《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數學真題分類匯編 數列大題（精解精析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數學真題分類匯編 數列大題（精解精析）（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2012-2021十年全國高考數學真題分類匯編 數列大題 （精解精析） 1．(2021年高考全國乙卷理科)記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知． (1)證明：數列是等差數列; (2)求的通項公式． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 解析：（1）由已知得,且，, 取,由得, 由于為數列的前n項積， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以數列是以為首項，以為公差等差數列; （2）由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列， , , 當n=1時，, 當n≥2時,,顯然對于n=1不成立, ∴． 【點睛】本題考查等差數列的證明，考

2、查數列的前n項和與項的關系，數列的前n項積與項的關系，其中由,得到，進而得到是關鍵一步；要熟練掌握前n項和，積與數列的項的關系，消和（積）得到項（或項的遞推關系），或者消項得到和（積）的遞推關系是常用的重要的思想方法． 2．(2021年高考全國甲卷理科)已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立． ①數列是等差數列：②數列是等差數列；③． 注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分． 【答案】答案見解析 解析：選①②作條件證明③： 設，則， 當時，； 當時，； 因為也是等差數列，所以，解得； 所以，所以． 選①③作條件證

3、明②： 因為，是等差數列， 所以公差， 所以，即， 因為， 所以是等差數列． 選②③作條件證明①： 設，則， 當時，； 當時，； 因為，所以，解得或； 當時，，當時，滿足等差數列的定義，此時為等差數列； 當時，，不合題意，舍去． 綜上可知為等差數列． 【點睛】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關鍵是牢牢抓住已知條件，結合相關公式，逐步推演，等差數列的證明通常采用定義法或者等差中項法． 3．(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項． (1)求的公比； (2)若，求數列的前項和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設的公

4、比為，為的等差中項， ， ； （2）設前項和為，， ，① ，② ①②得， ， ． 【點睛】本題考查等比數列通項公式基本量的計算、等差中項的性質，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎題． 4．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)設數列{an}滿足a1=3，． (1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明； (2)求數列{2nan}的前n項和Sn． 【答案】（1），，，證明見解析；（2）． 解析：（1）由題意可得，， 由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即， 證明如下： 當時，成立； 假設時，成立． 那么時，也成立． 則

5、對任意的，都有成立； （2）由（1）可知， ，① ，② 由①②得： ， 即． 【點睛】本題主要考查了求等差數列的通項公式以及利用錯位相減法求數列的和，屬于中檔題． 5．(2019年高考數學課標全國Ⅱ卷理科)已知數列和滿足，，，． 證明：是等比數列，是等差數列； 求和的通項公式． 【答案】見解析；，. 【官方解析】 由題設得，即． 又因為，所以是首項為，公比為的等比數列． 由題設得，即． 又因為，所以是首項為，公差為的等差數列． 由知，，． 所以， ． 【分析】可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可推導出數列是等比數列以及數列是等差數列； 可通過中的

6、結果推導出數列以及數列的通項公式，然后利用數列以及數列的通項公式即可得出結果. 【解析】由題意可知，，，， 所以，即， 所以數列是首項為、公比為的等比數列，， 因為， 所以，數列是首項、公差為等差數列，. 由可知，，， 所以，. 【點評】本題考查了數列的相關性質，主要考查了等差數列以及等比數列的相關證明，證明數列是等差數列或者等比數列一定要結合等差數列或者等比數列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題. 6．(2018年高考數學課標Ⅲ卷（理）)(12分)等比數列中，， (1)求的通項公式； (2)記為的前項和，若，求． (1)或；(2) 【答案】【官方解析

7、】（1）設的公比為，由題設得 由已知得，解得（舍去），或 故或 （2）若，則，由，得，此方和沒有正整數解 若，則，由，得，解得 綜上，． 【民間解析】（1）設等比數列的公比為，由，可得，所以 所以 當時，；當時， （2）由（1）可知 當時，由即，即，所以； 當時，由即，即，無解 綜上可知． 7．(2018年高考數學課標Ⅱ卷（理）)(12分)記為等差數列的前項和，已知，． (1)求的通項公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】解析：（1）設的公差為，由題意得． 由得，所以的通項公式為． （2）由（1）得． 所以當時，取得最小值，最小值為． 8．(2016

8、高考數學課標Ⅲ卷理科)已知數列的前項和,其中. (Ⅰ)證明是等比數列,并求其通項公式; (Ⅱ)若,求. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ)由題意得,故,,. 由,得,即. 由,得,所以. 因此是首項為,公比為的等比數列,于是. (Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得. 9．(2016高考數學課標Ⅱ卷理科)(本題滿分12分)為等差數列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數，如． (I)求；(II)求數列的前1 000項和． 【答案】（1），，；（2）． 【解析】（1）設的公差為，據已知有，解得． 所以數列的通項公式為． ，，． （2）因為 所以數列的前項和為．

9、 10．(2015高考數學新課標1理科)(本小題滿分12分)為數列的前項和．已知 (Ⅰ)求的通項公式： (Ⅱ)設,求數列的前項和 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 分析：（Ⅰ）先用數列第項與前項和的關系求出數列{}的遞推公式，可以判斷數列{}是等差數列，利用等差數列的通項公式即可寫出數列{}的通項公式；（Ⅱ）根據（Ⅰ）數列{}的通項公式，再用拆項消去法求其前項和． 解析：（Ⅰ）當時，，因為，所以=3， 當時，==，即，因為，所以=2， 所以數列{}是首項為3，公差為2的等差數列， 所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所以數列{}前n項和為= =． 考點：數列前n項和與第n項的關系；等差

10、數列定義與通項公式；拆項消去法 11．(2014高考數學課標2理科)(本小題滿分12分) 已知數列滿足=1，． (Ⅰ)證明是等比數列，并求的通項公式； (Ⅱ)證明： 【答案】解析：（Ⅰ）由，得，且 所以是首相為，公比為的等比數列。 因此，所以的通項公式為． （Ⅱ）由（1）知 當時，，所以 于是 所以 考點：（1）等比數列的證明及通項公式的求法；（2）等比數列的前項的和 （3）放縮法證明不等式 難度：C 備注：一題多解 12．(2014高考數學課標1理科)已知數列的前項和為,,,,其中為常數． (1)證明:; (2)是否存在,使得為等差數列?并說明理由． 【答案】解析:(1)由題設,,兩式相減 ,由于,所以． (2)由題設,,可得,由(1)知 假設為等差數列,則成等差數列,∴,解得; 證明時,為等差數列:由知 數列奇數項構成的數列是首項為1,公差為4的等差數列 令則,∴ 數列偶數項構成的數列是首項為3,公差為4的等差數列 令則,∴ ∴(), 因此,存在存在,使得為等差數列． 考點:(1)等差數列的證明;(2)等差數列的前項和及綜合應用(3)分類討論思想 難度:C 備注:高頻考點