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1、第二輪第二輪 中考題型突破中考題型突破專題五專題五 圖形變換圖形變換【題型題型 1】軸對稱變換型軸對稱變換型【例【例1】如圖,在正方形】如圖,在正方形ABCD 中,中,CD=6,點(diǎn),點(diǎn) E 在邊在邊CD上,且上,且 CD=3DE將將ADE 沿沿 AE 對折至對折至AFE,延長延長EF 交邊交邊 BC 于點(diǎn)于點(diǎn) G,連接,連接 AG,CF(1)求證:求證:ABG AFG; 求求 GC 的長的長.(2)求)求FGC 的面積的面積思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥:(:(1)利用翻折變換對利用翻折變換對應(yīng)邊關(guān)系以及根據(jù)應(yīng)邊關(guān)系以及根據(jù)“HL”定理得出定理得出ABG AFG 即可;即可;利用勾股定理得出利用勾股定理得出
2、 GE2=CG2+CE2,進(jìn)而求出,進(jìn)而求出 BG 即可;(即可;(2)首先過點(diǎn))首先過點(diǎn) C 作作 CMGF 于點(diǎn)于點(diǎn) M,由勾股定理以及面積法求得,由勾股定理以及面積法求得FGC的高的高CM,然后利用三角形面積公式求解,然后利用三角形面積公式求解.(1)證明:在正方形證明:在正方形ABCD 中,中, AD=AB=BC=CD,D=B=BCD=90, 將將ADE 沿沿 AE 對折至對折至AFE, AD=AF,DE=EF,D=AFE=90 AB=AF,B=AFG=90 又又AG=AG, 在在RtABG和和RtAFG 中,中, RtABG RtAFG(HL) 解:解:CD=3DE,DE=2,CE=
3、4 設(shè)設(shè) BG=x,則,則 CG=6- -x,GE=x+2 GE2=CG2+CE2, (x+2)2=(6- -x)2+42,解得,解得 x=3 CG=6- -3=3,AGAGABAF (2)解:如圖,過點(diǎn))解:如圖,過點(diǎn) C 作作 CMGF 于點(diǎn)于點(diǎn) M BG=GF=3,CG=3,GE=5, SGCE= CMGE= GCEC 5CM=34 CM=2.4 SFGC= GFCM=3.6121212【題型題型 2】平移變換型平移變換型【例【例2】(】(2015北京市北京市)在正方形)在正方形ABCD 中,中,BD 是一條是一條對角線,點(diǎn)對角線,點(diǎn) P 在射線在射線 CD 上(不與點(diǎn)上(不與點(diǎn) C,D
4、 重合),連接重合),連接AP,平移,平移ADP,使點(diǎn),使點(diǎn) D 移動到點(diǎn)移動到點(diǎn) C,得到,得到BCQ,過,過點(diǎn)點(diǎn) Q 作作 QHBD 于點(diǎn)于點(diǎn) H,連接,連接 AH,PH(1)若點(diǎn))若點(diǎn) P 在線段在線段 CD 上,如圖上,如圖 依題意補(bǔ)全圖;依題意補(bǔ)全圖; 判斷判斷AH與與PH的數(shù)量關(guān)系與位置的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明關(guān)系并加以證明.(2)若點(diǎn))若點(diǎn) P 在線段在線段 CD 的延長線上,且的延長線上,且AHQ=152,正方形,正方形ABCD 的邊長為的邊長為 1,請寫出求請寫出求 DP 長的思路(可以不寫出計算結(jié)果)長的思路(可以不寫出計算結(jié)果)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥:(1)根據(jù)題意畫出圖
5、形即可;根據(jù)題意畫出圖形即可;連接連接 CH,先根據(jù)正方形的性質(zhì)得,先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出出DHQ 是等腰直角三角形,再由是等腰直角三角形,再由“SAS”定理得出定理得出HDP HQC,故故 PH=CH,HPC=HCP,由正方,由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)四邊形)根據(jù)四邊形ABCD 是正方形,是正方形,QHBD 可知可知DHQ是等腰直角三角形,再由平移的性質(zhì)得出是等腰直角三角形,再由平移的性質(zhì)得出 PD=CQ作作HRPC 于點(diǎn)于點(diǎn) R,由,由AHQ=152,可得出,可得出AHB 及及DAH 的度數(shù),設(shè)的度數(shù),設(shè) DP=x,則,則 DR=HR=RQ,由銳角三角,由
6、銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論函數(shù)的定義即可得出結(jié)論解解:(:(1)如圖如圖 1如圖如圖 1,連接,連接 CH四邊形四邊形ABCD 是正方形,是正方形,QHBD,HDQ=45DHQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形在在HDP與與HQC中,中,HDP HQC(SSS)PH=CH,HPC=HCPBD 是正方形是正方形ABCD 的對稱軸,的對稱軸,AH=CH,DAH=HCPDAH=HPC.AHP=180- -ADP=90AH=PH,AHPH,DHHQHDPHQCDPQC 圖圖 1圖圖 2(2)如圖)如圖 2,四邊形四邊形ABCD 是正方形,是正方形,QHBD, HDQ=45 DHQ是等腰直角三角形是等
7、腰直角三角形 BCQ 由由ADP 平移而成,平移而成, PD=CQ 作作 HRPC 于點(diǎn)于點(diǎn) R AHQ=152, AHB=62 RCH=DAH=17 設(shè)設(shè) DP=x,則,則 DR=HR=RQ= tan 17= ,即,即 tan 17= , x= .12x HRCR1212xx 1tan171tan17 【題型題型 3】旋轉(zhuǎn)變換型旋轉(zhuǎn)變換型【例【例3】(】(2014三明市三明市)如圖)如圖 1,在,在 RtABC中,中,ACB=90,AB=10,BC=6,扇形紙片,扇形紙片 DOE 的頂點(diǎn)的頂點(diǎn) O與邊與邊 AB 的中點(diǎn)重合,的中點(diǎn)重合,OD 交交 BC 于點(diǎn)于點(diǎn) F,OE 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) C,
8、且,且DOE=B(1)說明)說明COF 是等腰三角形,并求出是等腰三角形,并求出 CF 的長;的長;(2)將扇形紙片)將扇形紙片 DOE 繞點(diǎn)繞點(diǎn) O 逆時針旋轉(zhuǎn),逆時針旋轉(zhuǎn),OD,OE 與與邊邊 AC 分別交于點(diǎn)分別交于點(diǎn) M,N(如圖(如圖2),當(dāng)),當(dāng) CM 的長是多少的長是多少時,時,OMN 與與BCO 相似?相似?思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥:(:(1)易證)易證OCB=B,由,由條件條件DOE=B 可得可得OCB=DOE,從而得到從而得到COF 是等腰三角形,過點(diǎn)是等腰三角形,過點(diǎn) F 作作FHOC,垂足為,垂足為H,如圖,如圖 1,由,由等腰三角形的三線合一可求出等腰三角形的三線合一可求出
9、CH,易,易證證CHFBCA,從而可求出,從而可求出 CF 長長(2)題中要求)題中要求“OMN 與與BCO 相相似似”,并沒有指明對應(yīng)關(guān)系,故需分情并沒有指明對應(yīng)關(guān)系,故需分情況討論,由于況討論,由于DOE=B,因此,因此OMN 中的點(diǎn)中的點(diǎn) O 與與BCO 中的點(diǎn)中的點(diǎn) B 對應(yīng),因而只需分兩種情況討論:對應(yīng),因而只需分兩種情況討論:OMNBCO,OMNBOC當(dāng)當(dāng)OMNBCO 時,可證到時,可證到AOMACB,從而求出,從而求出 AM長,長,進(jìn)而求出進(jìn)而求出 CM 長;長;當(dāng)當(dāng)OMNBOC時,可證到時,可證到CONACB,從而求出,從而求出 ON,CN 長然后過點(diǎn)長然后過點(diǎn)M 作作 MGO
10、N,垂足為垂足為 G,如圖,如圖 3,可以求出,可以求出NG并可以證到并可以證到MGNACB,從而求出從而求出 MN長,進(jìn)而求出長,進(jìn)而求出 CM 長長解:(解:(1)ACB=90,點(diǎn),點(diǎn) O 是是 AB 的中點(diǎn),的中點(diǎn),OC=OB=OA=5OCB=B,ACO=ADOE=B,F(xiàn)OC=FCOFC=FOCOF是等腰三角形是等腰三角形過點(diǎn)過點(diǎn) F 作作 FHOC,垂足為,垂足為 H,如圖,如圖1FC=FO,F(xiàn)HOC,CH=OH= ,CHF=90HCF=B,CHF=BCA=90,CHFBCACH= ,AB=10,BC=6,CF= ,即,即 CF 的長為的長為 525225625.6.CHCFBCAB
11、(2)若若OMNBCO,如圖,如圖 2,則有,則有 NMO=OCB OCB=B, NMO=B A=A, AOMACB ACB=90,AB=10,BC=6, AC=8 AO=5,AC=8,AB=10,AM= CM=AC- -AM=.AOAMACAB 25.47.4若若OMNBOC,如圖,如圖3,則有,則有 MNO=OCB OCB=B,MNO=B ACO=A, CONACB BC=6,AB=10,AC=8,CO=5, ON= ,CN= 過點(diǎn)過點(diǎn) M 作作 MGON,垂足為,垂足為 G,如圖,如圖3 MNO=B,MON=B, MNO=MONMN=MO MGON,即,即MGN=90,NG=OG= .O
12、NCNCOBCABAC15425.415.8MNG=B, MGN=ACB=90,MGNACBGN= ,BC=6,AB=10,MN= CM=CN- -MN= = 當(dāng)當(dāng) CM 的長是的長是 或或 時,時,OMN 與與BCO 相似相似.GNMNBCAB 158258252548 25825874【例【例4】(】(2015聊城市聊城市)如圖,在直角坐標(biāo)系中,)如圖,在直角坐標(biāo)系中,RtOAB的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn) A 在在 x 軸上,軸上,OA=4,AB=3動點(diǎn)動點(diǎn) M 從點(diǎn)從點(diǎn) A 出發(fā),出發(fā),以每秒以每秒 1 個單位長度的速度,沿個單位長度的速度,沿 AO 向終點(diǎn)向終點(diǎn) O 移動;同時點(diǎn)移動;同時點(diǎn)
13、 N 從點(diǎn)從點(diǎn) O 出發(fā),以每秒出發(fā),以每秒 1.25 個單位長度的速度,沿個單位長度的速度,沿OB向終向終點(diǎn)點(diǎn) B 移動當(dāng)兩個動點(diǎn)運(yùn)動了移動當(dāng)兩個動點(diǎn)運(yùn)動了 x 秒(秒(0 x4)時,解答下)時,解答下列問題:列問題:(1)求點(diǎn))求點(diǎn) N 的坐標(biāo)(用含的坐標(biāo)(用含 x 的代數(shù)的代數(shù)式表示)式表示).(2)設(shè))設(shè) OMN 的面積是的面積是 S,求,求 S 與與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式當(dāng)之間的函數(shù)表達(dá)式當(dāng) x 為何值時,為何值時,S 有最大值?最大值是多少?有最大值?最大值是多少?(3)在兩個動點(diǎn)運(yùn)動過程中,是否存)在兩個動點(diǎn)運(yùn)動過程中,是否存在某一時刻,使在某一時刻,使OMN 是直角三角形?若存
14、在,求出是直角三角形?若存在,求出 x 的的值;若不存在,請說明理由值;若不存在,請說明理由【題型題型 3】綜合變換型綜合變換型思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥:(1)由勾股定理求出)由勾股定理求出 OB,作,作 NPOA 于點(diǎn)于點(diǎn)P,則,則 NPAB,得出,得出OPNOAB,得出比例式,得出比例式 ,求出求出 OP,PN,即可得出點(diǎn),即可得出點(diǎn) N 的坐標(biāo);的坐標(biāo);(2)由三角形的面積公式得出)由三角形的面積公式得出 S 是是x 的二次函數(shù),即可得出的二次函數(shù),即可得出 S 的最大值;的最大值;(3)分兩種情況:)分兩種情況:若若OMN=90,則,則 MNAB,由平行線得出由平行線得出OMNOAB,得出比例
15、式,即可求出得出比例式,即可求出 x 的值;的值;若若ONM=90,則,則ONM=OAB,證出,證出OMNOBA,得出比例式,求出,得出比例式,求出 x 的值即可的值即可PNOPONABOAOB解:(解:(1)根據(jù)題意得)根據(jù)題意得 MA=x,ON=1.25x,在在 RtOAB 中,由勾股定理得中,由勾股定理得作作 NPOA 于于P,如圖,如圖 1 所示所示.則則 NPAB.OPNOAB. .即即 .解得解得 OP=x,PN= .點(diǎn)點(diǎn) N 的坐標(biāo)是(的坐標(biāo)是(x, ).PNOPONABOAOB2222435.OBOAAB1.25345PNOPx34x34x(2)在)在OMN中,中,OM=4-
16、-x,OM 邊上的高邊上的高 PN= , S 與與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式為之間的函數(shù)表達(dá)式為 (0 x4). 配方得配方得 0,S 有最大值有最大值. 當(dāng)當(dāng) x=2 時,時,S 有最大值,最大值是有最大值,最大值是 .34x211333(4).22482SOM PNxxxx 23382Sxx 233(2).82Sx 38 32(3)存在某一時刻,使)存在某一時刻,使OMN 是直角三角形是直角三角形. 理由如下:理由如下: 分兩種情況:分兩種情況:若若OMN=90,如圖,如圖 2 所示,所示, 則則 MNAB. 此時此時 OM=4- -x,ON=1.25x. MNAB, OMNOAB. 即即 解得解得 x=2.,OMONOAOB 41.25.45xx 若若ONM=90,如圖,如圖 3 所示,則所示,則ONM=OAB. 此時此時 OM=4- -x,ON=1.25x. ONM=OAB, MON=BOA, OMNOBA. 即即 解得解得 綜上所述:當(dāng)綜上所述:當(dāng)OMN 是直角三角形時,是直角三角形時,x 的值是的值是 2 秒或秒或 秒秒,OMONOBOA ,41.2554xx 64.41x 6441