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2018年秋九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第28章 圓本章總結(jié)提升 (新版)冀教版

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1、 第28章 圓 本章總結(jié)提升  問(wèn)題1 垂徑定理 垂直于弦的直徑有什么性質(zhì)?這個(gè)性質(zhì)與圓的軸對(duì)稱(chēng)性有什么關(guān)系? 例1 趙州橋是我國(guó)建筑史上的一大創(chuàng)舉,它距今約1400年,歷經(jīng)無(wú)數(shù)次洪水沖擊和 8次地震卻安然無(wú)恙.如圖28-T-1,若橋的跨度AB約為40米,主拱高CD約10米,則橋弧AB所在圓的半徑R=________米.  圖28-T-1 【歸納總結(jié)】與垂徑定理有關(guān)的計(jì)算,通常需要作輔助線,常作的輔助線是連半徑、作弦心距,從而構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算. 問(wèn)題2 弧、弦長(zhǎng)、圓心角的關(guān)系及圓周角定理 在同圓或等圓中,若兩個(gè)圓心角相等,則它們所

2、對(duì)的弧、弦有什么關(guān)系?這些關(guān)系和圓的中心對(duì)稱(chēng)性有什么聯(lián)系? 同弧所對(duì)的圓周角和它所對(duì)的圓心角有什么關(guān)系? 圓的內(nèi)接四邊形有什么性質(zhì)? 例2[ 2017·臺(tái)州]如圖28-T-2,已知等腰直角三角形ABC,P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑. (1)求證:△APE是等腰直角三角形; (2)若⊙O的直徑為2,求PC2+PB2的值. 圖28-T-2 【歸納總結(jié)】在解決與圓心角和圓周角有關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí),經(jīng)常添加輔助線,利用同弧(或等弧)實(shí)現(xiàn)圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化. 問(wèn)題3 弧長(zhǎng)與扇形面積 例3 [2017·咸寧

3、]如圖28-T-3,⊙O的半徑為3,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,連接OB,OD.若∠BOD=∠BCD,則的長(zhǎng)為(  )  圖28-T-3 A.π  B. C.2π D.3π 例4 如圖28-T-4,用一個(gè)半徑為30cm,面積為300πcm2的扇形鐵皮,制作一個(gè)無(wú)底 的圓錐(不計(jì)損耗),則圓錐的底面圓的半徑為(  ) 圖28-T-4 A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.5π cm 例5 如圖28-T-5,在△ABC中,∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=4,以點(diǎn)C為圓心,CB長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E. (1)求BD的長(zhǎng);

4、 (2)求陰影部分的面積. 圖28-T-5 【歸納總結(jié)】利用公式進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵是找到題目中的基本圖形,找出扇形,利用已知條件確定公式中各個(gè)字母的值,然后利用公式進(jìn)行計(jì)算. 問(wèn)題4 圓中的轉(zhuǎn)化思想 在圓的計(jì)算中,常常遇到求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題,你是怎么處理的? 例6 [2017·貴陽(yáng)]如圖28-T-6,C,D是半圓O上的三等分點(diǎn),直徑AB=4,連接AD,AC,作DE⊥AB,垂足為E,DE交AC于點(diǎn)F. (1)求∠AFE的度數(shù); (2)求陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號(hào))  圖28-T-6 【歸納總結(jié)】在有關(guān)圓的面積計(jì)算問(wèn)題中,如果所求面積的圖形是規(guī)

5、則圖形,按規(guī)則圖形的面積公式去求,如果所求面積的圖形是不規(guī)則圖形,則需運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,把不規(guī)則圖形的面積運(yùn)用“割補(bǔ)法”“等積變形法”“平移法”“旋轉(zhuǎn)法”等轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來(lái)求. “滾動(dòng)”中的數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,滾動(dòng)處處可見(jiàn).在千姿百態(tài)的滾動(dòng)中,如果我們稍加留神,將會(huì)發(fā)現(xiàn)很多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題就在我們身邊. 1.沿直線滾動(dòng) 例1 如圖28-T-7所示,一枚直徑為d的硬幣沿著一條直線l滾動(dòng)一圈,圓心經(jīng)過(guò)的距 離是多少? 圖28-T-7 解:圓心經(jīng)過(guò)的距離是πd. 例2 如圖28-T-8所示,邊長(zhǎng)為a的正方形四邊貼著直線l向右“滾動(dòng)”,當(dāng)正方形“滾動(dòng)” 一周時(shí),正方形的

6、中心O經(jīng)過(guò)的路程是多少?正方形的頂點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路程又是多少? 圖28-T-8 解:(1)如圖28-T-9所示,當(dāng)正方形四邊貼著直線l “滾動(dòng)”一周時(shí),正方形的中心O所經(jīng)過(guò)的路程為×aπ×4= aπ. 圖28-T-9 (2)如圖28-T-10所示,當(dāng)正方形ABCD四邊貼著直線l“滾動(dòng)”一周時(shí),頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路程為×2 aπ+2××2aπ=. 圖28-T-10 2.沿圓周滾動(dòng) 例3 如圖28-T-11所示,已知兩圓,其中大圓半徑是小圓半徑的5倍,將大圓固定. (1)如果小圓在大圓外面貼著大圓邊緣滾動(dòng)一周,那么小圓自身旋轉(zhuǎn)了幾圈? (2)若小圓在大圓內(nèi)部貼著大圓邊緣無(wú)滑動(dòng)

7、地滾動(dòng)一周,那么小圓自身旋轉(zhuǎn)了幾圈? 圖28-T-11 解:(1)如圖28-T-12所示,設(shè)小圓半徑為R,則大圓半徑為5R.當(dāng)小圓在大圓外貼著大圓邊緣滾動(dòng),自身旋轉(zhuǎn)一周時(shí),小圓圓心相對(duì)于大圓圓心的張角的度數(shù)為n°,則 2πR=,得n=60. 又因?yàn)?60÷60=6, 所以當(dāng)小圓在大圓外貼著大圓滾動(dòng)一周時(shí),小圓自身旋轉(zhuǎn)了6圈. 圖28-T-12 (2)如圖28-T-13所示,設(shè)小圓自轉(zhuǎn)一周時(shí),小圓圓心相對(duì)于大圓圓心的張角的度數(shù) m°,則2πR=,得m=90,360÷90=4. 所以當(dāng)小圓在大圓內(nèi)貼著大圓滾動(dòng)一周時(shí),小圓自身旋轉(zhuǎn)了4圈. 圖28-T-13 3.

8、沿正方形滾動(dòng) 例4 已知半徑為1的⊙O與邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD,當(dāng)⊙O在正方形ABCD的內(nèi)部沿 四邊無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周時(shí),⊙O經(jīng)過(guò)的面積是多少?當(dāng)⊙O在正方形ABCD的外部沿四邊無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí),⊙O經(jīng)過(guò)的面積又是多少? 解:當(dāng)⊙O在正方形ABCD內(nèi)沿四邊無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周時(shí),⊙O所經(jīng)過(guò)的面積為 S=102-(10-4)2-4=60+π. 當(dāng)⊙O在正方形ABCD外沿四邊無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周時(shí),⊙O所經(jīng)過(guò)的面積為 S′=(10+4)2-102-4=80+4π. 4.沿正多邊形滾動(dòng) 例5 如圖28-T-14所示,平面內(nèi)一個(gè)正五邊形與一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)正好相等,在它們相接的地方形成一個(gè)完

9、整的“蘋(píng)果”圖案,如果讓正方形沿著正五邊形的四周滾動(dòng),并且始終保持正方形和正五邊形有兩條邊鄰接,那么第一次恢復(fù)“蘋(píng)果”的圖案時(shí),正方形要繞正五邊形轉(zhuǎn)________圈(  ) 圖28-T-14 A.10   B.5 C.4 D.上述答案均不正確 [解析] C 正方形有4條邊,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得當(dāng)正方形繞正五邊形轉(zhuǎn)4圈時(shí),第一次恢復(fù)“蘋(píng)果”的圖案. 教師詳解詳析 【整合提升】 例1 25 [解析] 根據(jù)垂徑定理,得 AD=AB=20米. 設(shè)圓的半徑是R,根據(jù)勾股定理, 得R2=202+(R-10)2, 解得R=25. 故答案為25.

10、 例2 解:(1)證明:∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠C=∠ABC=45°, ∴∠AEP=∠ABP=45°. ∵PE是⊙O的直徑, ∴∠PAE=90°, ∴∠APE=∠AEP=45°, ∴AP=AE, ∴△APE是等腰直角三角形. (2)∵AC=AB,AP=AE,∠CAB=∠PAE=90°, ∴∠CAP=∠BAE, ∴△CAP≌△BAE, ∴PC=EB. ∵PE為⊙O的直徑,∠PBE=90°, ∴PC2+PB2=EB2+PB2=PE2=22=4. 例3 C [解析] ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O, ∴∠BCD+∠A=180°. ∵∠BOD=2∠A,∠BO

11、D=∠BCD, ∴2∠A+∠A=180°, ∴∠A=60°, ∴∠BOD=120°, ∴的長(zhǎng)為=2π. 故選C. 例4 B [解析] ∵扇形的半徑為30 cm,面積為300π cm2, ∴扇形的圓心角為=120(度), ∴扇形的弧長(zhǎng)為=20π(cm). ∵圓錐的底面圓的周長(zhǎng)等于它的側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng), ∴根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式,得2πr=20π,解得r=10, ∴圓錐的底面圓的半徑為10 cm. 故選B. 例5 解:(1)如圖,作CH⊥AB于點(diǎn)H. 由題意,知∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°=30°. 在Rt△BCH中, ∵∠CH

12、B=90°,∠B=30°,BC=4, ∴CH=BC=2,BH=CH=2. ∵CH⊥BD, ∴DH=BH, ∴BD=2BH=4. (2)連接CD,如圖所示. ∵BC=DC, ∴∠CDB=∠B=30°, ∴∠BCD=120°. 由(1)知,BD=4,CH=2, ∴S陰影=S扇形BCD-S△CBD=-×4×2=-4, 即陰影部分的面積為π-4. 例6 解:(1)連接OD,OC. ∵C,D是半圓O上的三等分點(diǎn), ∴∠AOD=∠COB=×180°=60°. ∴∠CAB=∠COB=30°. ∵DE⊥AB, ∴∠AFE=90°-30°=60°. (2) 由題意及(1),可知OA=2,DE=2×sin60°=2×=, ∴S陰影=S扇形AOD-S△AOD=-×2×=π-,即陰影部分的面積為π-. 11

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