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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆
第3講 等比數(shù)列及其前n項和
一、選擇題
1.＋1與－1兩數(shù)的等比中項是( )
A．1 B．－1
C．±1 D.
解析 設等比中項為x，
則x2＝(＋1)(－1)＝1，即x＝±1.
答案 C
2．設{an}是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是( )．
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XY D．Y(Y－X)
2、＝X(Z－X)
解析 (特例法)取等比數(shù)列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入驗算，選D.
答案 D
3．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝( )．
A．2 B. C．2或 D．3
解析 ∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，
化簡得，2q2－5q＋2＝0，由題意知，q>1.∴q＝2.
答案 A
4．在正項等比數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和．若a1＝1，a2a6＝8，則S8＝
3、( )．
A．8 B．15(＋1)
C．15(－1) D．15(1－)
解析 ∵a2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)．
答案 B
5．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝t·5n－2－，則實數(shù)t的值為( )．
A．4 B．5 C. D.
解析 ∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比數(shù)列知2＝·4t，顯然t≠0，所以t＝5.
答案 B
6．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…
4、＋log3a7)的值為 ( )．
A. B. C．1 D．－
解析 因為a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3.
log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.
答案 B
二、填空題
7．設1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________．
解析 設a2＝t，則1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}故q的最小值是
5、.
答案
8．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝________.
解析 由題意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，
所以數(shù)列{an}的通項公式an＝4n－1.
答案 4n－1
9．設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________．
解析 由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝3，…，an＝f(n)
6、＝[f(1)]n＝n，
∴Sn＝＋2＋3＋…＋n
＝＝1－n，
∵n∈N*，∴≤Sn<1.
答案
10．等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，給出下列四個命題：①數(shù)列為等比數(shù)列；②若a2＋a12＝2，則S13＝13；③Sn＝nan－d；④若d>0，則Sn一定有最大值．
其中真命題的序號是________(寫出所有真命題的序號)．
解析 對于①，注意到＝an＋1－an＝d是一個非零常數(shù)，因此數(shù)列是等比數(shù)列，①正確．對于②，S13＝＝＝13，因此②正確．對于③，注意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＋d＝nan－d，因此③正確．對于④，Sn＝na1＋d，
7、d>0時，Sn不存在最大值，因此④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號是①②③.
答案 ①②③
三、解答題
11．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn為{an}的前n項和，證明：Sn＝；
(2)設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式．
解 (1)證明 因為an＝×n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通項公式為bn＝－.
12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，在數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an
8、＋Sn＝n.
(1)設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{bn}的通項公式．
(1)證明 ∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝.
∵首項c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
∴{cn}是以－為首項，公比為的等比數(shù)列．
(2)解 由(1)可知cn＝·n－1＝－n，
∴an＝cn＋1＝1－n.
∴當n≥2時，bn＝an－an－1＝1－n－
＝n－
9、1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
13．已知兩個等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值．
解 (1)設數(shù)列{an}的公比為q，則b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)設數(shù)列{an}的公比為q，
10、則由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有兩個不同的實根．
由數(shù)列{an}唯一，知方程(*)必有一根為0，
代入(*)得a＝.
14．數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，n∈N*.
(1)當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(2)在(1)的結論下，設bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Tn.
解 (1)∵點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．
∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴當t＝1時，a2＝4a1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(2)在(1)的結論下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋.
高考數(shù)學復習精品
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【名校資料】高考數(shù)學人教A版理科配套題庫【第六章】數(shù)列 第3講等比數(shù)列及其前n項和
