《高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)沖刺方案文數(shù)經(jīng)典版文檔：第一編 第2講 數(shù)形結(jié)合思想 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)沖刺方案文數(shù)經(jīng)典版文檔：第一編 第2講 數(shù)形結(jié)合思想 Word版含解析（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2講　數(shù)形結(jié)合思想 「思想方法解讀」　數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法．?dāng)?shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形之間的溝通與轉(zhuǎn)化，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面．?dāng)?shù)形結(jié)合的實質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，即將代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化． 數(shù)形結(jié)合思想常用來解決函數(shù)零點問題、方程根與不等式問題、參數(shù)范圍問題、立體幾何模型研究代數(shù)問題，以及解析幾何中的斜率、截距、距離等模型問題． 熱點題型探究 熱點1 數(shù)形結(jié)合化解方程問 例1　(1)(2019·聊城市高三一模)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x

2、)＝x＋a無實根，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0)∪ B．(－1,0) C. D．(0,1) 答案　B 解析　因為函數(shù)f(x)＝所以關(guān)于x的方程f(x)＝x＋a無實根等價于函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝x＋a無交點，設(shè)直線y＝x＋a與f(x)＝(x>0)切于點P(x0，y0)，由f′(x)＝，由已知得＝1，解得x0＝1，則P(1,0)，則切線方程為y＝x－1， 作出函數(shù)f(x)與直線y＝x＋a的圖象如圖所示． 由圖知函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝x＋a無交點時實數(shù)a的取值范圍為－1

3、有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0] B．[0,1) C．(－∞，1) D．[0，＋∞) 答案　C 解析　函數(shù)f(x)＝ 的圖象如圖所示，當(dāng)a<1時，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝x＋a的圖象有兩個交點，即方程f(x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根． 用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解(或函數(shù)零點)的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)

4、即為方程解(或函數(shù)零點)的個數(shù)． 1．(2019·天津市重點中學(xué)畢業(yè)班聯(lián)考(一))已知函數(shù)f(x)＝若方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三個不相等的實數(shù)根，等價于y＝f(x)＋|x－2|與y＝kx的圖象有三個交點，畫出y＝f(x)＋|x－2|＝ 與y＝kx的圖象如圖，y＝kx與y＝x2＋3x＋2相切時，k＝3－2，y＝kx過(－3,2)時，k＝－，∴根據(jù)圖象可知，－≤k<3－2時，兩函數(shù)圖象有三個交點，∴若方程f(x)＋|x－2|－kx

5、＝0有且只有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是，故選A. 2．將函數(shù)f(x)＝sin的圖象向右平移個單位后，再將所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到g(x)的圖象，若g(x)＋k＝0在x∈上有且只有一個實數(shù)根，則k的取值范圍是(　　) A．k≤ B．－1≤k＜－ C．－＜k≤ D．－＜k≤或k＝－1 答案　D 解析　將f(x)的圖象向右平移個單位得到h(x)＝sin＝sin，再將所有點的橫坐標伸長為原來的2倍得到g(x)＝sin. 所以g(x)＋k＝0，即為方程sin＋k＝0. 令2x－＝t，因為x∈，所以－≤t≤. 若g(x)＋k＝0在x∈上有且只有一個

6、實數(shù)根，即g(t)＝sint與y＝－k在上有且只有一個交點. 如圖所示，由正弦函數(shù)的圖象可知－≤－k＜或－k＝1，即－＜k≤或k＝－1. 熱點2 　數(shù)形結(jié)合化解不等式問題 例2　(1)(2019·安徽省江南十校高三聯(lián)考)已知x，y滿足z＝xy的最小值、最大值分別為a，b，且x2－kx＋1≥0對x∈[a，b]恒成立，則k的取值范圍為(　　) A．－2≤k≤2 B．k≤2 C．k≥－2 D．k≤ 答案　B 解析　作出表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，顯然z＝xy的最小值為0，當(dāng)點(x，y)在線段x＋2y＝3(0≤x≤1)上時，z＝xy＝x＝－x2＋x≤1； 當(dāng)

7、點(x，y)在線段2x＋y＝3(0≤x≤1)上時， z＝xy＝x(3－2x)＝－2x2＋3x≤；即a＝0，b＝； 當(dāng)x＝0時，不等式x2－kx＋1＝1≥0恒成立， 若x2－kx＋1≥0對x∈恒成立， 則k≤x＋在上恒成立， 又x＋在(0,1]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 即min＝2，即k≤2. (2)已知關(guān)于x的不等式＞ax＋的解集為{x|4＜x＜b}，則ab＝________. 答案　 解析　設(shè)f(x)＝，g(x)＝ax＋(x≥0)． 因為＞ax＋的解集為{x|4＜x＜b}，所以兩函數(shù)圖象在4＜x＜b上有f(x)＞g(x)，如圖所示． 當(dāng)x＝4，x＝b時，由f(x)

8、＝g(x)，可得 解得所以ab＝×36＝. 數(shù)形結(jié)合思想處理不等式問題，要從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題思路．因此，往往構(gòu)造熟知的函數(shù)，作出函數(shù)圖象，利用圖象的交點和圖象的位置求解不等式． 1．(2019·湖南三市高三聯(lián)考)設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)>0，且?x1，x2∈R(x1≠x2)，f(x1)＋f(x2)<2f，則下列選項中不一定正確的一項是(　　) A．f(2)

9、) 答案　C 解析　因為f′(x)>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增．?x1，x2∈R(x1≠x2)，恒有f(x1)＋f(x2)<2f，即

10、logax＋1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　≤a＜1 解析　當(dāng)0＜x＜時，函數(shù)y＝8x－1的圖象如圖中實線所示． ∵?x∈，8x＜logax＋1恒成立， ∴當(dāng)x∈時，y＝logax的圖象恒在y＝8x－1的圖象的上方(如圖中虛線所示)．∵y＝logax的圖象與y＝8x－1的圖象交于點時，a＝，∴≤a＜1. 熱點3 數(shù)形結(jié)合化解平面向量問題 例3　(1)(2019·東北三省三校高三第二次模擬)趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角

11、形再加上中間的一個小正方形組成的)，類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)DF＝2AF，則(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 答案　D 解析　設(shè)DF＝2AF＝2，因此BD＝AF＝1，又由題意可得∠ADB＝120°， 所以AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝32＋12－6cos120°＝13，因此AB＝； 延長AD交BC于M，記∠DAB＝θ，∠AMB＝α， 則cos∠DAB＝＝＝， 所以sin∠DAB＝＝； 又由題意易知∠DAB＝∠DBM，則α＝120°－

12、θ， 在三角形DBM中，由正弦定理可得 ＝＝， 即＝＝， 因此BM＝＝＝＝BC，DM＝＝＝， 所以AD＝AM＝AM， 因為BM＝BC，所以＝，即－＝(－)， 整理得＝A＋，所以＝＝＝＋.故選D. (2)給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上運動．若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值為________，此時∠AOC＝________. 答案　2　 解析　由圖示和題意可知，A(1,0)，B. 設(shè)∠AOC＝α，則C(cosα，sinα)． 由＝x＋y，得 解得 所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin. 又α∈，所

13、以當(dāng)α＝時，x＋y取得最大值2. 建坐標系可以實現(xiàn)平面向量問題的全面運算，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，化繁為簡，輕松破解． 1．(2019·馬鞍山市第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)已知圓C1，C2，C3是同心圓，半徑依次為1,2,3，過圓C1上點M作C1的切線交圓C2于A，B兩點，P為圓C3上任一點，則·的取值范圍為(　　) A．[－8，－4] B．[0,12] C．[1,13] D．[4,16] 答案　C 解析　設(shè)同心圓的圓心為O，由切線性質(zhì)可知OM⊥AB，又過圓C1上點M作C1的切線交圓C2于A，B兩點，∴

14、OA＝OB＝2，OM＝1，在Rt△OAM中，sin∠OAM＝＝，∴∠OAB＝∠OAM＝，根據(jù)OA＝OB＝2，可知∠OAB＝∠OBA＝，∴∠AOB＝，·＝(＋)·(＋)＝||2＋·＋·＋·＝9＋·(＋)＋||||·cos＝7－·(＋)．∵OM⊥AB，OA＝OB， ∴M是AB的中點，根據(jù)向量加法的幾何意義得＋＝2，代入上式得，·＝7－·(＋)＝7－2·＝7－2||||cos〈，〉＝7－6cos〈，〉，∵〈，〉∈[0，π]，∴cos〈，〉∈[－1,1]，∴·∈[1,13]，故選C. 2．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，則·＝________. 答案　1

15、2 解析　解法一：因為·＝2·， 所以·－·＝·，所以·＝·. 因為AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝， 所以2||＝||||cos，化簡得||＝2. 故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12. 解法二：如圖，建立平面直角坐標系xAy. 依題意，可設(shè)點D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m＞0，n＞0， 則由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)， 所以n(m＋2)＝2nm，化簡得m＝2. 故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12. 熱點4 數(shù)形結(jié)合化解圓錐曲線問題 例4　(1)(2019·河南省高

16、三一模)設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，若雙曲線的漸近線被圓M：x2＋y2－10x＝0所截得的兩條弦長之和為12，已知△ABP的頂點A，B分別為雙曲線的左、右焦點，頂點P在雙曲線上，則的值等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，∵雙曲線的漸近線被圓M：x2＋y2－10x＝0即(x－5)2＋y2＝25所截得的兩條弦長之和為12，設(shè)圓心到漸近線的距離為d，則d＝＝4.∴＝4，即5b＝4c，b＝c.∵a2＝c2－b2＝c2，∴a＝c， ∵A，B分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，∴|AP－BP|＝2a，根據(jù)正弦定

17、理可得＝＝＝2R，∴sinB＝，sinA＝，sinP＝，∴＝＝＝，故選C. (2)已知A(1,1)為橢圓＋＝1內(nèi)一點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點，P為橢圓上一動點，求|PF1|＋|PA|的最大值和最小值． 解　由＋＝1可知a＝3，b＝，c＝2，左焦點F1(－2，0)，右焦點F2(2,0)． 由橢圓定義，知|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|， ∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|. 如圖，由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝＝， 知－≤|PA|－|PF2|≤ . 當(dāng)點P在AF2的延長線上的點P2處時，取右“＝”， 當(dāng)點P在AF2的反

18、向延長線上的點P1處時，取左“＝”， 即|PA|－|PF2|的最大、最小值分別為，－. 于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋，最小值是6－. 與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，通常是利用函數(shù)的觀點，建立函數(shù)表達式求解．但一味的強調(diào)函數(shù)觀點，有時使思維陷入僵局，此時若能合理利用圓錐曲線的定義，以形助數(shù)，會使問題變得特別簡單． 1．橢圓＋＝1的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點M，N，當(dāng)△FMN的周長最大時，△FMN的面積是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖，設(shè)橢圓的右焦點為F′，連接MF′，NF′.因為|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF

19、|＋|NF|＋|MN|，所以當(dāng)直線x＝m過橢圓的右焦點時，△FMN的周長最大．此時|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此時△FMN的面積S＝×2×＝.故選C. 2．(2019·四川省成都市第七中學(xué)高三下學(xué)期三診)已知雙曲線C：－4y2＝1(a>0)的右頂點到其一條漸近線的距離等于，拋物線E：y2＝2px的焦點與雙曲線C的右焦點重合，則拋物線E上的動點M到直線l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1的距離之和的最小值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由雙曲線方程－4y2＝1(a>0)可得，雙曲線的右頂點為(a,0)，漸近線方程為y＝±x，即x±2ay＝0.∵雙曲線的右頂點到漸近線的距離等于，∴＝，解得a2＝，∴雙曲線的方程為－4y2＝1， ∴雙曲線的焦點為(1,0)．又拋物線E：y2＝2px的焦點與雙曲線C的右焦點重合， ∴p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x，焦點坐標為F(1,0)．如圖， 設(shè)點M到直線l1的距離為|MA|，到直線l2的距離為|MB|，則|MB|＝|MF|，∴|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|.結(jié)合圖形可得當(dāng)A，M，F(xiàn)三點共線時，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MF|最小，且最小值為點F到直線l1的距離d＝＝2.故選B.