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1、第七講 機械振動 【知識要點】 一、簡諧運動 1．物體（或物體的一部分）在某個位置附近沿著直線或圓弧做往復(fù)運動，叫做機械振動．該位置稱為平衡位置． 2．產(chǎn)生振動的條件：有回復(fù)力作用且所受阻力足夠小． ①回復(fù)力：物體離開平衡位置時所受到的指向平衡位置的力成為回復(fù)力． 每當振動物體離開平衡位置時，就會受到將物體拉回平衡位置回復(fù)力作用，回復(fù)力是以力的效果命名的力，它是由振動物體所受的各種性質(zhì)的力沿著振動方向的合力來充當．平衡位置就是回復(fù)力為零的位置． 　　②摩擦力足夠小，一般在沒有特殊說明的情況下，我們研究的振動系統(tǒng)是理想的，即沒有摩擦的情況． 　　振動的最主要特點是振動的物體在平衡

2、位置附近來回往復(fù)運動，即它的運動具有周期重復(fù)性． 3．簡諧運動的動力學(xué)定義 物體受到與位移反向、大小與位移大小成正比的回復(fù)力作用維持的振動為簡諧運動 受力特征　　　　　＝－　　 或動力學(xué)特征　?。剑? 4．簡諧運動的運動學(xué)方程 位移用時間的正弦（或余弦）函數(shù)表示的振動 　　　　　　　　　　＝ 簡諧運動的速度、加速度分別為 　　　　　　　　　　＝－ 　　　　　　　　　?。剑? 5．簡諧運動的特征量 　　為振幅：物體振動的最大位移值 　　為振動的角速度（角頻率） 　　為相位，為初相位 　?。?＝，為振動頻率，為振動周期，＝ 6．振動圖象 　　－圖　　?。瓐D　　－圖

3、7．參考圓 　　任何一個簡諧運動，都可以看作是某一個勻速圓周運動的參考點在某一直徑上的投影，參考點的運動軌跡就是參考圓，參考點在直徑上投影的點的軌跡即表示簡諧運動． 　　簡諧運動顯然不是勻速運動，也不是勻加速運動，討論起來不是那么方便．為此，我們引入一個相關(guān)的勻速圓周運動．以平衡位置為中心而以振幅為半徑作圓，這圓就稱為參考圓．設(shè)想有另一質(zhì)點在參考圓上以角速度做勻速圓周運動，它在開始時與的連線跟軸夾角為．那么，在時刻，參考圓上的質(zhì)點與的連線跟軸夾角就成為＋，它在軸上的投影點的坐標為 　　　?。健　。ǎ剑? 這正是簡諧振動方程． 參考圓上的質(zhì)點的線速度＝，其方向與參考圓相切．這個線速度在軸

4、上的投影是　 　?。剑? 這也就是簡諧振動的速度． 　　參考圓上的質(zhì)點的加速度是向 心加速度，它在軸上的投影是　 　　　?。剑? 這也就是簡諧振動的加速度． 8．簡諧運動的周期 　　利用參考圓得到的簡諧運動的加速度＝－，又已知＝－，對比兩式有 ＝．因為＝，所以有＝，這就是簡諧運動的周期公式． 式中為回復(fù)力與位移的比值，為振子的質(zhì)量． 　　單擺的振動周期 　?。健　閿[長，為重力加速度． 9．簡諧運動的能量 以彈簧振子為例，動能、勢能分別為 　　　　?。剑? 　　　　?。剑? 因為＝，所以又 　　　　　＝ 機械能為 　　　　?。剑剑? 　　機械能守恒，動能和勢

5、能不停地相互轉(zhuǎn)化． 二、 阻尼振動　受迫振動和共振 1．阻尼振動 振幅逐漸減小的振動稱為阻尼振動，阻尼振動不是簡諧運動． 2．受迫振動和共振 在周期性驅(qū)動外力作用下的振動．例如，揚聲器的發(fā)音、機器及電機運轉(zhuǎn)引起的振動．由于外力對物體做功，使振動系統(tǒng)在振動中損失的能量得到補充．當驅(qū)動力的頻率（周期）跟振動系統(tǒng)的自由振動頻率（周期）相等時，受迫振動的振幅最大，這種現(xiàn)象叫共振．驅(qū)動力的頻率與物體的固有頻率相差越大，振幅越?。? 【典型例題】 例１．如圖所示，一個小彈丸水平射入一個原來靜止的單擺并留在里面，結(jié)果單擺的振動圖象如圖所示，已知擺球的質(zhì)量為小彈丸質(zhì)量的5倍，試求小彈丸射入擺球前的

6、速度． 【分析與解】 由圖可知＝0.1 m　　　?。?s 由＝得　?。剑?m 由＝＝得　　?。? 設(shè)彈丸射入擺球后的速度為，根據(jù)系統(tǒng)水平方向動量守恒 和機械能守恒得 　　　?。? ＝ 解得　　＝0.94m/s 例2．一個勁度系數(shù)為的彈簧一端固定在墻上，另一端連接一個質(zhì)量為的小球放在一光滑的水平面上，如圖所示．一質(zhì)量與球相等的自由小球從點（＝）以速度向球運動，兩球發(fā)生完全彈性碰撞． （1）碰撞后，球做簡諧運動，求其周期和振幅的大小， 并說明振動能維持多長時間． （2）求小球從點出發(fā)，經(jīng)過碰撞后再回到點所 歷的時間． 【分析與解】 　　 (1)與碰撞后，球做簡諧運動，其

7、周期為＝ 　　由于兩球質(zhì)量相等而且發(fā)生彈性碰撞，所以碰后的速度應(yīng)為，則有＝ 得振動振幅為＝ 與碰撞后，保持靜止，經(jīng)過半個周期后又與碰撞，再次與交換速度，之后靜止不動，接著運動返回到點． 所以球做簡諧運動能維持的時間為＝ (2) 小球從點出發(fā)，經(jīng)過碰撞后再回到點經(jīng)歷時間為＝＋ 例3．一架擺鐘在使用時發(fā)現(xiàn)，擺長為時，在某段時間內(nèi)快秒；擺長為時，在同樣時間內(nèi)慢秒．試分析計算擺長應(yīng)為多大時，擺鐘才能走時準確？ 【分析與解】 設(shè)擺鐘的擺錘擺動一個周期時間為，標準擺鐘的周期為，某一段標準時間，則鐘面顯示時間為＝ ①若＝，則＝（走時準確） ②若＜，則＞（走時偏快） ③若＞，則＜（走時偏

8、慢） 擺長為時，擺鐘的周期為，則顯示時間＝＋＝，得 ＝－ 擺長為時，擺鐘的周期為，則顯示時間＝－＝，得 ＝－ 由于＝，＝，所以有 ＝＝＝ 整理解得　　＝　　 　　?。ó敚綍r，＝） 例4．如圖所示，水平桌面上的木質(zhì)框架質(zhì)量為，懸掛在框架上的輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為，小球質(zhì)量為．讓小球上下振動起來．試分析計算：小球的振幅多大時，木質(zhì)框架才不會離開桌面？ 【分析與解】 框架的重力為，小球在上下振動，只有小球在最高位置且 彈簧被壓縮時，當框架受到豎直向上的彈力等于，框架對桌面 的壓力恰好為零． 根據(jù)胡克定律知，彈簧此時的壓縮量為＝ 小球處于平衡位置時，彈簧的伸長量為＝ 可見

9、，小球的振幅只要不大于＝＋＝，框架就不會離開桌面． 本題也可以這樣分析求解： 小球上下做簡諧運動，所受回復(fù)力由彈簧彈力和重力的合力提供，且大小滿足＝，當小球離開平衡位置最遠即位移大小為振幅時，所受回復(fù)力最大．小球在平衡位置下方時，加速度豎直向上，小球處于超重狀態(tài)，彈簧被拉長．只有小球在平衡位置上方時才有可能彈簧被壓縮，所以小球在最高點時，木質(zhì)框架才有可能離開桌面，故要想框架不離開桌面則必須滿足條件＝≤＋，即有 ≤ 例5．勁度系數(shù)＝600N/m的輕質(zhì)彈簧下端與質(zhì)量＝2kg的物塊相連，物塊與質(zhì)量＝1k的鐵球用細線相連（如圖所示），取＝10m/s2． 　　(1)若系統(tǒng)以振幅＝0.02m上下

10、振動，求振動過程中細線上張力如何變化？ (2)要使物塊與鐵球在振動過程中始終保持相對靜止，該系統(tǒng)振幅的最大值多大？ 【分析與解】 (1)設(shè)彈簧被拉長時振動系統(tǒng)處在平衡位置，即有 ＝ 由此可得　　?。剑?.05m 考察系統(tǒng)從最低點向上運動的過程中細線的張力如何變化． 當系統(tǒng)相對平衡位置向下的位移為時，系統(tǒng)向上的加速度為 ＝＝4m/s2 這時細線中張力為＝＝14N 當系統(tǒng)向上通過平衡位置時，加速度為零，這時細線中張力為 ＝＝10N 當系統(tǒng)達到最高點，即向上的位移為時，加速度向下，大小 ＝ 這時細線中張力為＝＝6N 根據(jù)上述分析與計算可知：對小球而言，它沿豎直方向上下做

11、簡諧運動的恢復(fù)力與位移大小關(guān)系是 ＝，且回復(fù)系數(shù)為＝600N/m． 另外對小球來說，它做簡諧運動的回復(fù)力是細線對它的拉力與重力的合力，取豎直向上為正方向，則 ＝－＝　　 由此可得　　　?。剑? （式中是鐵球相對于平衡位置的位移，小球在平衡位置下方時，為負值；小球在平衡位置上方時，為正值） (2)若要鐵球與物塊在振動過程中能始終保持相對靜止（即細線始終能保持伸直狀態(tài)），則系統(tǒng)在振動過程中的加速度值不能大于＝10m/s2．在最低位置時，彈簧的彈力最大， ＝＝60N 彈簧的最大拉長量　　?。剑?.1m 可知振幅的最大值為　?。剑?.05m 例6．如圖所示，質(zhì)量相等的物塊和粘貼

12、在一起與勁度系數(shù)為的彈簧組成的彈性振子，在光滑的水平臺面上做簡諧運動，系統(tǒng)總能量為，周期為．若物塊、在從左向右通過平衡位置時突然分離．試求與分離后，跟彈簧組成的振動系統(tǒng)總能量、周期多大？ 【分析與解】 物塊、在從左向右通過平衡位置時，系統(tǒng)的能量 全部轉(zhuǎn)化為動能，、質(zhì)量相等，分離時速度最大且相等， 所以與分離后振動系統(tǒng)的能量＝．（以最大速 度向右做勻速運動） 　　設(shè)、的質(zhì)量均為．、粘貼在一起時，振動周期 ＝ 與分離后，振子的周期為＝ 可見　?。剑?.71 、分離前?。剑础。? 　　、分離后?。?，即?。剑? 　　由此可知，＝＝0.71 例7．在兩個向相反方向轉(zhuǎn)動的小軸

13、上，水平地放一塊勻質(zhì)木板，木板質(zhì)量為，兩軸心相距（如圖所示）．木板與軸之間的動摩擦因數(shù)為，如果使木板的重心偏離兩軸的中心位置，試分析木板的運動情況． 【分析與解】 設(shè)木板質(zhì)量為，由于木板在豎直方向無運動，所以有 ＋＝　　 因為木板在水平方向無轉(zhuǎn)動，故所受合力矩為零．當木板 重心從兩輪中間左移時，對點應(yīng)該有 　　　　 ＝ 解得　?。健　　。? 木板所受合力為 　　　 ＝－＝＝ 　　 （方向與位移方向相反） 可見木板沿水平方向做簡諧運動．＝＝　　 由＝得　?。? 故運動周期為　＝＝ 例8．如圖所示，一個質(zhì)量為的槽放在光滑水平地面上，一個質(zhì)量為的單擺的擺球放

14、在槽內(nèi)帶動槽在水平面內(nèi)振動（如圖所示，擺球在最低點也不和槽底接觸）．求這個系統(tǒng)的振動周期． 【分析與解】 沒有槽時，將單擺拉至最大角后釋放，當擺至偏角時的 角速度為，則有 　　 ＝ 有槽時，同樣的過程有 ＝ 解得　?。? 可以看出，在任何角度時上式都成立，所以有＝＝ 所以這個系統(tǒng)的振動周期為　?。? 例9．如圖所示，由勁度系數(shù)為的彈簧和質(zhì)量為的振子組成的振動系統(tǒng)，其振幅為，一塊質(zhì)量為的黏土由靜止狀態(tài)黏到振子上，試問在以下兩種情況下，振動周期和振幅的變化： (1)當振子通過其平衡位置時與黏土相黏； (2) 當振子在最大位移處時與黏土相

15、黏． 【分析與解】 不加黏土?xí)r，原振動系統(tǒng)簡諧運動的周期為 ＝ 加上黏土后，振子質(zhì)量增為，新振動系統(tǒng)簡諧運動的周期在上述兩種情況下均變?yōu)? ＝ 新振動系統(tǒng)簡諧運動的振幅由加上黏土?xí)r的初始條件決定． 在情況(1)中，原振子通過平衡位置具有最大速度，其數(shù)值為　　 　　　　　?。剑健　∈街袨樵駝酉到y(tǒng)的振幅． 若此時加上黏土，由動量守恒知，新振子的速度變?yōu)? ＝＝ 新振動系統(tǒng)的平衡位置不因加上黏土而改變，故就是新振動系統(tǒng)的最大速度，它與新振動系統(tǒng)的振幅之間應(yīng)滿足　＝ 所以?。剑?，可見振幅小于原振幅． 在情況(2)中，原振子在最大位移處的速度為零，與平衡位置的距離即為原振幅，此時

16、加上黏土后，新振子的速度仍為零，即仍位于最大位移處，與平衡位置的距離仍為，即振幅仍為． 例10．如圖所示裝置中定滑輪質(zhì)量都不計，兩物體大小不計，質(zhì)量分別為、．下端通過勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧與地面相連，讓偏離平衡位置一小段距離后放手，求系統(tǒng)的振動周期． 【分析與解】 系統(tǒng)平衡時彈簧伸長， 對：　　?。? 對；　　?。? 則有　　　　　＝－ 設(shè)系統(tǒng)由平衡位置又伸長了．分別對、分別應(yīng)用牛頓第二定律 　　對：　　　＋－＝ 對；　　?。? 消去得　　　?。? 整理得　　?。? 所以　　　?。剑? 說明對彈簧來講，系統(tǒng)的等效質(zhì)量為＝，所以系統(tǒng)的振動周期為 ＝＝ 例11．如圖所示的系

17、統(tǒng)中，動滑輪、細繩及兩彈簧的質(zhì)量均可忽略，其余各量在圖中標出，試求懸掛物體上、下振動的周期． 【分析與解】 當懸掛物向下運動時，兩彈簧的伸長量分別設(shè)為和，則懸掛物下移距離為 ＝ 兩根彈簧的彈力大小相等，設(shè)為，則有 　　　?。剑? 因此有　?。剑剑健〖? 　　　　?。健　　⊥砜傻谩。健　　? 　　懸掛物所受向上的合力為　?。剑剑? 此彈簧組可以用等效勁度系數(shù)為＝的一根彈簧代替．故所求懸掛物體上、下振動的周期為 　　　　?。剑? 例12．如圖所示，質(zhì)量為的小球可看成質(zhì)點，與勁度系數(shù)分別為和、原長分別為和的兩個輕彈簧相連，兩彈簧的另一端固定于相距為的兩支柱、上，整個裝置水平放置，忽

18、略一切摩擦力．試求： (1)小球的平衡位置 　　(2)小球的振動周期 【分析與解】 (1)設(shè)平衡時小球與端的距離為．平衡時兩彈簧可能處于拉伸狀態(tài)，也可能處于壓縮狀態(tài)，著由兩彈簧的原長和、之間的距離決定． 我們假定彈簧處于拉伸狀態(tài)，左側(cè)彈簧的伸長量為，右側(cè)彈簧的伸長量為－－，則當小球平衡時，左右兩彈簧拉力應(yīng)平衡，即有 ＝ 解得?。剑? 可見，當＞＋時，＞，平衡時兩彈簧處于拉伸狀態(tài)；當當＜＋時，＜，平衡時兩彈簧處于壓縮狀態(tài)． (2)如圖，取小球的平衡位置為坐標原點，當小球位于 任意位置時，受到向左的拉力為，受到向 右的拉力為，故小球所受的合力為 ＝－ ＝－[－] 由于＝，所以有　?。? 可見合力為線性回復(fù)力，等效勁度系數(shù)為＝＋，因此小球的運動為簡諧運動，其振動周期為 　　?。? 9