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1、
滿分示范課——概率與統(tǒng)計(jì)
概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題需要從數(shù)據(jù)中獲取有用的信息,通過(guò)數(shù)據(jù)的篩選、分析構(gòu)建相關(guān)模型特別是從圖表、直方圖、莖葉圖中獲取信息,利用圖表信息進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.
解題的關(guān)鍵重在“辨”——辨析、辨型、辨圖,只要找到模型,問(wèn)題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計(jì)模型的提取往往需要經(jīng)過(guò)觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過(guò)程,同時(shí),還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對(duì)立事件等事件間的關(guān)系,注意放回和不放回試驗(yàn)的區(qū)別,會(huì)套用公式求,k2的值,并進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.
【典例】 (滿分12分)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)
2、方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如圖所示的莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說(shuō)明理由;
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
生產(chǎn)方式
超過(guò)m
不超過(guò)m
第一種生產(chǎn)方式
第二種生產(chǎn)方式
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:K2=,
P(K2≥k0)
0.
3、050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
[規(guī)范解答] (1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:
①由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.
因此第二種生產(chǎn)方式的效果更高.
②第一種生產(chǎn)方式時(shí)間集中在區(qū)間[80,90],且平均工作時(shí)間1=84.
第二種生產(chǎn)方式的時(shí)間集中在區(qū)間[70,80),且平均工作時(shí)間2=74.7.
因?yàn)?>2,所以第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時(shí)間大于第二種.
所以第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
4、
(2)由莖葉圖數(shù)據(jù)得到m==80.
由此填寫列聯(lián)表如下:
生產(chǎn)方式
超過(guò)m
不超過(guò)m
總計(jì)
第一種生產(chǎn)方式
15
5
20
第二種生產(chǎn)方式
5
15
20
總計(jì)
20
20
40
(3)根據(jù)第(2)中的列聯(lián)表計(jì)算.
K2==
=10>6.635,
所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.
高考狀元滿分心得
1.得步驟分:步驟規(guī)范,求解完整,解題步驟常見(jiàn)的失分點(diǎn).如第(1)問(wèn)不能明確指出“第二種生產(chǎn)方式”的效率更高.第(2)問(wèn)不能寫出中位數(shù)m.第(3)問(wèn)不能代入K2公式等.
2.得關(guān)鍵分:如第(1)問(wèn)理由表述要緊扣莖葉圖的數(shù)據(jù)信息(表
5、達(dá)方式不唯一),準(zhǔn)確指出m=80,不能忽視K2=10>6.635等.否則會(huì)導(dǎo)致扣分.
3.準(zhǔn)確計(jì)算是得滿分的保證:如第(2)問(wèn)中位數(shù)的判定,列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的填寫,獨(dú)立性檢驗(yàn)中K2觀測(cè)值的計(jì)算等.
[解題程序] 第一步:由莖葉圖,研究甲、乙兩種生產(chǎn)方式的數(shù)字特征,確定生產(chǎn)效率的高低.
第二步:求m的值,畫出2×2列聯(lián)表.
第三步:代入獨(dú)立性檢驗(yàn)公式,計(jì)算觀測(cè)值K2.
第四步:根據(jù)臨界值,進(jìn)行獨(dú)立性分析.
第五步:反思總結(jié),規(guī)范解題步驟.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.(2019·珠海質(zhì)檢)為了豐富學(xué)生的課外文化生活,某中學(xué)積極探索開展課外文體活動(dòng)的新途徑及新形式,取得了良好的效果.為了調(diào)查學(xué)生
6、的學(xué)習(xí)積極性與參加文體活動(dòng)是否有關(guān),學(xué)校對(duì)300名學(xué)生做了問(wèn)卷調(diào)查,列聯(lián)表如下:
分類
參加文體活動(dòng)
不參加文體活動(dòng)
總計(jì)
學(xué)習(xí)積極性高
180
學(xué)習(xí)積極性不高
60
總計(jì)
300
已知在全部300人中隨機(jī)抽取1人,抽到學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率為.
(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)是否有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生積極性高與參加文體活動(dòng)有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明你的理由;
(3)若從不參加文體活動(dòng)的同學(xué)中按照分層抽樣的方法選取5人,再?gòu)乃x出的5人中隨機(jī)選取2人,求至少有1人學(xué)習(xí)積極性不高的概率.
附:
p(K2≥k0)
0.15
0.1
7、0
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=,其中n=a+b+c+d.
解:(1)設(shè)學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生有x名,則=,解之得x=80.
列聯(lián)表如下:
分類
參加文體活動(dòng)
不參加文體活動(dòng)
總計(jì)
學(xué)習(xí)積極性高
180
40
220
學(xué)習(xí)積極性不高
20
60
80
總計(jì)
200
100
300
(2)有.理由:由(1)中的列聯(lián)表可求得
K2=≈85>7.879,
因此有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)積極性高與參加文體活動(dòng)
8、有關(guān).
(3)根據(jù)題意,知從學(xué)習(xí)積極性高的學(xué)生中抽取2人,從學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生中抽取3人.可設(shè)抽出的學(xué)習(xí)積極性高的學(xué)生為A、B,學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生為C、D、E,則選取的2人可以是(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10種,其中至少有1人學(xué)習(xí)積極性不高的有(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共9種,所以至少有1人學(xué)習(xí)積極性不高的概率為.
2.(2019·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)四校聯(lián)考)“一帶一路”沿線的20國(guó)青年評(píng)選出了中國(guó)“新四大發(fā)明”:
9、高鐵、支付寶、共享單車和網(wǎng)購(gòu).2019年春節(jié)期間,“支付寶大行動(dòng)”用發(fā)紅包的方法刺激支付寶的使用.某商家統(tǒng)計(jì)前5名顧客掃描紅包所得金額分別為5.2元,2.9元,3.3元,5.9元,4.8元,商家從這5名顧客中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送飲水杯.
(1)求獲得飲水杯的三人中至少有一人的紅包超過(guò)5元的概率;
(2)統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)每天使用支付寶付款的人數(shù)x與商家每天的凈利潤(rùn)y元,得到7組數(shù)據(jù),如表所示,并作出了散點(diǎn)圖.
x
12
16
26
29
25
22
30
y
60
100
150
270
240
210
330
①直接根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=ec
10、+dx中哪一個(gè)適合作為每天的凈利潤(rùn)的回歸方程類型.
②根據(jù)①的判斷,建立y關(guān)于x的回歸方程;若商家當(dāng)天的凈利潤(rùn)至少是1 400元,估計(jì)使用支付寶付款的人數(shù)至少是多少(a,b,c,d的值取整數(shù))?
參考數(shù)據(jù):
22.86
194.29
268.86
3 484.29
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線=+u的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為=,=-.
解:(1)由已知5名顧客中紅包超過(guò)5元的有兩人,分別記為A1,A2;不足5元的有三人分別記為B1,B2,B3,從這5名顧客中隨機(jī)抽取3人,有如下情況:(A1,A2,B1),
11、(A1,A2,B2),(A1,A2,B3),(A1,B1,B2),(A1,B1,B3),(A1,B2,B3),(A2,B1,B2),(A2,B1,B3),(A2,B2,B3),(B1,B2,B3),共10種.
設(shè)事件M:“獲得飲水杯的三人中至少有一人的紅包超過(guò)5元”,則它的對(duì)立事件是:“獲得飲水杯的三人中沒(méi)有一人的紅包超過(guò)5元”,滿足它的是(B1,B2,B3),只有1種情況.
所以P(M)=1-P()=1-=.
(2)①根據(jù)散點(diǎn)圖可判斷,選擇y=a+bx作為每天的凈利潤(rùn)的回歸方程類型比較適合.
②由最小二乘法得系數(shù)==≈13,
所以=-=194.29-13×22.86≈-103,
所以y關(guān)于x的回歸方程為=-103+13x.
若商家當(dāng)天的凈利潤(rùn)至少是1 400元,則-103+13x≥1 400,所以x≥115.6.
故若商家當(dāng)天的凈利潤(rùn)至少是1 400元,估計(jì)使用支付寶付款的人數(shù)至少是116人.