《高考數學大二輪刷題首選卷文數文檔：第二部分 解答題七 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學大二輪刷題首選卷文數文檔：第二部分 解答題七 Word版含解析（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 解答題(七) 17．已知{an}是遞增數列，其前n項和為Sn，a1>1，且10Sn＝(2an＋1)(an＋2)，n∈N*. (1)求數列{an}的通項an； (2)是否存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak成立？若存在，寫出一組符合條件的m，n，k的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)由10a1＝(2a1＋1)(a1＋2)， 得2a－5a1＋2＝0，解得a1＝2或a1＝. 又a1>1，所以a1＝2. 因為10Sn＝(2an＋1)(an＋2)＝2a＋5an＋2， 所以10an＋1＝10Sn＋1－10Sn＝2a＋5an＋1＋2－2a－5an－2， 整理，得

2、2(a－a)－5(an＋1＋an)＝0， 即(an＋1＋an)[2(an＋1－an)－5]＝0. 因為{an}是遞增數列且a1＝2，所以an＋1＋an≠0， 因此an＋1－an＝. 所以數列{an}是以2為首項，為公差的等差數列， 所以an＝2＋(n－1)＝(5n－1)． (2)滿足條件的正整數m，n，k不存在，理由如下： 假設存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak， 則5m－1＋5n－1＝(5k－1)， 整理，得2m＋2n－k＝，(*) 顯然，(*)式左邊為整數，所以(*)式不成立． 故滿足條件的正整數m，n，k不存在． 18．(2019·東北三省三校一模)

3、如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，四面體P－BCG的體積為. (1)求點D到平面PBG的距離； (2)若點F是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值． 解　(1)∵VP－BCG＝S△BCG·PG＝·BG·GC·PG＝，∴PG＝4， ∵PG⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，∴PG⊥BG， ∴S△PBG＝BG·PG＝×2×4＝4，∵AG＝GD， ∴S△BDG＝·S△BCG＝×2＝，設點D到平面PBG的距離為h，∵VD－PBG＝VP－BDG， ∴S△PBG·h＝S△BDG·PG，

4、 ∴×4h＝××4，∴h＝. ∴點D到平面PBG的距離為. (2)如圖，在平面ABCD內，過D作DM⊥GC于點M，連接FM，又DF⊥GC, DM∩DF＝D， ∴GC⊥平面FMD，FM?平面FMD， ∴GC⊥FM， ∵PG⊥平面ABCD，GC?平面ABCD， ∴PG⊥GC，∴FM∥PG， 由GM⊥MD，得GM＝GDcos45°＝， 則MC＝，∴＝＝＝3. 19．(2019·廣東東莞最后一卷)工廠質檢員從生產線上每半個小時抽取一件產品并對其某個質量指標Y進行檢測，一共抽取了48件產品，并得到如下統計表．該廠生產的產品在一年內所需的維護次數與指標Y有關，具體見下表． 質量指標

5、Y [9.4,9.8) [9.8,10.2) [10.2,10.6] 頻數 8 24 16 一年內所需維護次數 2 0 1 (1)以每個區(qū)間的中點值作為每組指標的代表，用上述樣本數據估計該廠產品的質量指標Y的平均值(保留兩位小數)； (2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取6件產品，再從6件產品中隨機抽取2件產品，求這2件產品的指標Y都在[9.8,10.2)內的概率； (3)已知該廠產品的維護費用為300元/次，工廠現推出一項服務：若消費者在購買該廠產品時每件多加100元，該產品即可一年內免費維護一次．將每件產品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用．假設這48

6、件產品每件都購買該服務，或者每件都不購買該服務，就這兩種情況分別計算每件產品的平均消費費用，并以此為決策依據，判斷消費者在購買每件產品時是否值得購買這項維護服務？ 解　(1)指標Y的平均值＝9.6×＋10×＋10.4×≈10.07. (2)由分層抽樣知，先抽取的6件產品中，指標Y在[9.8,10.2)內的有3件，記為A1，A2，A3；指標Y在[10.2,10.6]內的有2件，記為B1，B2；指標Y在[9.4,9.8)內的有1件，記為C. 從6件產品中隨機抽取2件產品，共有基本事件15個：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，

7、B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)． 其中，指標Y都在[9.8,10.2)內的基本事件有3個：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)， 所以2件產品的指標Y都在[9.8,10.2)內的概率為P＝＝. (3)不妨設每件產品的售價為x元，假設這48件樣品每件都不購買該服務，則購買支出為48x元．其中有16件產品一年內的維護費用為300元/件，有8件產品一年內的維護費用為600元/件，此時平均每件產品的消費費用為η＝×(48x＋16×300＋8×600)＝(x＋200)元． 假設為這48件產品

8、每件產品都購買該項服務，則購買支出為48(x＋100)元，一年內只有8件產品要花費維護，需支出8×300＝2400元，平均每件產品的消費費用ξ＝×[48(x＋100)＋8×300]＝(x＋150)元． 所以該服務值得消費者購買． 20．(2019·湖南郴州第二次教學質量監(jiān)測)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，過F的直線交拋物線于A，B兩點． (1)若以A，B為直徑的圓的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝16，求拋物線C的標準方程； (2)過A，B分別作拋物線的切線l1，l2，證明：l1，l2的交點在定直線上． 解　(1)設AB的中點為M，A到準線的距離為d1，B到準線的

9、距離為d2，M到準線的距離為d.則d＝yM＋，由拋物線的定義可知，d1＝|AF|，d2＝|BF|，所以d1＋d2＝|AB|＝8，由梯形中位線可得d＝＝4，所以yM＋＝4，而yM＝3，所以3＋＝4，則p＝2，所以拋物線C：x2＝4y. (2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2＝2py得y＝，則y′＝，所以直線l1的方程為y－y1＝(x－x1)，直線l2的方程為y－y2＝(x－x2), 聯立得x＝，y＝， 即l1，l2的交點坐標為，因為AB過焦點F，所以設直線AB的方程為y－＝kx，代入拋物線x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，所以x1x2＝－p2，所以＝＝－，即l1，l

10、2的交點在定直線上． 21．(2019·河北保定第二次模擬)已知函數f(x)＝a(x－1)＋xln x＋1. (1)求函數f(x)的最小值； (2)若a＝1，且當x∈(2，＋∞)時，恒有k(x－2)＜f(x)成立，求證：k＜(e＝2.71828…)． 解　(1)由f(x)＝a(x－1)＋xln x＋1，得f′(x)＝a＋1＋ln x，令f′(x)＝a＋1＋ln x＝0得x＝e－(a＋1), 顯然，x∈(0，e－(a＋1))時，f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減；x∈(e－(a＋1)，＋∞)時，f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增．所以f(x)min＝f(e－(a＋1))＝1－a－

11、e－(a＋1). (2)證明：當a＝1時，f(x)＝x＋xln x，由題意可得k＜， 令h(x)＝，則h′(x)＝. 令g(x)＝x－4－2ln x，又g′(x)＝1－，所以x＞2時，g′(x)＞0，所以g(x)在(2，＋∞)上單調遞增． 由于g(e)＝e－6＜0，g(9)＝5－2ln 9＝ln e5－ln 92＞0，設x－4－2ln x＝0，并記其零點為x0，故e＜x0＜9，且ln x0＝，所以當2＜x＜x0時，g(x)＜0，即h′(x)＜0，h(x)單調遞減；當x＞x0時， g(x)＞0，即h′(x)>0，h(x)單調遞增，所以h(x)min＝h(x0)＝＝＝， 因此k＜，且e＜

12、x0＜9，所以k＜. 22．已知直線l的極坐標方程為ρsin＝2，現以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C1的參數方程為(φ為參數)． (1)求直線l的直角坐標方程和曲線C1的普通方程； (2)若曲線C2為曲線C1關于直線l的對稱曲線，點A，B分別為曲線C1、曲線C2上的動點，點P的坐標為(2,2)，求|AP|＋|BP|的最小值． 解　(1)∵ρsin＝2， ∴ρsinθ＋ρcosθ＝2， 即ρcosθ＋ρsinθ＝4， ∴直線l的直角坐標方程為x＋y－4＝0； ∵ ∴曲線C1的普通方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝4. (2)∵點P在直線x＋y＝4上

13、，根據對稱性，|AP|的最小值與|BP|的最小值相等． 曲線C1是以(－1，－2)為圓心，半徑r＝2的圓． ∴|AP|min＝|PC1|－r＝－2＝3. 所以|AP|＋|BP|的最小值為2×3＝6. 23．已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x2＋2x. (1)解關于x的不等式g(x)≥f(x)－|x－1|； (2)如果對任意的x∈R，不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1|恒成立，求實數c的取值范圍． 解　(1)∵函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱， ∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x， ∴原不等式可化為|x－1|≥2x2， 即x－1≥2x2或x－1≤－2x2， 解得－1≤x≤，故原不等式的解集為. (2)不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1|可化為|x－1|≤2x2－c， 即－2x2＋c≤x－1≤2x2－c， 即要使不等式恒成立，只需 解得c≤－，故c的取值范圍是.