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1、◆+◆◆二〇一九高考數學學習資料◆+◆◆ 第六章　數　列 學案28　數列的概念與簡單表示法 導學目標： 1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數． 自主梳理 1．數列的定義 按________________著的一列數叫數列，數列中的______________都叫這個數列的項；在函數意義下，數列是________________________的函數，數列的一般形式為：______________________，簡記為{an}，其中an是數列的第____項． 2．通項公式： 如果數列{an}的______

2、與____之間的關系可以____________來表示，那么這個式子叫做數列的通項公式．但并非每個數列都有通項公式，也并非都是唯一的． 3．數列常用表示法有：_________、________、________. 4．數列的分類： 數列按項數來分，分為____________、__________；按項的增減規(guī)律分為________、________、__________和__________．遞增數列?an＋1______an；遞減數列?an＋1______an；常數列?an＋1______an. 5．an與Sn的關系： 已知Sn，則an＝ 自我檢測 1．(2011·汕頭月考

3、)設an＝－n2＋10n＋11，則數列{an}從首項到第幾項的和最大 (　　) A．10 B．11 C．10或11 D．12 2．已知數列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于 (　　) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21 3．(2011·龍巖月考)已知數列－1，，－，，…按此規(guī)律，則這個數列的通項公式是(　　) A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n· D．an＝(－1)n· 4．下列對數列的理解： ①數列可以看成一個定義在N*(或它的有限

4、子集{1,2,3，…，n})上的函數； ②數列的項數是有限的； ③數列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點； ④數列的通項公式是唯一的． 其中說法正確的序號是 (　　) A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 5．(2011·湖南長郡中學月考)在數列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*)，則該數列的通項an＝______. 探究點一　由數列前幾項求數列通項 例1　寫出下列數列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數： (1)，

5、，，，，…； (2)，－2，，－8，，…. 變式遷移1　寫出下列數列的一個通項公式： (1)3,5,9,17,33，…；(2)，2，，8，，…； (3)，，2，，…；(4)1,0,1,0，…. 探究點二　由遞推公式求數列的通項 例2　根據下列條件，寫出該數列的通項公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1 (n≥2)． 變式遷移2　根據下列條件，確定數列{an}的通項公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an； (3)a1＝2，an＋1＝a

6、n＋ln. 探究點三　由an與Sn的關系求an 例3　已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項公式． 變式遷移3　(2011·杭州月考)(1)已知{an}的前n項和Sn＝3n＋b，求{an}的通項公式． (2)已知在正項數列{an}中，Sn表示前n項和且2＝an＋1，求an. 函數思想的應用 例　(12分)已知數列{an}的通項an＝(n＋1)n (n∈N*)，試問該數列{an}有沒有最大項？若有，求出最大項的項數；若沒有，說明理由． 【答題模板】 解　方法一　令[4分] ??，∴n＝9或n＝10時

7、，an最大，[10分] 即數列{an}有最大項，此時n＝9或n＝10.[12分] 方法二　∵an＋1－an＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n ＝n·，[2分] 當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an； 當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，[10分] ∴數列{an}中有最大項，為第9、10項．[12分] 【突破思維障礙】 有關數列的最大項、最小項，數列有界性問題均可借助數列的單調性來解決，判斷單調性常用①作差法，②作商法，③圖象法．

8、求最大項時也可用an滿足；若求最小項，則用an滿足. 數列實質就是一種特殊的函數，所以本題就是用函數的思想求最值． 【易錯點剖析】 本題解題過程中易出現只解出a9這一項，而忽視了a9＝a10，從而導致漏解． 1．數列的遞推公式是研究的項與項之間的關系，而通項公式則是研究的項an與項數n的關系． 2．求數列的通項公式是本節(jié)的重點，主要掌握三種方法：(1)由數列的前幾項歸納出一個通項公式，關鍵是善于觀察； (2)數列{an}的前n項和Sn與數列{an}的通項公式an的關系，要注意驗證能否統(tǒng)一到一個式子中； (3)由遞推公式求通項公式，常用方法有累加、累乘． 3．本節(jié)易錯點是利用

9、Sn求an時，忘記討論n＝1的情況． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2010·安徽)設數列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為 (　　) A．15 B．16 C．49 D．64 2．已知數列{an}的通項公式是an＝，那么這個數列是 (　　) A．遞增數列 B．遞減數列 C．擺動數列 D．常數列 3．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于 (　　) A．4

10、 B．2 C．1 D．－2 4．(2011·煙臺模擬)數列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，則a6等于 (　　) A．13 B. C．11 D. 5．數列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數列{an}的前n項和，則S21為 (　　) A．5 B. C. D. 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．數列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 010的值為________． 7．已知Sn是數列{an}的前n項和，且

11、有Sn＝n2＋1，則數列{an}的通項an＝__________________. 8．(2011·安慶月考)將全體正整數排成一個三角形數陣： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 …　…　…　…　…　… 根據以上排列規(guī)律，數陣中第n (n≥3)行從左至右的第3個數是____________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)寫出下列各數列的一個通項公式． (1)1，2，3，4，…； (2)－1，，－，，－，. 10．(12分)由下列數列{an}遞推公式求數列{an}的通項公式： (1)a1＝1，an－an－1

12、＝n (n≥2)； (2)a1＝1，＝ (n≥2)； (3)a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)． 11．(14分)(2009·安徽)已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數列{bn}的前n項和Tn＝2－bn. (1)求數列{an}與{bn}的通項公式； (2)設cn＝a·bn，證明：當且僅當n≥3時，cn＋1

13、減數列　擺動數列　常數列 >　

14、5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…， ∴an＝2n＋1. (2)將數列中各項統(tǒng)一成分母為2的分數，得 ，，，，，…， 觀察知，各項的分子是對應項數的平方， ∴數列通項公式是an＝. (3)將數列各項統(tǒng)一成的形式得 ，，，，…； 觀察知，數列各項的被開方數逐個增加3，且被開方數加1后，又變?yōu)?,6,9,12，…，所以數列的通項公式是an＝. (4)從奇數項，偶數項角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作數列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…對應項相加之和的一半組成的數列，也可用正弦函數和余弦函數的最值和零點值來調整表示． 所以an＝ 或an＝ (n∈N*)，

15、 或an＝或an＝sin2 (n∈N*)， 或an＝ (n∈N*)． 例2　解題導引　利用數列的遞推公式求數列的通項公式，一般有以下三種方法： (1)累加法：如果已知數列{an}的相鄰兩項an＋1與an的差的一個關系式，我們可依次寫出前n項中所有相鄰兩項的差的關系式，然后把這n－1個式子相加，整理求出數列的通項公式． (2)累積法：如果已知數列{an}的相鄰兩項an＋1與an的商的一個關系式，我們可依次寫出前n項中所有相鄰兩項的商的關系式，然后把這n－1個式子相乘，整理求出數列的通項公式． (3)構造法：根據所給數列的遞推公式以及其他有關關系式，進行變形整理，構造出一個新的等差或等比

16、數列，利用等差或等比數列的通項公式求解． 解　(1)當n＝1,2,3，…，n－1時，可得n－1個等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1， 將其相加， 得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)． ∴an＝a1＋＝2＋. (2)方法一　an＝··…···a1 ＝n－1·n－2·…·2·1 ＝1＋2＋…＋(n－1)＝， ∴an＝. 方法二　由2n－1an＝an－1， 得an＝n－1an－1. ∴an＝n－1an－1 ＝n－1·n－2an－2 ＝n－1·n－2·…·1a1 ＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝ 變式遷移2　解　(1)

17、∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3， ∴數列{an＋1}為等比數列，公比q＝3， 又a1＋1＝2， ∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1. ∴＝n，＝n－1， …… ＝3， ＝2， a1＝1. 累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！. 故an＝n！. (3)∵an＋1＝an＋ln， ∴an＋1－an＝ln＝ln . ∴an－an－1＝ln ， an－1－an－2＝ln ， …… a2－a1＝ln ， 累加可得，an－a1＝ln ＋ln ＋…

18、＋ln ＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n. 又a1＝2，∴an＝ln n＋2. 例3　解題導引　an與Sn的關系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況．一般地，當a1＝S1適合an＝Sn－Sn－1時，則需統(tǒng)一“合寫”．當a1＝S1不適合an＝Sn－Sn－1時，則通項公式應分段表示，即an＝ 解　當n＝1時， a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5； 又n＝1時，an＝4×1－

19、5＝－1≠a1， ∴an＝ 變式遷移3　解　(1)a1＝S1＝3＋b， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 當b＝－1時，a1適合此等式； 當b≠－1時，a1不適合此等式． ∴當b＝－1時，an＝2·3n－1； 當b≠－1時，an＝. (2)由2＝an＋1，得Sn＝2， 當n＝1時，a1＝S1＝2，得a1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝2－2， 整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵數列{an}各項為正，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－2＝0. ∴數列{an}是首項為1，公差為

20、2的等差數列． ∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. 課后練習區(qū) 1．A　2.A　3.A　4.D　5.B 6.　7.　8. 9．解　(1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…， ∴an＝n＋(n∈N*)．…………………………………………………………………(6分) (2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－， a4＝，…， ∴an＝(－1)n·(n∈N*)．………………………………………………………(12分) 10．解　(1)由題意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2. 將上述各式等號兩邊累加得， an－a1＝n＋(n－1

21、)＋…＋3＋2， 即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝， 故an＝.……………………………………………………………………………(4分) (2)由題意得，＝，＝，…，＝，＝. 將上述各式累乘得，＝，故an＝.……………………………………………………(8分) (3)由an＝2an－1＋1， 得an＋1＝2(an－1＋1)， 又a1＋1＝2≠0，所以＝2， 即數列{an＋1}是以2為首項，以2為公比的等比數列． 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.…………………………………………………………(12分) 11．(1)解　a1＝S1＝4.……………………………………………………

22、………………(1分) 對于n≥2有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也適合， ∴{an}的通項公式an＝4n.………………………………………………………………(3分) 將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.………………………………(4分) (求bn方法一)對于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1， Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)， ∴bn＝bn－1，bn＝21－n.……………………………………………………………………(6分) (求bn方法二)對于n≥2，由Tn＝2－bn得 Tn＝2－(Tn－Tn－

23、1)， 2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)， Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n， Tn＝2－21－n， bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n. b1＝1也適合．……………………………………………………………………………(6分) 綜上，{bn}的通項公式bn＝21－n.…………………………………………………………(8分) (2)證明　方法一　由cn＝a·bn＝n225－n，………………………………………………(10分) 得＝2.………………………………………………………………………(12分) 當且僅當n≥3時，1＋≤<， ∴<·()2＝1，又cn＝n2·25－n>0， 即cn＋1