兩支分別為，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。若在上，Q、R在上，求頂點Q、R的坐標(biāo)。 分析：正三角形PQR中，有， 則以為圓心，為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點。 根據(jù)兩曲線方程可求出交點Q、R坐標(biāo)。 解析：設(shè)以P為圓心，為半徑的圓的方程為：， 由得：。 （其中，可令進行換元解之） 設(shè)Q、R兩點的坐標(biāo)分別為，則。 即， 同理可得：， 且因為△PQR是正三角形，則， 即，得。 代入方程，即。 由方程組，得：或， 所以，所求Q、R的坐標(biāo)分別為 點

50、評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。 五．思維總結(jié) 1．關(guān)于直線對稱問題： （1）關(guān)于l ：Ax ＋By ＋C ＝0對稱問題：不論點，直線與曲線關(guān)于l 對稱問題總可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于l 對稱問題，因為對稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P（x0 ，y0）關(guān)于l ：Ax ＋By ＋C ＝0對稱點Q（x1 ，y1）．有＝－（1）與A·＋B·＋C ＝0。 （2）解出x1 與y1 ；若求C1 ：曲線f（x ，y）＝0（包括直線）關(guān)于l ：Ax ＋By ＋C1 ＝0對稱

51、的曲線C2 ，由上面的（1）、（2）中求出x0 ＝g1（x1 ，y1）與y0 ＝g2（x1 ，y1），然后代入C1 ：f [g1（x1 ，y1），g2（x2 ，y2）]＝0，就得到關(guān)于l 對稱的曲線C2 方程：f [g1（x ，y），g2（x ，y）]＝0。 （3）若l ：Ax ＋By ＋C ＝0中的x ，y 項系數(shù)|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C1 ：y2 ＝4 x －2關(guān)于l ：x －y －4＝0對稱的曲線l2 的方程為：(x －4) 2 ＝4（y ＋4）－2．即y 用x －4代，x 用y ＋4代，這樣就比較簡單了。 （4）解有關(guān)入射光線與反射

52、光線問題就可以用對稱問題來解決。 點與圓位置關(guān)系：P（x0 ，y0）和圓C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2 ＝r2。 ①點P 在圓C 外有(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＞r2； ②點P 在圓上：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＝r2； ③點P 在圓內(nèi)：(x0 －a) 2 ＋(y0 －b) 2 ＜r2 。 3．直線與圓的位置關(guān)系：l ：f1（x ，y）＝0．圓C ：f2（x ，y）＝0消y 得F（x2）＝0。 （1）直線與圓相交：F（x ，y）＝0中D ＞0；或圓心到直線距離d ＜r 。 直線與圓相交的相關(guān)問題：①弦長|AB|＝·|x1 －x2|＝·，

53、或|AB|＝2；②弦中點坐標(biāo)（，）；③弦中點軌跡方程。 （2）直線與圓相切：F（x）＝0中D ＝0，或d ＝r ．其相關(guān)問題是切線方程．如P（x0 ，y0）是圓x2 ＋y2 ＝r2 上的點，過P 的切線方程為x0x ＋y0y ＝r2 ，其二是圓外點P（x0 ，y0）向圓到兩條切線的切線長為或；其三是P（x0 ，y0）為圓x2 ＋y2 ＝r2 外一點引兩條切線，有兩個切點A ，B ，過A ，B 的直線方程為x0x ＋y0y ＝r2 。 （3）直線與圓相離：F（x）＝0中D ＜0；或d ＜r ；主要是圓上的點到直線距離d 的最大值與最小值，設(shè)Q 為圓C ：(x －a) 2 ＋(y －b) 2

54、＝r2 上任一點，|PQ|max ＝|PC|＋r ；|PQ|min ＝|PQ|－r ，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值． 4．圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距|O1O2|與兩半徑r1 ，r2 的和差關(guān)系判定． （1）設(shè)⊙O1 圓心O1 ，半徑r1 ，⊙O2 圓心O2 ，半徑r2 則： ①當(dāng)r1 ＋r2 ＝|O1O2|時⊙O1 與⊙O2 外切；②當(dāng)|r1 －r2|＝|O1O2|時，兩圓相切；③當(dāng)|r1 －r2|＜|O1O2|＜r1 ＋r2 時兩圓相交；④當(dāng)|r1 －r2|＞|O1O2|時兩圓內(nèi)含；⑤當(dāng)r1 ＋r2 ＜|O1O2|時兩圓外離。 （2）設(shè)⊙O1 ：x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＝0，⊙O2 ：x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2 ＝0。 ①兩圓相交A 、B 兩點，其公共弦所在直線方程為（D1 －D2）x ＋（E1 －E2）y ＋F1 －F2 ＝0； ②經(jīng)過兩圓的交點的圓系方程為x2 ＋y2 ＋D1x ＋E1y ＋F1 ＋l（x2 ＋y2 ＋D2x ＋E2y ＋F2）＝0（不包括⊙O2 方程）。 第 29 頁 共 29 頁