《高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例 23 直線方程的幾種形式》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例 23 直線方程的幾種形式(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、23 直線方程的幾種形式
教材分析
這節(jié)內(nèi)容介紹了直線方程的幾種主要形式:點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式,并簡(jiǎn)單介紹了斜截式和截距式.直線方程的點(diǎn)斜式是其他直線方程形式的基礎(chǔ),因此它是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn).在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí),要使學(xué)生理解:(1)建立點(diǎn)斜式的主要依據(jù)是,經(jīng)過(guò)直線上一個(gè)定點(diǎn)與這條直線上任意一點(diǎn)的直線是唯一的,其斜率等于k.(2)在得出方程后,要把它變成方程y-y1=k(x-x1).因?yàn)榍罢弑硎镜闹本€缺少一個(gè)點(diǎn)P1(x1,y1),而后者才是這條直線的方程.(3)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),不能用點(diǎn)斜式求它的方程,這時(shí)的直線方程為x=x1.在學(xué)習(xí)了點(diǎn)斜式的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步介紹直線方程的其他幾種形
2、式:斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式,并探索它們的適用范圍和相互聯(lián)系與區(qū)別.通過(guò)研究直線方程的幾種形式,指出它們都是關(guān)于x,y的二元一次方程,然后從兩個(gè)方面進(jìn)一步研究直線和二元一次方程的關(guān)系,使學(xué)生明確一個(gè)重要事實(shí):在平面直角坐標(biāo)系中,任何一條直線的方程,都可以寫(xiě)成關(guān)于x,y的一次方程;反過(guò)來(lái),任何一個(gè)關(guān)于x,y的一次方程都表示一條直線,為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線和方程”打下基礎(chǔ).因?yàn)檫@部分內(nèi)容較為抽象,所以它是本節(jié)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).
教學(xué)目標(biāo)
1. 在“直線與方程”和直線的斜率基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生探索由一個(gè)點(diǎn)和斜率推導(dǎo)出直線方程,初步體會(huì)直線方程建立的方法.
2. 理解和掌握直線方程的點(diǎn)斜式,并在此基礎(chǔ)
3、上研究直線方程的其他幾種形式,掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.
3. 理解直線和二元一次方程的關(guān)系,并能用直線方程解決和研究有關(guān)問(wèn)題.
4. 通過(guò)直線方程幾種形式的學(xué)習(xí),初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生多向思維的能力.
任務(wù)分析
這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了直線方程的概念與直線的斜率基礎(chǔ)上,具體地研究直線方程的幾種形式,而這幾種形式的關(guān)鍵是推導(dǎo)點(diǎn)斜式方程.因此,在推導(dǎo)點(diǎn)斜式方程時(shí),要使學(xué)生理解:已知直線的斜率和直線上的一個(gè)點(diǎn),這條直線就確定了,進(jìn)而直線方程也就確定了.求直線方程就是把直線上任一點(diǎn)用斜率和直線上已知點(diǎn)來(lái)表示,這樣由兩點(diǎn)的斜率公式即可推出直線的點(diǎn)
4、斜式方程.在直線的點(diǎn)斜式方程基礎(chǔ)上,由學(xué)生推出直線方程的其他幾種形式,并使學(xué)生明確直線方程各種形式的使用范圍,以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.對(duì)于直線和方程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是本節(jié)課的難點(diǎn),在論證直線和方程的關(guān)系時(shí),一方面分斜率存在與斜率不存在兩類,另一方面又分B≠0與B=0兩類.這種“兩分法”的分類,科學(xué)嚴(yán)密,可培養(yǎng)學(xué)生全面系統(tǒng)和周密地討論問(wèn)題的能力.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問(wèn)題情境
飛逝的流星形成了一條美麗的弧線,這條弧線可以看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合.在平面直角坐標(biāo)系中,直線也可以看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合.為研究直線問(wèn)題,須要建立直線的方程.直線可由兩點(diǎn)唯一確定,也可由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向來(lái)確定.如果
5、已知直線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率,那么如何建立這條直線的方程呢?
二、建立模型
1. 教師提出一個(gè)具體的問(wèn)題若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,3),斜率為-2,點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng),那么點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足什么條件?
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),那么當(dāng)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)(除點(diǎn)A外),點(diǎn)P與定點(diǎn)A確定的直線就是l,它的斜率恒為-2,所以=-2,即2x+y-1=0.
顯然,點(diǎn)A(-1,3)滿足此方程,因此,當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),其坐標(biāo)(x,y)滿足方程2x+y-1=0.
2. 教師明晰一般地,設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1),且斜率為k,對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P(x,y)(不同于點(diǎn)P1),當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)
6、,PP1的斜率始終為k,則,即y-y1=k(x-x1).
可以驗(yàn)證:直線l上的每個(gè)點(diǎn)(包括點(diǎn)P1)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;反過(guò)來(lái),以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上,這個(gè)方程就是過(guò)點(diǎn)P1、斜率為k的方程,我們把這個(gè)方程叫作直線的點(diǎn)斜式方程.
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),斜率不存在,其方程不能用點(diǎn)斜式表示,但因?yàn)橹本€l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1.
思考:(1)方程與方程y-y1=k(x-x1)表示同一圖形嗎?
(2)每一條直線都可用點(diǎn)斜式方程表示嗎?
[例 題]
求滿足下列條件的直線方程.
(1)直線l1:過(guò)點(diǎn)(2,5),k=-1.
(2)直線l2:過(guò)點(diǎn)(0,
7、1),k=-.
(3)直線l3:過(guò)點(diǎn)(2,1)和點(diǎn)(3,4).
(4)直線l4:過(guò)點(diǎn)(2,3)平行于y軸.
(5)直線l5:過(guò)點(diǎn)(2,3)平行于x軸.
參考答案:(1)x+y-7=0.(2)y=-x+1.(3)3x-y-5=0.(4)x=2.(5)y=3.
[練 習(xí)]
求下列直線方程.
(1)已知直線l的斜率為k,與y軸的交點(diǎn)P(0,b).
(如果直線l的方程為y=kx+b,則稱b是直線l在y軸上的截距,這個(gè)方程叫直線的斜截式方程)
(2)已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2).
(如果直線l的方程為y-y1=(x-x1),(x1≠x2),則這個(gè)方程叫直線
8、的兩點(diǎn)式方程)
(3)已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(a,0),B(0,b),其中ab≠0.
(如果直線l的方程為,(ab≠0),則a,b分別稱為直線l在x軸、y軸上的截距,這個(gè)方程叫直線的截距式方程)
進(jìn)一步思考討論:前面所學(xué)的直線方程的幾種形式都是關(guān)于x,y的二元一次方程,那么任何一條直線的方程是否為關(guān)于x,y的二元一次方程?反過(guò)來(lái),關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線嗎?
通過(guò)學(xué)生討論后,師生共同明晰:
在平面直角坐標(biāo)系中,每一條直線的方程都是關(guān)于x,y的二元一次方程.
事實(shí)上,當(dāng)直線斜率存在時(shí),它的方程可寫(xiě)成y=kx+b,它可變形為kx-y+b=0,若設(shè)A=k,B=-1,C=b,它
9、的方程可化為Ax+By+C=0;當(dāng)直線斜率不存在時(shí),它的方程可寫(xiě)成x=x1,即x-x1=0,設(shè)A=1,B=0,C=-x1,它的方程可化為Ax+By+C=0.即任何一條直線的方程都可以表示為Ax+By+C=0;反過(guò)來(lái),關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0,(A,B不全為0)的圖像是一條直線.
事實(shí)上,對(duì)于方程Ax+By+C=0,(A,B不全為0),當(dāng)B≠0時(shí),方程可化為y=-x-,它表示斜率為-,在y軸上截距為-的直線;當(dāng)B=0時(shí),A≠0,方程可化為x=-,它表示一條與y軸平行或重合的直線.
綜上可知:在平面直角坐標(biāo)系中,直線與關(guān)于x,y的二元一次方程是一一對(duì)應(yīng)的.我們把方程Ax+By
10、+C=0,(A,B不全為0)叫作直線的一般式方程.
三、解釋?xiě)?yīng)用
[例 題]
1. 已知直線l通過(guò)點(diǎn)(-2,5),且斜率為-.
(1)求直線的一般式方程.
(2)求直線在x軸、y軸上的截距.
(3)試畫(huà)出直線l.解答過(guò)程由學(xué)生討論回答,教師適時(shí)點(diǎn)撥.
2. 求直線l:2x-3y+6=0的斜率及在x軸與y軸上的截距.
解:已知直線方程可化為y=x+2,所以直線l的斜率為,在y軸上的截距為2.在方程2x-3y+6=0中,令y=0,得x=-3,即直線在x軸上的截距為-3.
[練 習(xí)]
1. 求滿足下列條件的直線方程,并畫(huà)出圖形.
(1)過(guò)原點(diǎn),斜率為-2.
(2)過(guò)點(diǎn)(0,3
11、),(2,1).
(3)過(guò)點(diǎn)(-2,1),平行于x軸.
(4)斜率為-1,在y軸上的截距為5.
(5)在x軸、y軸上的截距分別為3,-5.
2. 求過(guò)點(diǎn)(3,-4),且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.
3. 設(shè)直線l的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根據(jù)下列條件確定m的值.
(1)直線l在x軸上的截距為-3.
(2)直線l的斜率為1.
(3)直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10.
四、拓展延伸
1. 在直線方程y-1=k(x-1)中,k取所有實(shí)數(shù),可得到無(wú)數(shù)條直線,這無(wú)數(shù)條直線具有什么共同特點(diǎn)?
2. 在直線方程Ax+By+C=0中,當(dāng)
12、A,B,C分別滿足什么條件時(shí),直線有如下性質(zhì):
(1)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn). ?。?)與兩坐標(biāo)軸都相交.
(3)只與x軸相交. (4)只與y軸相交.
(5)與x軸重合. (6)與y軸重合.
3. 直線方程的一般式與幾種特殊形式有什么區(qū)別與聯(lián)系?你能說(shuō)明它們的適用范圍以及相互轉(zhuǎn)化的條件嗎?
參考答案:
1. 直線過(guò)點(diǎn)(1,1),它不包括直線x=1.
2. (1)C=0.A,B不全為0; (2)A,B都不為0.
(3)A≠0,B=0,C≠0. (4)A=0,B≠0,C≠0.
(5)A=0,B≠0,C=0. ?。?)A≠0,B=0,C=0.
13、3. 略.
點(diǎn) 評(píng)
這篇案例在直線與方程和直線的斜率基礎(chǔ)上,通過(guò)實(shí)例探索出過(guò)一點(diǎn)且斜率已知的直線的方程,然后按照由特殊到一般的方程建立了直線的點(diǎn)斜式方程,在點(diǎn)斜式方程的基礎(chǔ)上由學(xué)生自主的探究出直線方程的其他形式,并研究了幾種直線方程的聯(lián)系與區(qū)別以及它們的適用范圍.在案例的設(shè)計(jì)上注意了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和適用的過(guò)程.在例題與練習(xí)的設(shè)計(jì)上,注意了層次性和知識(shí)的完整性的結(jié)合,在培養(yǎng)學(xué)生的能力上,注意了數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維過(guò)程的教學(xué),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化歸、轉(zhuǎn)化、抽象、概括以及函數(shù)與方程的思想.在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、探索研究、分析解決問(wèn)題的能力等方面,做了一些嘗試,體現(xiàn)了新課程的教學(xué)理念,能夠較好地完成本節(jié)的教育教學(xué)任務(wù).