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1、專題十一專題十一 探索性問題的解法探索性問題的解法數(shù)學第二輪專題復習第二部分數(shù)學第二輪專題復習第二部分應試策略應試策略 考題剖析考題剖析 試題特點試題特點 030507探索性問題的解法探索性問題的解法 探索性問題常常需要由給定的題設條件去探索相應的結(jié)論，或由問題的題干去追溯相應的條件，要求在解題之前必須透過問題的表象去尋找、去發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西.問題增加了許多可變的因素，思維指向不明顯，解題時往往難于下手. 近年來，探索性問題在高考試題中多次出現(xiàn)，主要有以下幾類： (1)探索條件型問題：從給定的問題結(jié)論出發(fā)，追溯結(jié)論成立的充分條件；試題特點試題特點探索性問題的解法探索性問題的解法 (2)探索結(jié)論

2、型問題：從給定的題設條件出發(fā)，探求相關的結(jié)論； (3)探索存在型問題：從假設相關結(jié)論存在出發(fā)，從而肯定或否定這種結(jié)論是否存在； (4)探索綜合型問題：從變更題設條件或問題的結(jié)論的某個部分出發(fā)，探究問題的相應變化. 2007年數(shù)學試卷中繼續(xù)保持了探索型、開放型、研究型等題型，形式上也有突破，如只猜不證，只算不寫等；填空題中出現(xiàn)了條件、結(jié)論完全開放的設計，題型的創(chuàng)新，帶來了新的理念，也必將促進教學的創(chuàng)新.試題特點試題特點探索性問題的解法探索性問題的解法應應 試試 策策 略略 問題的條件不完備，結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征，從探索性問題的解題過程來看，沒有確定的模式，可變性多，對觀察、試驗、聯(lián)想

3、、類比、猜想、抽象、概括，特別是對發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力要求較高.探索性問題的常見解法有： (1)從最簡單、最特殊的情況出發(fā)，有時也可借助直覺觀察或判斷，推測出命題的結(jié)論，必要時給出嚴格證明； (2)假設結(jié)論存在，若推證無矛盾，則結(jié)論確實存在，若推出矛盾，則結(jié)論不存在； (3)使用等價轉(zhuǎn)化思想，找出命題成立的充要條件.應試策略應試策略探索性問題的解法探索性問題的解法考考 題題 剖剖 析析 . .（2007上海市新中第一考試） （1）證明：當a1時，不等式a3+ a2+ 成立; （2）要使上述不等式a3+ a2+ 成立，能否將條件“a1”適當放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理

4、由; （3）請你根據(jù)（1）、（2）的證明，試寫出一個類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明.考題剖析考題剖析探索性問題的解法探索性問題的解法 解 析（1）證明：a3+ a2 = (a1)(a51),a1， (a1)(a51)0，原不等式成立 （2）a1與a51同號對任何a0且a1恒成立，上述不等式的條件可放寬為a0且a1 31a21a31a31a31a21a31a21a考題剖析考題剖析 （3）根據(jù)（1）（2）的證明，可推知：若a0且a1，mn0，則有am+ an+證：左式右式=aman+ =an(amn1) (amn1) = (amn1)(am+n1) 若a1，則由mn0 amn1, am+n1 不

5、等式成立； 若0a1，則由mn0 0amn1, 0am+n1 不等式成立探索性問題的解法探索性問題的解法ma1na1ma1na1ma1ma1考題剖析考題剖析 點評這是一道類比研究探索結(jié)論的問題. 閱讀理解原有結(jié)論、觀察規(guī)律，然后將命題增加元素、增添次數(shù)等方式進行拓展，這是從特殊到一般的研究問題的方式，也是探索型學習的一種常見方式.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 2.2.（2007上海市十一所實驗示范校聯(lián)考）我們把數(shù)列 akn叫做數(shù)列an的k方數(shù)列（其中an0，k，n是正整數(shù)）， S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項的和. （1）比較S（1，2）S（3，2）與S（2，2）2的大??；

6、 （2）若an的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列，a1=a， 求an的k方數(shù)列通項公式； （3）對于常數(shù)數(shù)列an=1，具有關于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請你對數(shù)列an的k方數(shù)列進行研究，寫出一個不是常數(shù)數(shù)列an的k方數(shù)列關于S（k，n）的恒等式，并給出證明過程.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 解析（1）S（1，2）=a1+a2, S (3 ，2) = , S (2 ，2) = S（1，2）S（3，2）S（2，2）2 = (a1+a2)( )( )2 = = a1a2(a1a2)2 an0,S(1,2)S(3,2)S(2,

7、2)2探索性問題的解法探索性問題的解法3231aa 2221aa 3231aa 2221aa 22213123212aaaaaa考題剖析考題剖析 （2）設anan1=d, 則： d(an+an1)=p d(an+1+an)=p 得 2d2=0，d=p=0 an=an1 =0 探索性問題的解法探索性問題的解法paann212knknaa1kknaa 考題剖析考題剖析 （3）當an=n時，恒等式為S（1，n）2=S（3，n）證明：S(1, n)2=S(3, n) S(1, n1)2=S(3, n1)(n2, nN*)相減得：anS(1, n)+S(1, n1)=S(1, n) +S(1, n1)=

8、 ，S(1, n1) +S(1, n2)=相減得：an +an1 = , an0， anan1=1, a1=1 an=n探索性問題的解法探索性問題的解法3na2na21na212nnaa 點評本題主要考查等差數(shù)列、數(shù)列求和等數(shù)列基本知識，是一道結(jié)論型的探索問題.考題剖析考題剖析 3.3.（2007湖南省師大附中三月模擬）已知數(shù)列an 為等差數(shù)列，其前n項和為Sn. （）若a4+a5=0, 試驗證:S7=S1, S6=S2, S5=S3成立， 并將其整合為一個等式； （）一般地，若存在正整數(shù)k，使ak+ak+1=0，我們可將（）中的結(jié)論作相應推廣，試寫出推廣后的結(jié)論，并推斷它是否正確.探索性問題

9、的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 解析（）an為等差數(shù)列, 且a4+a5=0.S7=S1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=S1+3(a4+a5)=S1S6=S2+a3+a4+a5+a6=S2+2(a4+a5)=S2S5=S3+a4+a5=S3; 又S4=S4.對任意nN*, n8, 等式S8n=Sn恒成立.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 （）推廣：設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若存在正整數(shù)k，使ak+ak+1=0,則對任意nN*, 且n2k, 等式S2kn=Sn恒成立. 設an的公差為d, ak+ak+1=0, 2a1+(2k1)d=0. S2kn=a1+ (2k

10、n) =( d+ )(2kn) = (2kn)= (2kdnd) = (d2a1nd) =na1+ d=Sn. 故推廣后的結(jié)論正確.探索性問題的解法探索性問題的解法2)12(dnk212 kdnk212dn22n2n2) 1( nn 點評這是一個規(guī)律探索性問題.前面相當是一個特例，然后猜想、證明一般結(jié)論.考題剖析考題剖析 4.（2007廣東江門一中）函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+2(xR) （）若f(x)在x(，+)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍. （）a=0時，曲線f(x)=x3+x+2的切線斜率的取值范圍記為集合A，曲線f(x)=x3+x+2上不同兩點P(x1, y1)，Q(x2, y2

11、)連線斜率取值范圍記為集合B，你認為集合A、B之間有怎樣的關系（真子集、相等），并證明你的結(jié)論. （）a=3時，f(x)=x3+3x2+x+2的導函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，f(x)的圖象關于軸對稱. 你認為三次函數(shù)f(x)=x3+3x2+x+2的圖象是否具有某種對稱性，并證明你的結(jié)論.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 解析（）f(x)=x3+ax2+x+2得 f(x)=3x2+2ax+1若=4a2120 ,即 a 時,對于xR, 有f(x)0,f(x)在R上單調(diào)遞增若=4a212=0, 即a= 時, 對于xR,有f(x)0, 當且僅當f( )=0故f(x)在R上單調(diào)遞增若0，顯然

12、不合綜合所述，f(x)在R上是增函數(shù), a取值范圍為a , 探索性問題的解法探索性問題的解法3333a33考題剖析考題剖析 （）B A 證明：f(x)=x3+x+2有f(x)=3x2+11故A=1,+). 設PQ斜率k，則 k = = = =x1x2故若x2=0有x1+ =x10若x1+ =0有x1= 0得x20(x1+ )2+ 0 , 得k1, B=(1,+)故B A探索性問題的解法探索性問題的解法2121)()(xxxfxf21213231)()(xxxxxx2122212121) 1)(xxxxxxxx143)2(122221222121xxxxxxx22x22x22x4322x22x考

13、題剖析考題剖析 （）f(x)=x3+3x2+x+2的圖象具備中心對稱證法1：由f(x)=3x2+6x+1對稱軸x=1現(xiàn)證f(x)圖象關于點C(1, 3)中心對稱設M(x, y)是y=f(x)圖象上任意一點, 且M(x, y)關于C(1, 3)對稱的點為N(x0, y0) , 則 得 f(x0)= =(2x)3+3(2x)2+(2x)+2 =(8+12x+6x2+x3)+3(4+4x+x2)x =(x3+3x2+x+2)+6=y+6=y0 , 即y0=f(x0) 故M關于點C(1, 3)對稱的點N(x0, y0)也在函數(shù)y=f(x)圖象 函數(shù)y=f(x)圖象關于點C(1, 3)對稱探索性問題的解

14、法探索性問題的解法321200yyxxyyxx62002302030 xxx考題剖析考題剖析 證法2：設y=f(x)圖象的對稱中心(m, n)則把y=f(x)圖象按向量b=(m,n)平移,得到y(tǒng)=g(x)圖象關于原點對稱, 即y=g(x)是奇函數(shù)g(x)=f(x+m)n=(x+m)3+3(x+m)2+(x+m)+2n=(x3+3x2m+3xm2+m3)+3(x2+2mx+m2)+x+m+2n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m+1)x+m3+3m2+m+2ng(x)是奇函數(shù)的充要條件是 得y=f(x)的圖象關于點(1, 3)中心對稱探索性問題的解法探索性問題的解法02303323nmmmm

15、31nm考題剖析考題剖析 點評本題主要是考查導數(shù)的運用、集合的關系、函數(shù)的對稱性等問題，第一問實則是探索問題成立的充分條件，第二問是結(jié)論探索、第三問是是否存在性問題.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析 5.5.（2007山東省泰安市第一次考試）如圖， 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形， PA平面ABCD，PA=AD，AB= AD， E是線段PD上的點，F(xiàn)是線段AB上的點， 且 （）判斷EF與平面PBC的關系，并證明； （）當=1時，證明DF平面PAC； （）是否存在實數(shù)，使異面直線EF與CD所成角為60？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.探索性問題的解法探索性問題

16、的解法2).0(FABFEDPE考題剖析考題剖析 解析（）EF平面PBC. 證明如下：作FGBC交CD于G，連結(jié)EG，則 PCEG又FGBC，BCPC=C，F(xiàn)GGE=G.平面PBC平面EFG.又EF 平面EFGEF平面PBC探索性問題的解法探索性問題的解法GDCGFABFFABFEDPEGDCGEDPE （）=1，則F為AB的中點. 又AB= AD, AF= AB 在RtFAD與RtACD中 tanAFD= = = tanCAD= = AFD=CAD ACDF 又PA平面ABCD，DF 平面ABCD PADF. DF平面PAC考題剖析考題剖析探索性問題的解法探索性問題的解法221AFADADA

17、D222ADADADCD22考題剖析考題剖析 （）建立如圖所示空間直角坐標系，設PA=AD=1， 則A（0，0，0），B（ ，0，0），D（0，1，0）， C（ ，1，0），P（0，0，1）. 又 (0) F( ) 設E(0, y0, z0) 則 =(0, y0, z01), =(0, 1y0, z0)又 (0)即 = (0, y0, z01)=(0, 1y0, z0) 即E(0, , ) =( ), =( , 0, 0)探索性問題的解法探索性問題的解法FABFEDPE220 , 0 ,12PEEDEDPEPEED11100zy11111,1,12EFCD2 假設存在實數(shù)，使異面直線EF與CD

18、所成的角為60，則cos60=2=5 = 存在實數(shù)= 使異面直線EF與CD所成的角為60.2132213|12|22CDEFCDEF5 點評本題主要考查立體幾何的空間想象能力、推理論證能力和探索問題解決問題的能力.第一問即改變常見提前方式即只要證明結(jié)論成立，而改為一種探索結(jié)論的提問方式要求先判斷再證明，增大了難度.第三問是是否存在型探索問題，一般是假設存在當成條件進行論證，存在要求說明理由，不存在或者推出矛盾或者只要能舉出個反例即可.考題剖析考題剖析探索性問題的解法探索性問題的解法5 6.6.（2007湖北地區(qū)適應考試2）三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊的長分別為a、b、c，有下列兩個條

19、件：（1）a、b、c成等差數(shù)列；（2）a、b、c成等比數(shù)列.現(xiàn)給出三個結(jié)論： （1）0B ; （2）acos2 +ccos2 = ; （3）1 . 請你選取給定的兩個條件中的一個條件為條件，三個結(jié) 論中的兩個為結(jié)論，組建一個你認為正確的命題，并證明之.探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析32C2A23b2sincos2sin1BBB 解析可以組建命題一：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：（1）0B （2）acos2 +ccos2 = ； 命題二：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：（1）0B （2）1 命題三：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：（1）acos2 +c

20、cos2 = （2）1 命題四：ABC中，若a、b、c成等比數(shù)列，求證：（1）0B （2）1探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析32C2A23b32sincos2sin1BBB2C2A23b2sincos2sin1BBB2sincos2sin1BBB3 下面給出命題一、二、三的證明：（1）a、b、c成等差數(shù)列2b=a+c，b= cosB= = 且B（0，），0B（2）acos2 +ccos2 = a =探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析2caaccacaacbca2)2(22222222182682)( 322acacacacacca32C2A2cos12cos1Ac

21、C23222coscos2bbcaAcCaca （3） = cosB+sinB= cos(B )0B B cos(B )1 1 cos(B )下面給出命題四的證明： （4）a、b、c成等比數(shù)列b2=a+c，cosB= 且B（0，），0B探索性問題的解法探索性問題的解法考題剖析考題剖析BBBBBBBsincos)sin(cossincos2sin12243124422442221222222222acacacacaccaacbca3 點評本題是根據(jù)國家新教材的變化特點而設計的一道開放式的動態(tài)三角題，結(jié)論未知，首先應構(gòu)建一個正確的命題，然后再證明，是一道從猜想到探究、發(fā)現(xiàn)、論證的探索性的題，也是一道屬較難的題.