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1、專題四 同步衛(wèi)星 雙星等模型 【專題解讀】 1.本專題是萬有引力定律在天體運(yùn)行中的特殊運(yùn)用，同步衛(wèi)星是與地球(中心)相對(duì)靜止的衛(wèi)星；而雙星或多星模型有可能沒有中心天體，近年來常以選擇題形式在高考題中出現(xiàn)． 2．學(xué)好本專題有助于學(xué)生加深萬有引力定律的靈活應(yīng)用，加深力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系的理解． 3．需要用到的知識(shí)：牛頓第二定律、萬有引力定律、圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律等． 考向一　地球同步衛(wèi)星 1．定義：相對(duì)于地面靜止且與地球自轉(zhuǎn)具有相同周期的衛(wèi)星叫地球同步衛(wèi)星． 2．“七個(gè)一定”的特點(diǎn) (1)軌道平面一定：軌道平面與赤道平面共面． (2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24 h. (3)角速度

2、一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同． (4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步衛(wèi)星離地面的高度h＝3.6×107 m. (5)速率一定：v＝ ＝3.1×103 m/s. (6)向心加速度一定：由G＝ma得a＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步衛(wèi)星的向心加速度等于軌道處的重力加速度． (7)繞行方向一定：運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同． 【例1】利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通訊．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為(　　) A．1 h B．4 h

3、 C．8 h D．16 h 【答案】B 解決同步衛(wèi)星問題的“四點(diǎn)”注意 1．基本關(guān)系：要抓?。篏＝ma＝m＝mrω2＝mr. 2．重要手段：構(gòu)建物理模型，繪制草圖輔助分析． 3．物理規(guī)律 (1)不快不慢：具有特定的運(yùn)行線速度、角速度和周期． (2)不高不低：具有特定的位置高度和軌道半徑． (3)不偏不倚：同步衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面必須處于地球赤道平面上，只能靜止在赤道上方的特定的點(diǎn)上． 4．重要條件 (1)地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，其自轉(zhuǎn)周期為1天(24小時(shí))，地球的表面半徑約為6.4×103 km，表面重力加速度g約為9.8 m/s2. (2)月球的公

4、轉(zhuǎn)周期約27.3天，在一般估算中常取27天． (3)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行半徑最小為r＝6.4×103 km，運(yùn)行周期最小為T＝84.8 min，運(yùn)行速度最大為v＝7.9 km/s . 階梯練習(xí) 1. 如圖，若兩顆人造衛(wèi)星a和b均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a、b到地心O的距離分別為r1、r2，線速度大小分別為v1、v2，則(　　) A.＝　　　　 B.＝ C.＝2 D.＝2 【答案】A. 【解析】對(duì)人造衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力＝m，可得v＝ ，所以對(duì)于a、b兩顆人造衛(wèi)星有＝，故選項(xiàng)A正確． 2．(2016·高考四川卷) 國(guó)務(wù)院批復(fù)，自2016年起將4月24日設(shè)立為

5、“中國(guó)航天日”.1970年4月24日我國(guó)首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號(hào)，目前仍然在橢圓軌道上運(yùn)行，其軌道近地點(diǎn)高度約為440 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約為2 060 km；1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上．設(shè)東方紅一號(hào)在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度為a1，東方紅二號(hào)的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)2＞a1＞a3 B．a(chǎn)3＞a2＞a1 C．a(chǎn)3＞a1＞a2 D．a(chǎn)1＞a2＞a3 【答案】D. 3．假設(shè)地球和火星都繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球到太陽(yáng)的距離小于火星

6、到太陽(yáng)的距離，那么(　　) A．地球公轉(zhuǎn)的周期大于火星公轉(zhuǎn)的周期 B．地球公轉(zhuǎn)的線速度小于火星公轉(zhuǎn)的線速度 C．地球公轉(zhuǎn)的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的加速度 D．地球公轉(zhuǎn)的角速度大于火星公轉(zhuǎn)的角速度 【答案】D. 【解析】根據(jù)G＝m2r＝m＝man＝mω2r得，公轉(zhuǎn)周期T＝2π ，故地球公轉(zhuǎn)的周期較小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；公轉(zhuǎn)線速度v＝ ，故地球公轉(zhuǎn)的線速度較大，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；公轉(zhuǎn)加速度an＝，故地球公轉(zhuǎn)的加速度較大，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；公轉(zhuǎn)角速度ω＝ ，故地球公轉(zhuǎn)的角速度較大，選項(xiàng)D正確． 4．研究表明，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時(shí)．假設(shè)這種趨勢(shì)會(huì)持續(xù)下去，地球的其他條件都不變

7、，未來人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比(　　) A．距地面的高度變大 B．向心加速度變大 C．線速度變大 D．角速度變大 【答案】A 5．(多選)地球同步衛(wèi)星離地心的距離為r，運(yùn)行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，地球的第一宇宙速度為v2，半徑為R，則下列比例關(guān)系中正確的是(　　) A.＝ B.＝()2 C.＝ D.＝ 【答案】AD 【解析】設(shè)地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m1，在地球表面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的質(zhì)量為m2，根據(jù)向心加速度和角速度的關(guān)系有a1＝ωr，a2＝ωR，又ω1＝ω2，故＝，選項(xiàng)A正確；由萬有引

8、力定律和牛頓第二定律得G＝m1，G＝m2，解得＝，選項(xiàng)D正確． 考向二　雙星或多星模型 1．雙星模型 (1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖2所示． (2)特點(diǎn)： ①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2 ②兩顆星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2 ③兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L (3)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即＝. 2．多星模型 (1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同． (2

9、)三星模型： ①三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖3甲所示)． ②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)． 圖3 (3)四星模型： ①其中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丙所示)． ②另一種是三顆恒星始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丁所示)． 【例2】由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的

10、圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(圖4為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況)．若A星體質(zhì)量為2m、B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長(zhǎng)為a，求： 圖4 (1)A星體所受合力大小FA； (2)B星體所受合力大小FB； (3)C星體的軌道半徑RC； (4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T. 【答案】(1)2G　(2)G　(3)a　(4)π 則合力大小為FA＝FBA·cos 30°＋FCA·cos 30°＝2G 階梯練習(xí) 6．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化

11、過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為(　　) A.T B.T C.T D.T 【答案】B 【解析】設(shè)兩恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，距離為L(zhǎng)， 雙星靠彼此的引力提供向心力，則有 G＝m1r1 G＝m2r2 并且r1＋r2＝L 解得T＝2π 當(dāng)兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時(shí) T′＝2π＝·T 故選項(xiàng)B正確． 7．銀河系的恒星中大約四分之一是雙星．如圖5所示，某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成

12、，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由天文觀察測(cè)得它們的運(yùn)動(dòng)周期為T，若已知S1和S2的距離為r，引力常量為G，求兩星的總質(zhì)量M. 圖5 【答案】 知識(shí)總結(jié) 一、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的比較 如圖6所示，a為近地衛(wèi)星，半徑為r1；b為同步衛(wèi)星，半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體，半徑為r3. 圖6 近地衛(wèi)星 同步衛(wèi)星 赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體 向心力 萬有引力 萬有引力 萬有引力的一個(gè)分力 軌道半徑 r1r3＝r1 角速度 由＝mrω2得ω＝ ，故ω1>ω2 同步衛(wèi)星

13、的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 線速度 由＝得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝rω2得a2>a3 a1>a2>a3 二、衛(wèi)星追及相遇問題 【例3】　(多選)如圖7所示，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c的質(zhì)量分別為m1、m2、M(M遠(yuǎn)大于m1及m2)，在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的有(　　) 圖7 A．a(chǎn)、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8 B．a(chǎn)、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4 C．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線12次 D．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線14次 點(diǎn)評(píng)　某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠(yuǎn)之分，但它們都處在同一條直線上，由于它們的軌道不是重合的，因此在最近和最遠(yuǎn)的相遇問題上不能通過位移或弧長(zhǎng)相等來處理，而是通過衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的圓心角來衡量，若它們初始位置在同一直線上，實(shí)際上內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為π的整數(shù)倍時(shí)就是出現(xiàn)最近或最遠(yuǎn)的時(shí)刻，而本題中a、b、c三個(gè)質(zhì)點(diǎn)初始位置不在一條直線上，故在列式時(shí)要注意初始角度差． 【答案】AD - 10 -