2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題34 與圓的有關(guān)計(jì)算試題(B卷含解析)
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1、 與圓的有關(guān)計(jì)算 一、選擇題 1. 甘肅蘭州,12,4分)如圖,用—個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升,滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°,假設(shè)繩索(粗細(xì)不計(jì))與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng),則重物上升了( ) A.cm B.2cm C.3cm D.5cm 【答案】C 【逐步提示】先明確重物上升的距離就是P旋轉(zhuǎn)的圓弧長(zhǎng),再求出該弧長(zhǎng)即可. 【詳細(xì)解答】解:當(dāng)滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°時(shí),重物上升的距離就是P旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng),h=l===3(cm),故選擇C. 【解后反思】本題是有關(guān)弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用題,解題的關(guān)鍵是能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題【關(guān)鍵詞】弧長(zhǎng)公式;轉(zhuǎn)化思想 . 2.
2、( 湖北省十堰市,9,3分)如圖,從一張腰長(zhǎng)為60厘米,頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD,用此剪下的鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面(不計(jì)損耗)則圓錐的高為( ) A. 10cm B.15cm C.10cm D.20cm. 【答案】D 【逐步提示】本題主要考查解直角三角形、弧長(zhǎng)計(jì)算、圓錐的側(cè)面展開等計(jì)算問(wèn)題;解題的關(guān)鍵是把一個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐后,弄清圓錐的母線長(zhǎng)、底面半徑與原扇形弧長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系.解題思路:圓錐的側(cè)面積=展開后的扇形面積=×弧長(zhǎng)×半徑 . 【詳細(xì)解答】解:如圖,因?yàn)榈妊切舞F皮腰長(zhǎng)為
3、60厘米,頂角為120°,所以剪出的最大的扇形OCD 的半徑是30厘米,扇形的圓心角是120°;因?yàn)閲傻膱A錐的底面周長(zhǎng)是=20,設(shè)圓錐的底面半徑為r, 所以2r= 20, r=10; h= 故選擇D . 【解后反思】本題中的等腰三角形的計(jì)算、解直角三角形、扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算是重點(diǎn);而把扇形圍成圓錐,計(jì)算母線長(zhǎng)、底面半徑是園中計(jì)算的一個(gè)難點(diǎn). 歸納拓展:在圓錐的相關(guān)計(jì)算中,關(guān)鍵抓住以下幾點(diǎn):(1)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形;(2)扇形的半徑是圓錐的母線;(3)扇形的弧長(zhǎng)是圓錐底面的周長(zhǎng). 在圓柱的側(cè)面積計(jì)算中,關(guān)鍵抓住下面兩點(diǎn):(1)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形,其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱
4、底面的周長(zhǎng),所以圓柱的側(cè)面積等于底面的周長(zhǎng)乘圓柱的高,即S圓柱側(cè)=2πrh; (2)防止漏掉圓柱的底面積而出錯(cuò). 【關(guān)鍵詞】解直角三角形;圓中的計(jì)算問(wèn)題;弧長(zhǎng);扇形 ;圓錐的側(cè)面積與全面積 3. (江蘇省無(wú)錫市,7,3分)已知圓錐的底面半徑為4cm,母線長(zhǎng)為6cm,則它的側(cè)面展開圖的面積等于( ) A.24 cm2 B.48 cm2 C.24πcm2 D.12πcm2 【答案】C 【逐步提示】本題考查了圓錐側(cè)面積的求法,解題的關(guān)鍵是掌握側(cè)面展開圖與圓錐底面半徑和母線之間的關(guān)聯(lián).本題可以先求出圓錐的底面周長(zhǎng),即展開圖扇形的弧長(zhǎng),然后套用扇形面積公式即可. 【
5、詳細(xì)解答】解:∵圓錐的底面半徑為4cm,∴圓錐底面周長(zhǎng)為8πcm,所以S側(cè)=×8π×6=24πcm2,故選擇C . 【解后反思】(1)若⊙O的半徑為R,弧長(zhǎng)為l,圓心角為n°,則有如下公式:①弧長(zhǎng)公式 l=;扇形面積公式S=.(2)若圓錐的母線為l,底面半徑為r,則圓錐的側(cè)面積公式:S側(cè)=πrl.(3)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,要注意扇形與圓錐間的聯(lián)系:扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng). 【關(guān)鍵詞】圓錐側(cè)面展開圖;扇形面積; 二、填空題 1. ( 安徽,13,5分)如圖,已知⊙O的半徑為2,A為⊙O外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作⊙O的一條切線AB,切點(diǎn)為B.AO的延長(zhǎng)線
6、叫⊙O于點(diǎn)C.若∠BAC=300,則劣弧BC的長(zhǎng)為 【答案】 【逐步提示】連接OB,由切線的性質(zhì)求出∠BOC的度數(shù),然后代入弧長(zhǎng)計(jì)算公式求解. 【詳細(xì)解答】解:如圖,連接OB,∵AB是⊙O的切線,∴∠ABO=900,∵∠BAC=300,∴∠AOB=600,∴∠BOC=1200, 劣弧BC的長(zhǎng)為,故答案為 . 【解后反思】弧長(zhǎng)=,其中n是圓弧所對(duì)的圓心角的度數(shù),R是圓弧所在圓的半徑,求弧長(zhǎng)應(yīng)確定圓弧的圓心角n和半徑R.另扇形面積=,其中n是扇形的圓心角,R是扇形的半徑,是扇形的圓弧長(zhǎng). 【關(guān)鍵詞】圓的計(jì)算,弧長(zhǎng)的計(jì)算公式 2. ( 甘肅省天水市,1
7、7,4分)如圖,在△ABC中,BC=6,以點(diǎn)A為圓心,2為半徑的⊙A與BC相切于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)P是優(yōu)弧上的一點(diǎn),且∠EPF=50°,則圖中陰影部分的面積是______. A B D C P E F 【答案】6-. 【逐步提示】本題考查了切線的性質(zhì),求扇形的面積,圓周角定理,解題的關(guān)鍵是1.連結(jié)AD,可得AD⊥BC,則有AD=2,這樣就能求得△ABC的面積.2. 根據(jù)圓周角定理求得∠EAF=2∠EPF=100°,而半徑已知,就可求得扇形EAF的面積.3. 根據(jù)陰影部分的面積=△ABC的面積-扇形EAF的面積求解. 【詳細(xì)解答】解:連結(jié)AD, A
8、B D C P E F ∵⊙A與BC相切于點(diǎn)D, ∴AD⊥BC,AD=2. ∴S△ABC=BC·AD=×6×2=6. ∵圓周角∠EPF與圓心角∠EAF對(duì)的是同一條弧, ∴∠EPF=∠EAF. 而∠EPF=50°, ∴∠EAF=2∠EPF=100°. ∴S扇形EAF==. ∴S陰影=S△ABC-S扇形EAF=6-. 故答案為6-. 【解后反思】求陰影部分面積時(shí),一般考慮將不規(guī)則的陰影圖形,割(或補(bǔ))成幾個(gè)規(guī)則圖形的面積之和(或差),從而代入公式求值. 【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理;切線的判定與性質(zhì);扇形與弓形;面積法. 3. (廣東省廣州市,15,3分)如
9、圖,以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦AB是小圓的切線,點(diǎn)P為切點(diǎn),AB=12,OP=6,則劣弧AB(︵)的長(zhǎng)為 .(結(jié)果保留π) O A P B 【答案】8π 【逐步提示】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式,要求劣弧AB(︵)的長(zhǎng),需知道半徑OB的長(zhǎng)與圓心角∠ABO的大?。谑沁B接OA與OB,在小圓O中,易得OP⊥AB,則在大圓O中,有AP=PB,據(jù)此,通過(guò)解Rt△OPB,可求OB的長(zhǎng)與∠POB的度數(shù),進(jìn)而可得∠AOB的度數(shù),最后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算求值即可. 【詳細(xì)解答】解:連接OA,OB.∵大圓的弦AB是小圓的切線,∴OP⊥AB,根據(jù)垂徑定理,得BP=
10、AB=6.在Rt△OBP中,OB===12,tan∠POB===,∴∠POB=60°.∵OA=OB,OP⊥AB,∴∠AOB=2∠POB=120°. 劣弧AB(︵)的長(zhǎng)==8π.故答案為8π. O A P B 【解后反思】(1)n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為:l=,弧長(zhǎng)l,圓心角度數(shù)n與半徑R中,知其中兩個(gè)量可求第三個(gè)量. (2)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.這樣可把要求值的線段或角放在直角三角形中去解決. 【關(guān)鍵詞】切線的性質(zhì);垂徑定理;勾股定理;銳角三角形函數(shù);弧長(zhǎng)計(jì)算公式 4. (貴州省畢節(jié)市,20,5分)如圖,分別以邊長(zhǎng)等于1的正方形的四邊為直徑作半
11、圓,則圖中陰影部分的面積為__________. (第20題圖) 【答案】-1 【逐步提示】本題考查正方形的性質(zhì)、扇形、弓形的面積算法,解題的關(guān)鍵是掌握扇形面積的計(jì)算公式及能將陰影部分轉(zhuǎn)化為可求面積的圖形之和或之差,再進(jìn)一步求解. 【詳細(xì)解答】解:由題意可知,陰影部分面積為8個(gè)完全相同的弓形的面積組成,而= - = - =.∴= 8==-1,故答案為-1. 【解后反思】此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是不能正確表示陰影部分面積. 【關(guān)鍵詞】扇形與弓形;轉(zhuǎn)化思想;圖景信息型 5. ( 河南省,14,3分)如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,以點(diǎn)A為圓心, OA的長(zhǎng)為半徑作交于
12、點(diǎn)C. 若OA=2,則陰影部分的面積為___________. 【答案】 【逐步提示】本題考查扇形面積公式、解直角三角形,解題的關(guān)鍵是把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形面積的和差,特別是△OAC是等邊三角形.思路:陰影部分是不規(guī)則圖形,求它的面積一般采用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積和差,問(wèn)題中的關(guān)鍵點(diǎn)是C點(diǎn),連接OC,AC,則S陰影=S扇形OBA-S扇形OCA-S弓形OC或S陰影=S扇形OBC-S弓形OC怎樣確定扇形OCA的圓心角的大小呢?利用OA=OC=AC得△OAC是等邊三角形可以確定∠COA=60°,則∠BOC=30°,最后利用扇形面積公式和解直角間三角形求解扇形和弓形的面積.
13、 【詳細(xì)解答】解:連接OC和AC ∵OA=OC,AO=AC,∴OC=OA=AC=2, ∴△OAC是等邊三角形. ∴∠AOC=∠OAC=60° 作OE⊥AC于點(diǎn)E 在Rt△OAE中,OE=OA·sin60°= ∴S弓形OC=S扇形AOC-S△OAC=-= S陰影=S扇形OBA-S扇形OCA-S弓形OC == 方法二:連接OC和AC ∵OA=OC,AO=AC,∴OC=OA=AC=2, ∴△OAC是等邊三角形. ∴∠AOC=∠OAC=60°∴∠BOC=30° 作OE⊥AC于點(diǎn)E 在Rt△OAE中,OE=OA·sin60°= ∴S弓形OC=S扇形AOC-S△OAC=
14、-= ∴S陰影=S扇形OBC-S弓形OC=()= , 故答案為 . 【解后反思】本題的重點(diǎn)是利用割補(bǔ)法確定規(guī)則圖形.難點(diǎn)是確定關(guān)鍵點(diǎn)和△OAC是等邊三角形.一般思維模式是不規(guī)則圖形的面積可采用割補(bǔ)法,利用規(guī)則圖形的面積和差求解,構(gòu)造了特殊角的直角三角形借助三角函數(shù)或勾股定理求它的高或高得面積,再確定扇形的圓心角,利用扇形面積公式求出扇形面積,從而求出陰影部分的面積. 【關(guān)鍵詞】扇形面積的計(jì)算;等邊三角形;弓形;解直角三角形;化歸思想 6.( 湖北省黃石市,15,3分)如圖所示,正方形ABCD對(duì)角線AC所在直線上有一點(diǎn)O,OA=AC=2,將正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,在旋
15、轉(zhuǎn)過(guò)程中,正方形掃過(guò)的面積是________. 【答案】. 【逐步提示】本題考查了與圓有關(guān)的面積計(jì)算,解題的關(guān)鍵是正確表示出陰影部分的面積.正方形掃過(guò)的面積可看成是正方形ABCD的面積+扇形OCC′的面積-扇形OAA′的面積. 【詳細(xì)解答】解:S正方形掃過(guò)的面積=S正方形ABCD+S扇形OCC′-S扇形OAA′=+-=,故答案為. 【解后反思】計(jì)算陰影部分的面積,如果陰影部分是不規(guī)則圖形,一般運(yùn)用割補(bǔ)法,將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來(lái)計(jì)算. 【關(guān)鍵詞】圓中的計(jì)算問(wèn)題. 7. (湖北省荊州市,16,3分)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖(圖中尺寸單位:cm),根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)
16、算這個(gè)幾何體的表面積為 cm2. 【答案】4π 【逐步提示】本題考查了根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的形狀以及圓錐的側(cè)面積與全面積的計(jì)算公式,解題的關(guān)鍵是從三視圖中獲取物體的形狀和數(shù)量關(guān)系. 【詳細(xì)解答】解:根據(jù)俯視圖可得該幾何體的底面是圓,根據(jù)主視圖和左視圖都是等腰三角形可得側(cè)面應(yīng)該是錐體,所以該幾何體是圓錐,根據(jù)幾何體的三視圖得原圓錐的底面直徑為2、母線長(zhǎng)為3,因此該幾何體的幾何體的表面積=圓錐的側(cè)面積+ 圓錐的底面積=3π+π=4π ,故答案為4π . 【解后反思】由視圖到立體圖形,根據(jù)視圖想像出視圖所反映的立體形狀,我們稱為讀圖.讀圖的一般規(guī)律:(1)長(zhǎng)、
17、寬、高的關(guān)系:主視圖和俯視圖長(zhǎng)度相等,主視圖和左視圖高度相等,俯視圖和左視圖寬度相等.(2)上下、前后、左右的關(guān)系:讀圖時(shí),可從主視圖上分清物體各部分的上下和左右位置;從俯視圖上分清物體各部分的左右和前后位置;從左視圖上分清物體各部分的上下和前后位置. 【關(guān)鍵詞】三視圖的反向思維;圓錐的側(cè)面積與全面積 8. (湖南常德,14,3分)如圖5,△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形,⊙O的半徑為3.則圖中陰影部分的面積是 . 【答案】 【逐步提示】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和扇形面積公式.關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)求出∠AOB的度數(shù),從而利用扇形面積公式求出陰影部分的面積. 【詳細(xì)解答
18、】解:∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形,∴∠AOB=120°,∴S陰影=.故答案為. 【解后反思】:設(shè)扇形的半徑為r,圓心角為n°,弧長(zhǎng)為l,則扇形的面積為:或. 【關(guān)鍵詞】等邊三角形的性質(zhì);扇形面積公式 9.( 湖南省湘潭市,14,3分)如圖,一個(gè)扇形的圓心角為90°,半徑為2,則該扇形的弧長(zhǎng)是 .(結(jié)果保留π) 90° 2 【答案】π 【逐步提示】本題考查了弧長(zhǎng)公式,解題的關(guān)鍵是熟記弧長(zhǎng)公式,然后把圓心角、半徑代入弧長(zhǎng)公式求解即可. 【詳細(xì)解答】解:∵扇形圓心角為90°,半徑為2,∴扇形的弧長(zhǎng)為,故答案為π. 【解后反思】半徑為r的圓中,n°的圓心角所對(duì)
19、的弧長(zhǎng)為,要求出弧長(zhǎng)關(guān)鍵弄清公式中各個(gè)字母的含義. 【關(guān)鍵詞】弧長(zhǎng)公式 10. ( 年湖南省湘潭市,14,3分)如圖,一個(gè)扇形的圓心角為90°,半徑為2,則該扇形的弧長(zhǎng)為________.(結(jié)果保留) 90° 2 【答案】 【逐步提示】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式,解題的關(guān)鍵是掌握扇形的弧長(zhǎng)公式。先確定圓的半徑和圓心角度數(shù),再代入到扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算公式。 【詳細(xì)解答】解:扇形的圓心角為90°,半徑為2,∴ ,故答案為 . 【解后反思】弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是l=,其中n是圓弧所對(duì)的圓心角大小,R是圓弧所在圓的半徑,要運(yùn)用公式首先要找準(zhǔn)圓心,找對(duì)半徑. 【關(guān)鍵詞】圓;圓中的
20、計(jì)算問(wèn)題;弧長(zhǎng);; 11. ( 湖南省益陽(yáng)市,12,5分)下圖是一個(gè)圓柱體的三視圖,由圖中數(shù)據(jù)計(jì)算此圓柱體的側(cè)面積為 .(結(jié)果保留) 【答案】 【逐步提示】由圓柱體的三視圖可得底面直徑為4,高為6,再根據(jù)圓柱的側(cè)面積=底面圓的周長(zhǎng)×圓柱的高,代入相應(yīng)數(shù)值求解即可. 【詳細(xì)解答】解:由圖可知立體圖是圓柱,半徑r=2,高h(yuǎn)=6, 所以 ,故答案為. 【解后反思】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖確定幾何體的形狀,然后根據(jù)相應(yīng)公式求解.圓柱的側(cè)面積=底面圓的周長(zhǎng)×圓柱的高,圓柱的體積=底面圓的面積×圓柱的高. 【關(guān)鍵詞】三視圖;圓柱體的側(cè)面展開圖 12. (湖
21、南省岳陽(yáng)市,11,4)在半徑為6cm的圓中,120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是__________cm. 【答案】4π 【逐步提示】根據(jù)弧長(zhǎng)公式,這里r=6,n=120,將相關(guān)數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式求解. 【詳細(xì)解答】=4π,所以填:4π。 【解后反思】半徑為r的圓中,n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為,要求出弧長(zhǎng)關(guān)鍵弄清公式中各個(gè)字母的含義.這類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式S=混淆面出錯(cuò)誤。 【關(guān)鍵詞】弧長(zhǎng)計(jì)算公式 13. ( 江蘇省淮安市,17,3分)若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑為2,母線長(zhǎng)為6,則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為 ° 【答案】120. 【逐步提示】本題考查了與圓錐的側(cè)面積
22、有關(guān)的計(jì)算,掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖是扇形,扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)、扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵. 【詳細(xì)解答】解:設(shè)扇形的圓心角為n°,則2π×2=.解得n=120°,故答案為 120 . 【解后反思】如果扇形的半徑為R,圓心角為n°,那么扇形弧長(zhǎng)l=,面積的計(jì)算公式為:S扇形=.如果扇形所對(duì)的弧長(zhǎng)為l,扇形的半徑為R,那么扇形面積的計(jì)算公式為:S扇形=lR. 【關(guān)鍵詞】圓錐側(cè)面展開圖 ;弧長(zhǎng)公式; 14. ( 江蘇省連云港市,16,3分)如圖,⊙的半徑為5,、是圓上任意兩點(diǎn),且,以為邊作正方形(點(diǎn)、在直線兩側(cè)).若邊繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,則邊掃過(guò)的面積為 ▲ .
23、【答案】. 【逐步提示】本題考查與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的圖形面積的計(jì)算,弄清楚線CD隨著線段AB的旋轉(zhuǎn)是繞著P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周這個(gè)結(jié)論是解題的關(guān)鍵. 求出OD的長(zhǎng)度以及P到CD的距離,最后利用圓環(huán)的面積公式求出CD掃過(guò)的面積. 【詳細(xì)解答】解:本題考查與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的圖形面積的計(jì)算,過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F,交CD于點(diǎn)E,則有AF=AB=3,∵四邊形ABCD是正方形,∴CD∥AB,∴PE⊥CD, ∴PF=,∴PE=AD+PF=6+4=10, ∴=9+100=109,于是AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周,CD邊掃過(guò)的面積等于=,故答案為 . 【解后反思】處理動(dòng)線的問(wèn)題的時(shí)候,要分析題意,探究出圖形在變化的過(guò)程中那些元
24、素是變化的,那些是不變化的,本題中變化的是線段AB,它的長(zhǎng)度不變,但它的位置在⊙P上運(yùn)動(dòng),線段CD也是在變化的,但PD的PE的長(zhǎng)度是不變,由此得出CD是繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周的,從而使問(wèn)題得以解決. 【關(guān)鍵詞】圖形的旋轉(zhuǎn) ;動(dòng)線題型;;; 15. (江蘇泰州,15,3分)如圖,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A、C在⊙O上,線段BD經(jīng)過(guò)圓心O,∠ABD=∠CDB=90°,AB=1,CD=,則圖中陰影部分的面積為 . (第15題圖) (第15題答圖) 【答案】 【逐步提示】本題考查了直角三角以及扇形的面積公式,解題的關(guān)鍵是找出S陰影部分=S扇形AOC.連接AO、CO,通過(guò)計(jì)
25、算可以證明S△ABO=S△ODC,將圖中陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形AOC的面積,最后只要求出∠AOC的度數(shù)后代入扇形面積公式即可. 【詳細(xì)解答】解:連接AO、CO,則AO=CO=2,∠ABD=∠CDB=90°,AB=1,CD=,∴OD=1,BO=,∴S△ABO=S△ODC,∠AOB=30°,∠COD=60°,∴∠AOC=180°-60°+30°=150°,S陰影部分=S扇形AOC=.故答案為. 【解后反思】求不規(guī)則圖形面積時(shí),一般都是通過(guò)割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形(三角形、特殊四邊形、扇形等)來(lái)求面積 【關(guān)鍵詞】割補(bǔ)法;扇形;面積 16.( 湖南省懷化市,11,4分)已知扇形的半徑為
26、6 cm,面積為10 πcm 2,則該扇形的弧長(zhǎng)等于______________. 【答案】 【逐步提示】此題已知扇形面積為10 πcm 2,扇形的半徑為6 cm,根據(jù)扇形面積公式S扇形=,計(jì)算可得 【詳細(xì)解答】解:∵ l=, S扇形====10π,∴l(xiāng)== =,故答案為. 【解后反思】此題考查扇形面積公式,解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積公式S扇形= ,其中,l是弧長(zhǎng),r是半徑. 【關(guān)鍵詞】扇形與弓形 17. (江蘇鹽城,14,3分)若圓錐的底面半徑為2,母線長(zhǎng)為4,則圓錐的側(cè)面積為 ▲ . 【答案】8p 【逐步提示】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐
27、側(cè)面積的計(jì)算公式,由圓錐的底面半徑、母線長(zhǎng),直接計(jì)算出圓錐側(cè)面積. 【詳細(xì)解答】解:S=πrl=π×2×4=8p,故答案為8p. 【解后反思】圓中的計(jì)算公式:1.圓的周長(zhǎng)C=2πr=πd;2.圓的面積S=πr2;3.圓環(huán)形面積S=π(R2-r2) ;4.弧長(zhǎng)l=;5.扇形面積; 6.圓錐側(cè)面積S=πrl. 【關(guān)鍵詞】圓錐的側(cè)面積與全面積 18. (山東省德州市,16,4分)如圖,半徑為1的半圓形紙片,按如圖方式折疊,使對(duì)折后半圓弧的中點(diǎn)M圓心O重合,則陰影部分的面積是 。 【答案】 【逐步提示】(1)求陰影部分的面積,用半圓的面積減去空白部分的面
28、積,即:;(2)已知半徑,半圓的面積好求;弓形的面積=扇形OAMB面積-三角形AOB的面積;在Rt△AOC中利用邊的關(guān)系,易求∠OAC=30°,進(jìn)而易求圓心角∠AOB=120°,再根據(jù)扇形的面積公式即可求出扇形面積;在Rt△AOC利用勾股定理求出線段AC的長(zhǎng),所以很容易求出三角形AOB的面積。問(wèn)題得以解決。 【詳細(xì)解答】解:如圖16-1,連接OA、OB、OM,OM與AB交于點(diǎn)C, 由題意可知:,, 在Rt△OAC中,∵∠OAC=30°, ∴∠AOC=60°,∴∠AOB=120°, ∵OA=OB=OM=1, ∴,,, ∴,, ∴, ∴, 故答案為 . 【解后反思】(1
29、)求陰影部分的面積通常采用割補(bǔ)或拼湊的方法,此題難點(diǎn)在于利用邊的關(guān)系求出圓心角∠AOB的度數(shù);(2)熟記扇形面積公式也是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵. 【關(guān)鍵詞】圓心角 ;垂徑定理;扇形與弓形;勾股定理;面積法;數(shù)形結(jié)合思想 19.山東濱州16,4分)如圖,△ABC是等邊三角形,AB=2,分別以A,B,C為圓心,以2為半徑長(zhǎng)作弧,則圖中陰影部分的面積是 . 【答案】2π. 【逐步提示】用扇形的面積減去等邊三角形的面積再乘以3就是陰影部分的面積. 【詳細(xì)解答】解:扇形BAC的面積=π 等邊三角形ABC的面積= 陰影部分的面積=3(π)=2π 故答案為2π. 【
30、解后反思】扇形面積公式:S扇形=清楚地反映了變量S, n, R三者之間的關(guān)系,據(jù)此可解決相關(guān)的“知二求一”問(wèn)題.求陰影部分的面積,特別是不規(guī)則幾何圖形的面積時(shí),常通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、分割等方法,把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,便于求解.. 【關(guān)鍵詞】 扇形面積的計(jì)算 轉(zhuǎn)化思想 20. ( 鎮(zhèn)江,9,2分)圓錐底面圓的半徑為4,母線長(zhǎng)為5,它的側(cè)面積等于 (結(jié)果保留π). 【答案】20π. 【逐步提示】①本題考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算,解題的關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式.②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,圓錐的側(cè)面積就是相關(guān)扇形的面積,直接利用圓錐的
31、側(cè)面積公式S=πrl計(jì)算. 【詳細(xì)解答】解:S=πrl=π×4×5=20π,故答案為20p. 【解后反思】對(duì)于圓錐的計(jì)算考查主要有三種形式:(1)圓錐的半徑、高、母線長(zhǎng)中已知兩個(gè)求圓錐的側(cè)面積或全面積;(2)知道圓錐的側(cè)面積和底面半徑,求母線長(zhǎng)或高或圓錐側(cè)面展開圖的圓心角;(3)已知圓錐側(cè)面展開圖弧長(zhǎng)及圓心角度數(shù),求圓錐的底面半徑和高. 解此類題的方法主要利用圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開圖扇形弧長(zhǎng)相等的關(guān)系式、圓錐的母線就是側(cè)面展開圖扇形的半徑以及勾股定理求解.此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是誤以為圓錐的側(cè)面積公式S=πrl或S=2πrl. 【關(guān)鍵詞】 圓錐的側(cè)面積 21. ( 鎮(zhèn)江,11,2分
32、)如圖1,⊙O的直徑AB=4cm,點(diǎn)C在⊙O上,設(shè)∠ABC的度數(shù)為x(單位:度,0<x<90),優(yōu)弧的弧長(zhǎng)與劣弧的弧長(zhǎng)的差設(shè)為y(單位:厘米),圖2表示y與x的函數(shù)關(guān)系,則a= 度 . 【答案】22.5 【逐步提示】①本題考查了弧長(zhǎng)公式及一次函數(shù)的圖像,解題的關(guān)鍵是熟記弧長(zhǎng)公式.②先用x表示優(yōu)弧的弧長(zhǎng)與劣弧的弧長(zhǎng),再求它們的差,從而表示出y,最后把點(diǎn)(a,3)代入關(guān)系式求出a的值. 【詳細(xì)解答】解:連結(jié)OC,∵∠ABC=x°,∴∠AOC=2x°,∠,BOC=(180-x)°。 .把點(diǎn)(a,3)代入,得,解得a=22.5. 故答案為 22.5.. 【解后反
33、思】(1)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是l=,其中n是圓弧所對(duì)的圓心角大小,R是圓弧所在圓的半徑,要運(yùn)用公式首先要找準(zhǔn)圓心,找對(duì)半徑.(2)一個(gè)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式. 【關(guān)鍵詞】弧長(zhǎng);數(shù)形結(jié)合;待定系數(shù)法 三、解答題 1. ( 福建福州,24,12分)如圖,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,M 為中點(diǎn),連接BM,CM. (1)求證:BM=CM; (2)當(dāng)⊙O的半徑為2 時(shí),求的長(zhǎng). 【逐步提示】本題考查了正方形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系,掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理解答即可;(2
34、)根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算. 【詳細(xì)解答】解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴, ∴, ∵M(jìn)為中點(diǎn), ∴, ∴, ∴. (2)解:連接. ∵, ∴∠BOM﹦∠COM, ∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O, ∴. ∴. 由弧長(zhǎng)公式,得的長(zhǎng) 【解后反思】此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是不能求出圓心角的度數(shù)及弧長(zhǎng)公式用錯(cuò).在弧長(zhǎng)公式l=中,當(dāng)圓心角n、半徑R和弧長(zhǎng)l已知兩個(gè)時(shí),可求得第三個(gè). 【關(guān)鍵詞】正方形的性質(zhì);弧、弦、弦心距;弧長(zhǎng);; 2. ( 甘肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、臨夏州、張掖市等9市,22,8分)圖①是小明在健身器上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景,
35、圖②是小明鍛煉時(shí)上半身由ON位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的OM位置時(shí)的示意圖,已經(jīng)AC=0.66米,BD=0.26米,α=20o.(參考數(shù)據(jù):sin20o≈0.342,cos20o≈0.940,tan20o≈0.364) (1)求AB的長(zhǎng)(精確到0.01米); (2)若測(cè)得ON=0.8米,試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的路徑的長(zhǎng)度(結(jié)果保留π). 圖① 圖② 第22題圖 【逐步提示】本題考查解直角三角形和弧長(zhǎng)的計(jì)算公式,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,(1)借助于20°這一條件,把20°和AB邊共同放置于一個(gè)直角三角形中,即過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線
36、段,設(shè)垂足為F,在直角△ABF中,利用三角函數(shù)求解; (2)是以點(diǎn)O為圓心,ON為半徑的圓中的一條弧且所對(duì)的圓心角是110°,利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可. 【詳細(xì)解答】解:(1) 過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F. 1分 ∴ AF=AC-BD=0.4(米), 2分 ∴ AB=AF÷sin20°≈1.17(米); 3分 (2)∵ ∠MON=90°+20°=110°, 4分 ∴ (米). 6分 【解后反思】在一般三角形中已知一些邊和角求另外的邊長(zhǎng)的問(wèn)題,通常都是通過(guò)添作垂線,
37、構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題;對(duì)于弧長(zhǎng)的計(jì)算,一是要知道弧所在圓的半徑二是要知道圓心角的度數(shù),再利用進(jìn)行計(jì)算. 【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù);解直角三角形;圓的有關(guān)計(jì)算; 3. (廣東茂名,24,8分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,D、F是AB邊上的兩點(diǎn),以DF為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E,連接EF,過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,其中∠OFE=∠A. (1)求證:BC是⊙O的切線; (2)若sinB=,⊙O的半徑為r,求△EHG的面積.(用含r的代數(shù)式表示) 【逐步提示】本題考查了切線的判定定理、圓中有關(guān)線段的求值問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法以及構(gòu)造直角三角形,
38、利用銳角三角函數(shù)、勾股定理等使問(wèn)題獲解.(1)由于BC與⊙O有一個(gè)確定的公共點(diǎn)E,根據(jù)切線的判定定理,只要連接OE,證明OE⊥BC即可說(shuō)明BC是⊙O的切線;(2)連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB,垂足為Q,由于△EDQ與題中已知條件的聯(lián)系比較密切,較容易求出它的兩直角邊的長(zhǎng)度,因此證△EDQ≌△EHG,將“求△EHG的面積”轉(zhuǎn)化為“求△EDQ的面積”. 【詳細(xì)解答】解:(1)連接OE. ∵⊙O中,OE=OF, ∴∠OEF=∠OFE. ∵∠BOE為△OEF的外角, ∴∠BOE=∠OEF+∠OFE=2∠OFE. ∵∠OFE=∠A, ∴∠BOE=∠A, ∴OE∥AC, ∴∠BEO=∠C
39、. ∵∠C=90°, ∴∠BEO=90°,即OE⊥BC. ∴BC是⊙O的切線; (2)連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB,垂足為Q. 在Rt△BEO中,sinB=,即=,∴BO=r, ∴BE==r. 在Rt△BQE中,sinB=,即=QE÷r,解得QE=r. 在Rt△OQE中,OQ==r, ∴DQ=OD-OQ=r-r=r. ∴S△EDQ=DQ×QE=r2. ∵OE⊥BC,F(xiàn)G⊥BC, ∴OE∥FG, ∴∠OEF=∠EFG. ∵∠OEF=∠OFE, ∴∠OFE=∠EFG, ∴EF是∠QFG的平分線,=. ∴在⊙O中,ED=EH. 又∵EF是∠QFG的平分線,EQ⊥
40、AB,EG⊥FG, ∴EQ=EG, ∴△EDQ≌△EHG(HL), ∴S△EHG=S△EDQ=r2. 【解后反思】(1)切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線﹒切線的基本證明方法:①切點(diǎn)已知,連過(guò)切點(diǎn)的半徑,證所連半徑垂直于要證明的切線;②切點(diǎn)未知,作垂線段,證垂線段等于半徑. (2)求△EHG的面積也可采用證△EHG∽△FEG,先求出EG、HG長(zhǎng)度,再求△EHG面積,不管哪一種方法,都要將條件“sinB=”置于直角三角形,溝通直角三角形邊、角間的關(guān)系,從而為求△EHG的面積創(chuàng)設(shè)條件. 【關(guān)鍵詞】直線與圓相切;銳角三角函數(shù);勾股定理. 4. ( 河北
41、省,25,10分)如圖,半圓O的直徑AB=4,以長(zhǎng)為2的弦PQ為直徑,向點(diǎn)O方向作半圓M,其中P點(diǎn)在AQ(?。┥锨也慌cA點(diǎn)重合,但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合. 發(fā)現(xiàn) AP(弧)的長(zhǎng)與QB(?。┑拈L(zhǎng)之和為定值l,求l; 思考 點(diǎn)M與AB的最大距離為_______,此時(shí)點(diǎn)P,A間的距離為_______;點(diǎn)M與AB的最小距離為________,此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為________. 探究 當(dāng)半圓M與AB相切時(shí),求AP(?。┑拈L(zhǎng). (注:結(jié)果保留π,cos 35°=,cos 55°=) 備用圖 【逐步提示】本題是一道
42、與圓有關(guān)的綜合題,涉及圓、三角形等知識(shí),難度較大.(1)如圖1,連結(jié)OP,OQ,易證△OPQ是等邊三角形,易求得∠POQ=60°和的長(zhǎng),進(jìn)而求得和的長(zhǎng)之和l.(2)如圖2,當(dāng)PQ∥AB時(shí),點(diǎn)M與AB的距離最大;如圖3,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)M與AB的距離最小.(3)半圓M與AB相切,分兩種情況:半圓M與AO相切和半圓M與BO相切. 圖1 圖2 圖3 【詳細(xì)解答】解:(1)發(fā)現(xiàn):連結(jié)OP,OQ,則OP=OQ=PQ=2. ∴∠POQ=60°.∴的長(zhǎng)=. ∴l(xiāng)=. 思考: 2
43、探究:半圓M與AB相切,分兩種情況: ①如圖1,半圓M與AO相切于點(diǎn)T時(shí),連結(jié)PO,MO,TM. 則MT⊥AO,OM⊥PQ. 在Rt△POM中,sin∠POM=30°. 在Rt△TOM中,TO=, ∴cos∠AOM=,即∠AOM=35°. ∴∠POA=35°-30°=5°. ∴的長(zhǎng)=. 圖1 圖2 ②如圖2,半圓M與BO相切于點(diǎn)S時(shí),連結(jié)QO,MO,SM. 由對(duì)稱性,同理得的長(zhǎng)=. 由l=,得的長(zhǎng)=. 綜上,的長(zhǎng)=或. 【解后反思】本題屬于壓軸題,難度較大,特別是解答
44、“探究”問(wèn)時(shí),容易忽略其中一種情形;在解答本題時(shí),關(guān)注等邊△OPQ(或含有30° 銳角的Rt△OPM)是解題的關(guān)鍵. 【關(guān)鍵詞】弧長(zhǎng);點(diǎn)到直線的距離;兩點(diǎn)之間的距離;相切;等邊三角形的性質(zhì);勾股定理;銳角三角函數(shù);扇形的面積;相切;分類討論思想 5. (湖北宜昌,21,8分)如圖,CD是⊙O的弦,AB是直徑,且CD∥AB.連接AC,AD,OD,其中AC=CD.過(guò)點(diǎn)B的切線交CD的延長(zhǎng)線于E. (1)求證:DA平分∠CDO; (2)若AB=12,求圖中陰影部分的周長(zhǎng)之和(參考數(shù)據(jù):,,). (第21題) 【逐步提示】本題考查了圓的切線,弧長(zhǎng)公式,三角函數(shù),圓周角定理及推論,關(guān)鍵是
45、通過(guò)適當(dāng)?shù)妮o助線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化. 【詳細(xì)解答】解:證明:(1)∵CD∥AB ∴∠CDA=∠BAD, 又∵AO=OD ∴∠ADO=∠BAD, ∴∠ADO=∠CDO, (2)如圖,連接BD,∵AB是直徑, 90°,即BO⊥AB又DO⊥CD,∴∠ADB=90° ∵CA=CD ∴∠DAC=∠CDA, 又∵CD∥AB ∴∠BAD=∠CDA, ∴∠BAD=∠CAD=∠CDA, ∴弧AC=弧DC=弧BD 又∵∠BOA=180° ∴∠BOD=60° ∴∠BAD=∠BOD =30° 在Rt △BDA 中,∠BAD=30° ∴BO=AB=6, AC=BC,又AO⊥BC 又∵弧A
46、C=弧DB ∴BD=AC=6 ∵過(guò)點(diǎn)B的切線交CD的延長(zhǎng)線于E ∴AB⊥BE ∴∠BDE=∠ABE-∠ABD=30° 又∵CD∥AB ∴CE⊥BE ∴DE=DB=3,BE=BDcos∠DBE=6=3 ∴弧BD的長(zhǎng)為=2 又∵弧AC=弧BD,弧AC的長(zhǎng)為2 ∴圖中陰影部分周長(zhǎng)之和為2+6+2+3+3=4+9+343.1+9+31.7=26.5 【解后反思】半徑為r的圓中,n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為,要求出弧長(zhǎng)關(guān)鍵弄清公式中各項(xiàng)字母的含義. 【關(guān)鍵詞】弧長(zhǎng)公式;扇形面積公式;圓的切線;平行四邊形;等腰直角三角形 6.( 江蘇省淮安市,25,10分)如圖,在RtΔABC中
47、,∠B=90°,點(diǎn)O在邊AB上,以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作直線MN,使∠BCM=2∠A. (1)判斷直線MN與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由; (2)若OA=4,∠BCM=60°,求圖中陰影部分的面積. 【逐步提示】本題考查了圓的切線的判別,弓形面積的計(jì)算,掌握的切線的判別方法以及割補(bǔ)法解題的關(guān)鍵. (1)MN是⊙O切線,只要證明∠OCM=90°即可. (2)求出∠AOC以及BC,根據(jù)S陰=S扇形OAC﹣S△OAC計(jì)算即可. 【詳細(xì)解答】解:(1)MN是⊙O切線. 理由:連接OC. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A
48、,∠BCM=2∠A, ∴∠BCM=∠BOC, ∵∠B=90°, ∴∠BOC+∠BCO=90°, ∴∠BCM+∠BCO=90°, ∴OC⊥MN, ∴MN是⊙O切線. (2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°, ∴∠AOC=120°, 在RT△BCO中,OC=OA=4,∠BCO=30°, ∴BO=OC=2,BC=2 ∴S陰=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣. ∴圖中陰影部分面積為 【解后反思】看到判定圓的切線,想到 ①若已知直線與圓的公共點(diǎn),則采用判定定理法,其基本思路是:當(dāng)已知點(diǎn)在圓上時(shí),連接過(guò)這點(diǎn)的半徑,證明這條半徑與直線垂直即可,可簡(jiǎn)述為:有切點(diǎn),連半徑,證垂直;
49、 ②若未知直線與圓的交點(diǎn),則采用數(shù)量關(guān)系法,其基本思路是:過(guò)圓心作直線的垂線段,證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑,可簡(jiǎn)述為:無(wú)切點(diǎn),作垂線,證相等. 【關(guān)鍵詞】切線的判定 ;弓形面積的計(jì)算; 7. (江蘇省宿遷市,25,10分)已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外),將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α得到△CEF,其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)F是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn). (1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí),G是邊AB上一點(diǎn),且BG=AD,連接GF.求證:GF∥AC; (2)如圖2,當(dāng)90°≤α≤180°時(shí),AE與DF相交于點(diǎn)M. ①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí),
50、連接CM,求∠CMD的度數(shù); ②設(shè)D為邊AB的中點(diǎn),當(dāng)α從90°變化到180°時(shí),求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng). (第25題圖1) (第25題圖2) 【逐步提示】(1)本題證明兩直線平行可以根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”來(lái)說(shuō)明,即只要說(shuō)明∠BGF=45°即可,又容易知道BF=BG,所以只要證明∠FBG=90°問(wèn)題即可得證;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道,△ACE與△DCF相似,可以得到∠CFM=∠CEM,所以C、M、E、F四點(diǎn)共圓,進(jìn)而有∠CEF=∠CMF=45°,問(wèn)題獲解;(3)由(2)知道∠CMD的大小不隨D點(diǎn)位置變化而變化,所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線是一
51、條弧,在分別畫出兩個(gè)特殊情況下的圖形,即可發(fā)現(xiàn)弧的圓心的位置和弧所對(duì)圓心角的大小,利用弧長(zhǎng)公式即可求出M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng), 【詳細(xì)解答】 解:(1)∵AC=BC,且∠ACB=90° ∴∠A=∠ABC=45° 又∵△ACD≌△BCF ∴BF=AD,∠A=∠CBF=45° ∵AD=BG ∴BG=BF 又∵∠FBG=∠FBC+∠CBA=90° ∴∠FGB=45° ∴∠A=∠FGB ∴AC∥FG (2)∵△CFE是由△CAD
52、旋轉(zhuǎn)α得到, ∴AC=CE,CD=CF,∠ACE=∠DCF=α ∴△ACE∽△DCF ∴∠CFM=∠CEM ∴C、M、E、F四點(diǎn)共圓, ∴∠CEF=∠CMF=45° ∴∠CMD=135° (3)當(dāng)D為AB的中點(diǎn),α=90°時(shí),DF與AE的交點(diǎn)M與D重合; α=180°時(shí),DF與AE的交點(diǎn)M與C重合. 由(2)知道∠CMD=135°是一個(gè)定值, ∴點(diǎn)M的運(yùn)
53、動(dòng)路徑是一段弧,且弧的圓心是AC的中點(diǎn) ∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 【解后反思】(1)證明兩直線的平行關(guān)系通常是轉(zhuǎn)化為找同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系,有時(shí)也會(huì)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)來(lái)得到;(2)旋轉(zhuǎn)型相似是相似中的基本圖示,是近幾年的高頻考點(diǎn),抓住其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是突破點(diǎn)。(3)當(dāng)兩個(gè)等角經(jīng)過(guò)兩個(gè)兩個(gè)點(diǎn)時(shí),那么這四個(gè)點(diǎn)一定共圓,四點(diǎn)共圓能幫助我們巧妙轉(zhuǎn)化圓中的等角;(4)求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑問(wèn)題,關(guān)鍵是弄清點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線,初中階段主要考查的一般地就兩種:①線段;②弧。解決問(wèn)題的策略是首先可以先通過(guò)畫圖(一般要畫出起始點(diǎn)、中間若干關(guān)鍵點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn))來(lái)判斷路徑和范圍;其次是結(jié)合已知條件的特點(diǎn)運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法說(shuō)明自己的判斷是正確的;比如本題中M點(diǎn)位置的變化,但∠CMD保持不變,此時(shí)點(diǎn)M一定是在一段弧上運(yùn)動(dòng)或,如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離始終不變,那么這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑也一定是?。詈蟀磁袛嗟穆窂筋愋图胺秶鷣?lái)計(jì)算路徑長(zhǎng). 【關(guān)鍵詞】 平行線的判定;圓的內(nèi)接四邊形及性質(zhì);軌跡問(wèn)題;幾何變換;動(dòng)面題型; 23
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