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1、
2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 三角大題 (精解精析)
1.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;
(2)若BC=3,求周長的最大值.
【答案】(1);(2).
解析:(1)由正弦定理可得:,
,
,
(2)由余弦定理得:,
即.
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),
,
解得:(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),
周長,周長的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí),涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長最大值的求解問題;求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中,結(jié)合基本
2、不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.
2.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.
(1)求;
(2)若為銳角三角形,且,求面積的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【官方解析】
(1)由題設(shè)及正弦定理得,
因?yàn)?,所以?
由,可得,故.
因?yàn)椋?,因此?
(2)由題設(shè)及(1)知的面積.
由正弦定理得.
由于為銳角三角形,故,.由(1)知,
所以,故,從而.
因此面積的取值范圍是.
【點(diǎn)評(píng)】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),和正弦定理或者余弦定理的使用(此題也可以用余弦定理求解),最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用.考查的很全面,是一道很好的考題.
3
3、.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè).
(1)求;
(2)若,求.
【答案】解析:(1)由已知得,故由正弦定理得.
由余弦定理得.因?yàn)?,所以?
(2)由(1)知,由題設(shè)及正弦定理得,
即,可得.
由于,所以,故
.
4.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理))(12分)在平面四邊形中,,, ,.
(1)求; (2)若,求.
【答案】解析:(1)在中,由正弦定理得.
由題設(shè)知,,所以.
由題設(shè)知,,所以.
(2)由題設(shè)及(1)知,.
在中,由余弦定理得
.
所以.
5.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)的內(nèi)角的對(duì)邊分
4、別為,已知的面積為.
(1)求; (2)若,,求的周長.
【答案】(1);(2)的周長為.
【分析】(1)由三角形面積公式建立等式,再利用正弦定理將邊化成角,從而得出的值;(2)由和,計(jì)算出,從而求出角,根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值,從而可求出的周長.
【解析】(1)由題設(shè)得,即.
由正弦定理得.
故.
(2)由題設(shè)及(1)得,即.
所以,故.
由題設(shè)得,即.
由余弦定理得,即,得.
故的周長為.
【考點(diǎn)】三角函數(shù)及其變換.
【點(diǎn)評(píng)】在處理解三角形問題時(shí),要注意抓住題目所給的條件,當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將
5、所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對(duì)的角,求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對(duì)的角,再有另外一個(gè)條件,求面積或周長的值”,這類問題通法思路是:全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,如,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍;求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.
6.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知,,.
(1)求;
(2)設(shè)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由可得,因?yàn)?故.
由余弦定理可知:即
6、
整理可得,解得(舍去)或.
(2)法一:設(shè),則在中,由勾股定理可得
在中,有
由余弦定理可得
即即
所以,解得
所以.
法二:依題意易知
又因?yàn)?
所以
所以.
法三:∵,
由余弦定理.
∵,即為直角三角形,
則,得.
由勾股定理.
又,則,
.
【考點(diǎn)】 余弦定理解三角形;三角形的面積公式
【點(diǎn)評(píng)】在解決三角形問題中,面積公式最常用,因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.正、余弦定理在應(yīng)用時(shí),應(yīng)注意靈活性,已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對(duì)角,該三角形具有
7、不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.
7.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為 ,已知.
(1)求
(2)若 , 面積為2,求
【答案】(1);(2).
【命題意圖】本題考查三角恒等變形,解三角形.
【試題分析】在第(Ⅰ)中,利用三角形內(nèi)角和定理可知,將轉(zhuǎn)化為角的方程,思維方向有兩個(gè):①利用降冪公式化簡,結(jié)合求出;②利用二倍角公式,化簡,兩邊約去,求得,進(jìn)而求得.在第(Ⅱ)中,利用(Ⅰ)中結(jié)論,利用勾股定理和面積公式求出,從而求出.
(Ⅰ)
【基本解法1】
由題設(shè)及,故
上式兩邊平方,整理得
解得
【基本
8、解法2】
由題設(shè)及,所以,又,所以,
(Ⅱ)由,故
又
由余弦定理及得
所以b=2
【知識(shí)拓展】解三角形問題是高考高頻考點(diǎn),命題大多放在解答題的第一題,主要利用三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題,解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”,另外要注意三者的關(guān)系,這樣的題目小而活,備受老師和學(xué)生的歡迎.
8.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)(本題滿分為12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知
(I)求;
(II)若,的面積為,求的周長.
【答案】 (I);(II)
【官方解答】(I)由已知及正弦定理得:
即 故 ∴
可得
9、∴
(II) 由已知得, 又所以
由已知及余定理得:,,從而
∴周長為.
【民間解答】(I)
由正弦定理得:
∵, ∴
∴, ∵ ∴
(II) 由余弦定理得:,,
∴ ∴ ,
∴周長為
9.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本題滿分12分)中,是上的點(diǎn),平分,面積是面積的2倍.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,,求和的長.
【答案】
解析:(Ⅰ),,因?yàn)?,,所以.由正弦定理可得?
(Ⅱ)因?yàn)椋裕诤椭?,由余弦定理?
,.
.由(Ⅰ)知,所以.
考點(diǎn):1、三角形面積公式;2、正弦定理和余弦定理.
10.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)
10、中內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.
(1)求;
(2)若,求面積的最大值.
【答案】(1);(2)
解析:(1)由已知及正弦定理得
又
由,可得
又
(2)的面積.
由已知及余弦定理得
又,故,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
因此的面積的最大值為
考點(diǎn):(1)4.6.3正、余弦定理的綜合應(yīng)用;(2)7.3.2利用基本不等式求最值
難度: B
備注:高頻考點(diǎn)
11.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)如圖,在中,,,P為內(nèi)一點(diǎn),
(1)若,求;
(2)若,求.
【答案】(1) (2)
解析:(Ⅰ)由已知得,,∴,在中,由余弦定理得==,∴PA=;
(Ⅱ)設(shè),由
11、已知得,,在中,由正弦定理得,,化簡得,,
∴=,∴=.
考點(diǎn):(1)4.5.2兩角和與差的公式的應(yīng)用;(2)4.6.1利用正弦定理求解三角形;(3)4.6.2利用余弦定理求解三角形.
難度:B
備注:高頻考點(diǎn)
12.(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊,
(1)求 (2)若,的面積為,求.
【答案】(1) (2)=2.
解析:由及正弦定理得
∵,∴
∴,
又,
∴.
(Ⅱ)的面積==,故=4,
而 故=8,解得=2.
考點(diǎn):(1)4.5.2兩角和與差的公式的應(yīng)用;(2)4.6.3正、余弦定理的綜合應(yīng)用
難度:B
備注:高頻考點(diǎn)