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1、 2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 向量（精解精析） 一、選擇題 1．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量a，b滿足，，，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：，，，． ， 因此，． 故選：D． 【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題． 2．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)已知，，，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴,∴，解得， 即，則． 【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素

2、養(yǎng)．采取公式法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．本題考點為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能，難度不大．學(xué)生易在處理向量的法則運算和坐標(biāo)運算處出錯，借助向量的模的公式得到向量的坐標(biāo)，然后計算向量數(shù)量積． 3．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：，所以， 所以． 4．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比為 (，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美 人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之

3、比也是．若某人滿足上述兩個黃金 分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是 (　　) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 【答案】B 解析：如圖，， ，則，，， 所以身高， 又，所以，身高， 故，故選B． 5．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知向量，滿足，，則 (　　) A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 解析：，故選B． 6．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)在中,為邊上的中線，為的中點，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：在中，為邊上的中線，為的中點，

4、，故選A． 7．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖 則，，，，連結(jié)，過點作于點 在中，有 即 所以圓的方程為 可設(shè) 由可得 所以，所以 其中， 所以的最大值為，故選A． 法二：通過點作于點，由，，可求得 又由，可求得 由等和線定理可知，當(dāng)點的切線（即）與平行時，取得最大值 又點到的距離與點到直線的距離相等，均為 而此時點到直線的距離為 所以，所以的最大值為，故選

5、A． 另一種表達：如圖，由“等和線”相關(guān)知識知，當(dāng)點在如圖所示位置時，最大，且此時若，則有，由三角形全等可得，知，所以選A． 法三：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè) 根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是 ，若滿足 即 ， ，所以，設(shè) ，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故選A． 法四：由題意，畫出右圖． 設(shè)與切于點，連接．以為原點，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系 則點坐標(biāo)為．∵，．∴．切于點． ∴⊥．∴是中斜邊上的高． 即的半徑為．∵在上．∴點的軌跡方程為． 設(shè)點坐標(biāo)，可以設(shè)出點坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程如下：

6、 而，，． ∵ ∴，． 兩式相加得： (其中，) 當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最大值3． 【考點】平面向量的坐標(biāo)運算；平面向量基本定理 【點評】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算． （2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決． 8．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【命題意圖】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及平面向量的線性運算﹑數(shù)量積，意

7、在考查考生 轉(zhuǎn)化與化歸思想和運算求解能力 【解析】解法一：建系法 連接，，，． ，∴ ∴ ∴，∴ ∴最小值為 解法二：均值法 ∵，∴ 由上圖可知：；兩邊平方可得 ∵ ，∴ ∴ ，∴最小值為 解法三：配湊法 ∵ ∴ ∴最小值為 【知識拓展】三角形與向量結(jié)合的題屬于高考經(jīng)典題，一般在壓軸題出現(xiàn)，解決此類問題的通 法就是建系法，比較直接，易想，但有時計算量偏大． 【考點】 平面向量的坐標(biāo)運算，函數(shù)的最值 【點評】平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形

8、的特征直接進行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式我解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決． 9．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量,,則 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意,得,所以,故選A. 10．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知向量，且，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得：，所以，又 所以，所以，故選D． 11．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】A

9、 解析：由題知=，故選A． 考點：平面向量的線性運算 12．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=，|a-b|=，則ab= (　　) A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 解析：因為 兩式相加得：所以，故選A． 考點：（1）平面向量的模；（2）平面向量的數(shù)量積 難度：B 備注：常考題 二、填空題 13．(2021年高考全國甲卷理科)已知向量．若，則________． 【答案】． 解析：, ，解得, 故答案為：． 【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積． 14．(202

10、1年高考全國乙卷理科)已知向量，若，則__________． 【答案】 解析：因為，所以由可得， ，解得． 故答案為：． 【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)， ，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分． 15．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)為單位向量，且，則______________． 【答案】 【解析】因為為單位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案為： 【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題． 16．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________． 【答案】 解

11、析：由題意可得：， 由向量垂直的充分必要條件可得：， 即：，解得：． 故答案為：． 【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運算法則，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力． 17．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知，為單位向量，且，若，則___________． 【答案】． 【解析】因為，，所以， ，所以，所以． 【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角．滲透了數(shù)學(xué)運算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案． 18．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，則 ． 【答案】 解析：依題意可得，又，

12、所以，解得． 19．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知向量,的夾角為,,,則__________． 【答案】 【解析】法一: 所以． 法二(秒殺解法):利用如下圖形,可以判斷出的模長是以為邊長的菱形對角線的長度,則為． 法三:坐標(biāo)法 依題意,可設(shè),,所以 所以． 【考點】平面向量的運算 【點評】平面向量中涉及到有關(guān)模長的問題,用到的通法是將模長進行平方,利用向量數(shù)量積的知識進行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一個工具型的知識,具備代數(shù)和幾何特征,在做這類問題時可以使用數(shù)形結(jié)合的思想,會加快解題速度． 20．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷

13、理科)設(shè)向量，，且，則 ． 【答案】 【解析】由已知得： ∴，解得． 21．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)_________． 【答案】 解析：因為向量與平行，所以，則所以． 考點：向量共線． 22．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)已知A,B,C是圓O上的三點,若,則與的夾角為______． 【答案】 解析:∵,∴O為線段BC中點,故BC為的直徑, ∴,∴與的夾角為． 考點:(1)平面向量在幾何中的應(yīng)用(2)向量的夾角(3)化歸與轉(zhuǎn)化思想 難度:B 備注:高頻考點 23．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知正方形的邊長為2，為的中點，則＝________． 【答案】2 解析：由題意知： 考點：（1）5．1．2向量的線性運算；（2）5．3．1平面向量的數(shù)量積運算 難度： A 備注：高頻考點 24．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)已知兩個單位向量的夾角為60°，，若，則t =_____． 【答案】　2 解析：=====0，解得=． 考點: (1）5．3．1平面向量的數(shù)量積運算． 難度：Ａ 備注：高頻考點