《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 導(dǎo)數(shù)大題（精解精析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 導(dǎo)數(shù)大題（精解精析）（39頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2012-2021十年全國卷高考數(shù)學真題分類精編 導(dǎo)數(shù)大題 （精解精析） 一、解答題 1．(2021年高考全國甲卷理科)已知且，函數(shù)． (1)當時，求的單調(diào)區(qū)間； (2)若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍． 【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）． 解析：（1）當時，, 令得,當時，,當時，, ∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減； （2）,設(shè)函數(shù), 則,令，得, 在內(nèi),單調(diào)遞增； 在上,單調(diào)遞減； , 又，當趨近于時，趨近于0， 所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是, 所以的取值范圍是． 【點睛】本

2、題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，關(guān)鍵是將問題進行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解． 2．(2021年高考全國乙卷理科)設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點． (1)求a； (2)設(shè)函數(shù)．證明:． 【答案】；證明見詳解 解析：（1）由，， 又是函數(shù)的極值點，所以，解得； （2）由（1）得，，且， 當 時，要證，， ，即證，化簡得； 同理，當時，要證，， ，即證，化簡得； 令，再令，則，， 令，， 當時，，單減，假設(shè)能取到，則，故； 當時，，單增，假設(shè)能取到，則，故；

3、 綜上所述，在恒成立 【點睛】本題為難題，根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對函數(shù)進行等價轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題． 3．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)已知函數(shù)． (1)當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性； (2)當x≥0時，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍． 【答案】（1）當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增．（2） 【解析】(1)當時，，， 由于，故單調(diào)遞增，注意到，故： 當時，單調(diào)遞減， 當時，單調(diào)遞增． (2)由得，，其中， ①．當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合

4、題意； ②．當時，分離參數(shù)a得，， 記，， 令， 則，， 故單調(diào)遞增，， 故函數(shù)單調(diào)遞增，， 由可得：恒成立， 故當時，，單調(diào)遞增； 當時，，單調(diào)遞減； 因此，, 綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是． 【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 4．(2020年高考數(shù)學課標

5、Ⅱ卷理科)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x． (1)討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性； (2)證明：； (3)設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ 【答案】（1）當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增．（2）證明見解析；（3）證明見解析． 解析：(1)由函數(shù)的解析式可得：，則： ， 在上的根為：， 當時，單調(diào)遞增， 當時，單調(diào)遞減， 當時，單調(diào)遞增 (2)注意到， 故函數(shù)是周期為的函數(shù)， 結(jié)合(1)的結(jié)論，計算可得：， ，， 據(jù)此可得：，， 即． (3)結(jié)合(2)的結(jié)論有： ． 【點睛

6、】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 5．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直． (1)求b． (2)若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1． 【答案】（1）；（2）證明見解析 解析：（1）因為， 由題意，，即

7、則； （2）由（1）可得， ， 令，得或；令，得， 所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增， 且， 若所有零點中存在一個絕對值大于1零點，則或， 即或． 當時，， 又， 由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點， 即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點， 此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾； 當時，， 又， 由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點， 即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點， 此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾； 綜上，所有零點的絕對值都不大于1． 【點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學生邏輯

8、推理能力，是一道有一定難度的題． 6．(2019年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知函數(shù)． (1)討論的單調(diào)性； (2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由． 【答案】(1)見詳解；(2)或． 【官方解析】 (1)． 令，得或． 若，則當時，；當時，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 若時，在單調(diào)遞增； 若，則當時，；當時，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． (2)滿足題設(shè)條件的存在． (ⅰ)當時，由(1)知，在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為．此時滿足題設(shè)條件當且僅當，即． (ⅱ)當時，由(1)知，在單

9、調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為．此時滿足題設(shè)條件當且僅當，即． (ⅲ)當時，由(1)知，在的最小值為，最大值為或． 若，則，與矛盾． 若，則或或，與矛盾． 綜上，當且僅當或，在最小值為，最大值為1． 【點評】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算．思考量不大，計算量略大． 7．(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅱ卷理科)已知函數(shù)． 討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點； 設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線． 【答案】函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；證明見解析. 【官方解析】

10、的定義域為. 因為，所以在和上是單調(diào)遞增. 因為，， 所以在有唯一零點，即． 又，，故在有唯一零點． 綜上，有且僅有兩個零點． 因為，故點在曲線上． 由題設(shè)知，即， 故直線的斜率． 曲線在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，所以曲線在點處的切線也是曲線的切線． 【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性； 先求出曲線在處的切線，然后求出當曲線切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可. 【解析】函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)的定義域為，所以，因此函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)； 當，時，，而，顯然當，函數(shù)有零點，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當

11、時，函數(shù)有唯一的零點； 當時，， 因為，所以函數(shù)在必有一零點，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有唯一的零點 綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個零點； 因為是的一個零點，所以 ，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設(shè)曲線的切點為，過切點為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為， 當切線的斜率等于直線的斜率時，即， 切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線. 【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學運算能力. 8

12、．(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅰ卷理科)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明： (1)在區(qū)間存在唯一極大值點； (2)有且僅有2個零點． 【答案】解：（1）設(shè)，則，．當時，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點，設(shè)為． 則當時，；當時，． 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點． （2）的定義域為． （i）當時，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當時，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點． （ii）當時，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當時，；當時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． 又，，所以當時，．從而在沒有零點． （iii）當時，，所

13、以在單調(diào)遞減．而，，所以在有唯一零點． （iv）當時，，所以<0，從而在沒有零點． 綜上，有且僅有2個零點． 9．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)已知函數(shù)． (1)若，證明：當時，，當時，； (2)若是的極大值點，求． 【答案】【官方解析】當時，， 設(shè)函數(shù)，則 當時，；當時，，故當時， 所以在上單調(diào)遞增 又，故當時，；當時，． （2）（i）若，由（1）知，當時， 這與是的極大值點矛盾 （ii）若，設(shè)函數(shù) 由于當時，，故與符號相同 又，故是的極大值點，當且僅當是的極大值點 如果，則當，且時，，故不是的極大值點 如果，則存在根，故當，且時，，所以不是的極大

14、值點 如果，則 則當時，；當時， 所以是的極大值點，從而是的極大值點 綜上． 【民間解析】（1）法一：當時， 函數(shù)的定義域為，此時 記 則 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而 所以當時，，此時 當時，，此時 法二：當時，， 則， ①當時，，此時單調(diào)遞減 所以時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增 所以時， ②當時，，此時單調(diào)遞增 所以時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增 所以當時， 綜上所述若，證明：當時，，當時，． （2）法一：由 可得 所以 因為是的極大值點 所以，當時，；當時， 又 設(shè)，則， 所以在上單調(diào)遞增，所以當時，；當時， 所以當時， 設(shè)，則 當時，

15、；當時， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增 所以任意時， 所以若時，，此時不存在極值，故 由（1）知，當時，；當時， 顯然，當時， ①當時，則 若，則，使得當時，，此時不滿足題意，故，即 ②當時，則 若，則，使得當時，，此時，不滿足題意，故，即 綜上，，所以． 法二： 記， 當，時， 所以在上單調(diào)遞增，所以當時，即 所以在上單調(diào)遞增，與是的極大值點不符合； 當時，，顯然可知遞減 ①，解得，則有，，遞增； 時，，遞減，所以，故遞減，又 則，，，遞增；，，，遞減 此時為的極大值點，符合題意 ②當時，有， 所以在有唯一零點，記為，則，，遞增 則

16、，遞增，所以，即，遞增，不符合題意； ③當時，有， 所以在有唯一零點，記為，則，，遞減 則，遞減，所以，即，遞減，不符合題意 綜上可知． 法三：（2）嘗試一：（極大值點的第二充要條件：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點的一個充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。） ， ， ，由得 下證：當時，是的極大值點， ，所以在單增，在單減 進而有，從而在單減， 當時，，當時， 從而在單增，在單減，所以是的極大值點。 點評：計算量很大，但不失為一種基本方法，激勵熱愛數(shù)學的學生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學習，學而致知?；诖?，還可以從大學的角度給出

17、一種解法。通過在階的帕德逼近可得，且兩個函數(shù)在處兩個函數(shù)可以無限制逼近，估計這也是考試中心構(gòu)造這個函數(shù)的方法。由此可以迅速得到，我們也可以根據(jù)帕德逼近把此題的對數(shù)函數(shù)改為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，構(gòu)造出相應(yīng)的題目。嘗試一難點在于的各階導(dǎo)數(shù)太復(fù)雜，由帕德逼近優(yōu)化其解法。 法四：引理1：若與在處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相同，則在處導(dǎo)數(shù)為． 證明：， 因為，且，代入化簡即證： 引理2：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點的一個充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。 ， 令， 則易得，，， 由引理1知，等價于，從而迅速求得。 當時， 嘗試二：若是的極大值點，注意到， 則存在充

18、分接近于的，使得當時，，當時， 得到一個恒成立問題，其基本方法之一有分離參數(shù)法。 對任意的，都有，進而有 ①當時，， 當時， ②當時，， 當時， 綜上：． 10．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷（理）)(12分) 已知函數(shù)． (1)若，證明：當時，； (2)若在只有一個零點，求． 【答案】解析：（1）當時，等價于． 設(shè)函數(shù)，則． 當時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當時，，即． （2）設(shè)函數(shù)． 在只有一個零點當且僅當在只有一個零點． （i）當時，，沒有零點． （ii）當時，． 當時，；當時，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 故是在的最小值． ①若，

19、即，在沒有零點； ②若，即，在只有一個零點； ③若，即，由于，所以在有一個零點． 由（1）知，當時，，所以． 故在有一個零點．因此在有兩個零點． 綜上，在只有一個零點時，． 11．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ（理）)(12分)已知函數(shù)． (1)討論的單調(diào)性； (2)若存在兩個極值點，證明：． 【答案】解:（1）的定義域為，． （i）若，則，當且僅當，時，所以在單調(diào)遞減． （ii）若，令得，或． 當時，； 當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． （2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當． 由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設(shè)，則．由于 ， 所以等價于． 設(shè)函數(shù)，由

20、（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當時，． 所以，即． 12．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科)已知函數(shù)． (1)討論的單調(diào)性; (2)若有兩個零點,求的取值范圍． 【答案】(1)詳見解析;(2)． 【分析】(1)討論的單調(diào)性,首先進行求導(dǎo),發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進行因式分解,再對按、進行討論,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)第(1)問,若,至多有一個零點,若,當時,取得最小值,求出最小值,根據(jù),進行討論,可知當有個零點,設(shè)正整數(shù)滿足,則,由于,因此在有一個零點,所以的取值范圍為． 【解析】(1)的定義域為, (ⅰ)若,則,所以在單調(diào)遞減． (ⅱ)若,則由得． 當時,;

21、當時, 所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增． (2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一個零點． (ⅱ)若,由(1)知,當時,取得最小值,最小值為． ①當時,由于,故只有一個零點; ②當時,由于,即,故沒有零點; ③當時,,即． 又,故在有一個零點． 設(shè)正整數(shù)滿足,則． 由于,因此在有一個零點． 綜上,的取值范圍為． 【民間解析】:(1)函數(shù)的定義域為,且 注意到 當時,,所以恒成立 此時函數(shù)在上單調(diào)遞減 當,由,由 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 綜上可知 ①時,在上單調(diào)遞減; ②時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 (2)

22、由(1)可知,時,在上單調(diào)遞減 此時至多一個零點,不符合題意 當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 此時函數(shù)的最小值為 要使有兩個零點,首先必須有即 令,則有,故在上單調(diào)遞增,而 所以 另一方面取 而,在單調(diào)遞增 所以函數(shù)在上有唯一一個零點,在沒有零點 此時當時, 所以,而在上單調(diào)遞減 所以函數(shù)在上沒有零點,在上有唯一零點 綜上可知當時,函數(shù)有兩個零點． 【考點】含參函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)零點求參數(shù)的取值范圍． 【點評】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化．已知函數(shù)有個零點求參數(shù)的取值范圍,第一種方法是分離參數(shù),構(gòu)造不

23、含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值,判斷與其交點的個數(shù),從而求出的范圍;第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究,研究其單調(diào)性、極值、最值,注意點是:若有個零點,且函數(shù)先減后增,則只需其最小值小于,且后面還需驗證有最小值的兩邊存在大于的點． 13．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)(12分)已知函數(shù)． (1)若，求的值； (2)設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值． 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ), 則,且 當時,,在上單調(diào)增,所以時,,不滿足題意; 當時, 當時,,則在上單調(diào)遞減; 當時,,則在上單調(diào)遞增． ①若,在上單調(diào)遞增∴當時矛盾

24、 ②若,在上單調(diào)遞減∴當時矛盾 ③若,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴滿足題意 綜上所述． (Ⅱ)當時即 則有當且僅當時等號成立 ∴, 一方面:, 即． 另一方面: 當時, ∵,, ∴的最小值為． 【考點】導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 【點評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點,所以在歷屆高考中,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ,本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行: (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相

25、聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 14．(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)(12分)已知函數(shù)且． (1)求 ； (2)證明：存在唯一的極大值點，且． 【答案】(1)；(2)證明略． 【命題意圖】本題考查函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用． 【基本解法】(1)法一． 由題知：，且 ， 所以：． 即當時，；當時，； 當時，成立． 令，，當時，， 遞減，，所以：，即：．所以：； 當時，， 遞增，，所以：，即：．所以：； 綜上：． 法二．洛必達法則

26、 由題知：，且 ， 所以：． 即當時，；當時，； 當時，成立． 令，． 令，． 當時，,遞增，； 所以，遞減，． 所以：； 當時，,遞減，； 所以，遞減，． 所以：； 故． （1） 由(1)知：，． 設(shè)，則． 當時，；當時，． 所以在遞減，在遞增． 又，，，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當時，；當時，； 當時，． 又，所以是的唯一極大值點． 由得，故． 由得． 因為是在的唯一極大值點，由，得 所以． 【考點】 利用 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【點評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學

27、中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度，從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 了單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)必；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的人優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 15．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù),其中,記的最大值為. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求; (Ⅲ)證明. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)見解析. 【解析】(Ⅰ). (Ⅱ)當時, 因此,. 當時,將變形為. 令

28、,則是在上的最大值 , 且當 時,取得極小值,極小值為. 令,解得(舍去),. (i)當時,在內(nèi)無極值點,,, 所以. (ii)當時,由,知. 又,所以. 綜上,. (Ⅲ)由(Ⅰ)得. 當時,. 當時,,所以. 當時,,所以. 16．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)(本小題滿分12分)(I)討論函數(shù) 的單調(diào)性，并證明當時，； (II)證明：當 時，函數(shù) 有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域． 【答案】（1）略；（2）． 分析：（Ⅰ）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當時，證明結(jié)論； （Ⅱ）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)，又用導(dǎo)數(shù)法求解． 【解析】（Ⅰ

29、）的定義域為． 且僅當時，，所以在單調(diào)遞增， 因此當時， 所以 （II） 由（I）知，單調(diào)遞增，對任意 因此，存在唯一使得即， 當時，單調(diào)遞減； 當時，單調(diào)遞增． 因此在處取得最小值，最小值為 于是，由單調(diào)遞增 所以，由得 因為單調(diào)遞增，對任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上，當時，有最小值，的值域是． 17．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)(本小題滿分12分)已知函數(shù)有兩個零點． (I)求a的取值范圍； (II)設(shè)是的兩個零點，證明：． 【答案】 (I)； (II)見解析 【官方解答】(I)由已知得： ①若，那么，只有唯一的零點，不合

30、題意； ②若，則當時，；當時，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 又，，取b滿足且，則 ， 故存在兩個零點． ③設(shè)，由得或． 若，則，故當時，，因此在單調(diào)遞增． 又當時，，所以不存在兩個零點． 若，則，故當時 ；當時， 因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 又當時，，所以不存在兩個零點． 綜上的取值范圍為． (II)不妨設(shè)．由(I)知 在單調(diào)遞減 所以，即． 由于，而 所以 設(shè)，則 所以當時，，則，故當時， 從而，故． 【民間解答】(I)由已知得： ①若，那么，只有唯一的零點，不合題意； ②若，那么， 所以當時，，單調(diào)遞增 當時，，單調(diào)遞減 即：

31、 ↓ 極小值 ↑ 故在上至多一個零點，在上至多一個零點 由于，，則， 根據(jù)零點存在性定理，在上有且僅有一個零點． 而當時，，， 故 則的兩根，， 因為，故當或時， 因此，當且時， 又，根據(jù)零點存在性定理，在有且只有一個零點． 此時，在上有且只有兩個零點，滿足題意． ③若，則， 當時，，， 即，單調(diào)遞增； 當時，， 即，單調(diào)遞減； 當時，，，即，單調(diào)遞增． 即： 0 0 + ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 而極大值 故當時，在處取到最大值 那么恒成立，即無解 而當

32、時，單調(diào)遞增，至多一個零點 此時在上至多一個零點，不合題意． ④若，那么 當時，，，即， 單調(diào)遞增 當時，，，即，單調(diào)遞增 又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時至多一個零點，不合題意． ⑤若，則 當時，，，即，單調(diào)遞增 當時，，，即，單調(diào)遞減 當時，，，即，單調(diào)遞增 即： 0 0 ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 故當時，在處取到最大值 那么恒成立，即無解 當時，單調(diào)遞增，至多一個零點 此時在上至多一個零點，不合題意． 綜上所述，當且僅當時符合題意，即的取值范圍為． (II) 由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，， 故可整

33、理得： 設(shè)，則 那么 當時，，單調(diào)遞減； 當時，，單調(diào)遞增． 設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式： 設(shè)， 則，故單調(diào)遞增，有． 因此，對于任意的，． 由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有 令，則有 而，，在上單調(diào)遞增，因此： 整理得：． 18．(2015高考數(shù)學新課標2理科)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)． (Ⅰ)證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增； (Ⅱ)若對于任意，都有，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）． 解析：（Ⅰ）． 若，則當時，，；當時，，． 若，則當時，，；當時，，． 所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的，在單調(diào)遞減，在單

34、調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是：即①，設(shè)函數(shù)，則．當時，；當時，．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，故當時，．當時，，，即①式成立．當時，由的單調(diào)性，，即；當時，，即．綜上，的取值范圍是． 考點：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 19．(2015高考數(shù)學新課標1理科)(本小題滿分12分) 已知函數(shù) (Ⅰ)當為何值時，軸為曲線 的切線； (Ⅱ)用 表示中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論零點的個數(shù)． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點． 分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點的方程組，解出切點坐標與對應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性

35、質(zhì)將分為研究的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對再分類討論． 解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點，則，，即，解得． 因此，當時，軸是曲線的切線． （Ⅱ）當時，，從而， ∴在（1，+∞）無零點． 當=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點． 當時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù)． （?。┤艋?，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當時，在（0，1）有一個零點；當0時，在（0，1）無零點． （ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當=時，取的最小值，最小值為=． ①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點． ②若=0，即，則在（0

36、,1）有唯一零點； ③若＜0，即，由于，，所以當時，在（0,1）有兩個零點；當時，在（0,1）有一個零點．…10分 綜上，當或時，由一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點． 考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點；分類整合思想 20．(2014高考數(shù)學課標2理科)(本小題滿分12分) 已知函數(shù)=． (Ⅰ)討論的單調(diào)性； (Ⅱ)設(shè)，當時，, 求的最大值； (Ⅲ)已知，估計ln2的近似值(精確到0．001) 【答案】解析： （Ⅰ），等號僅當時成立 所以在上單調(diào)遞增． （Ⅱ） 當時，，等號僅當時成立，所以在上單調(diào)遞增，而

37、，故． 當時，若滿足，即時，，而，故，． 綜上的最大值為2． （Ⅲ）由（2）知， 當時，，得 當時， ，得 所以 考點：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題；（3）最值問題 難度：D 備注：高頻考點 21．(2014高考數(shù)學課標1理科)設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線． (1)求; (2)證明:． 【答案】解析:(1)函數(shù)的定義域為, 由題意可得(),故． (2)由(1)知,從而等價于 設(shè)函數(shù),則,所以當時,,當時,,故在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而在上的最小值為(．

38、 設(shè)函數(shù),則,所以當時,,當時,故在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,從而在的最小值為( ． 綜上:當時,,即． 考點:(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切線方程問題);(3)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題;(4)等價轉(zhuǎn)換思想 難度:D 備注:高頻考點 22．(2013高考數(shù)學新課標2理科)已知函數(shù)． (1)設(shè)是的極值點，求，并討論的單調(diào)性； (2)當時，證明． 【答案】（1）（2） 見解析； 解析：（1） 所以， ， 顯然在(－1,0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．

39、 （2）證明　令， 則． ， 所以是增函數(shù)，至多只有一個實數(shù)根， 又， 所以的唯一實根在區(qū)間內(nèi)， 設(shè)的根為t，則有， 所以，， 當時，單調(diào)遞減； 當時，單調(diào)遞增； 所以， 當 時，有， 所以． 考點：（1）3．2．4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值；（2）3．2．7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)放縮 難度： D 備注：高頻考點，典型題 23．(2013高考數(shù)學新課標1理科)已知函數(shù)＝，＝，若曲線和曲線都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線 (Ⅰ)求，，，的值 (Ⅱ)若≥－2時，≤，求的取值范圍。 【答案】（1）=4，=2，=2，=2　?。?）[1,]． 解析：（Ⅰ）由已知得， 而=，=

40、，∴=4，=2，=2，=2；……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，， 設(shè)函數(shù)==（）， ==， 有題設(shè)可得≥0，即， 令=0得，=，=－2， （1）若，則－2＜≤0，∴當時，＜0，當時，＞0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而==≥0， ∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立， (2)若，則=， ∴當≥－2時，≥0，∴在(－2,+∞)單調(diào)遞增，而=0， ∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立， (3)若，則==＜0， ∴當≥－2時，≤不可能恒成立， 綜上所述，的取值范圍為[1,]． 考點：（1）3．1．3導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）3．2．4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值；（3）3．3．1利用導(dǎo)數(shù)研究

41、“恒能恰”成立及參數(shù)求解問題． 難度：Ｃ 備注：高頻考點 24．(2012高考數(shù)學新課標理科)已知函數(shù)滿足滿足． (1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間； (2)若，求的最大值． 【答案】（１）增區(qū)間為,減區(qū)間為?。ǎ玻? 解析: (Ⅰ),令得,, 再由,令得． 所以的解析式為． ,易知是上的增函數(shù),且． 所以 所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為． (Ⅱ)若恒成立, 即恒成立， , (1)當時,恒成立, 為上的增函數(shù),且當時, ,不合題意; (2)當時,恒成立, 則,; (3)當時, 為增函數(shù),由得, 故 當時, 取最小值． 依題意有, 即, ,, 令,則, , 所以當時, 取最大值． 故當時, 取最大值． 綜上, 若，則 的最大值為．