17、，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 依題可知eix表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(cosx，sinx)，故e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos2，sin2)，顯然該點(diǎn)位于第二象限，選B.
2．(2019·欽州市高三三模)一個放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年就有的質(zhì)量發(fā)生衰變，剩余質(zhì)量為原來的.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的1%，則至少需要的年數(shù)是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
18、
解析 設(shè)原物質(zhì)的質(zhì)量為單位1，一年后剩余質(zhì)量為原來的，兩年后變?yōu)樵瓉淼?，依此類推，得到n年后質(zhì)量是原來的n，只需要n≤?n>3，故選B.
3．(2019·上海市嘉定(長寧)區(qū)高三二模)對于△ABC，若存在△A1B1C1，滿足＝＝＝1，則稱△ABC為“V類三角形”．“V類三角形”一定滿足( )
A．有一個內(nèi)角為30° B．有一個內(nèi)角為45°
C．有一個內(nèi)角為60° D．有一個內(nèi)角為75°
答案 B
解析 由對稱性，不妨設(shè)A1和B1為銳角，則A1＝－A，B1＝－B，所以A1＋B1＝π－(A＋B)＝C，于是cosC＝sinC1＝sin(A1＋B1)＝sinC，即tanC＝1，解
19、得C＝45°，故選B.
4．(2019·北京高考)
數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖)．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；
②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中，所有正確結(jié)論的序號是( )
A．① B．② C．①② D．①②③
答案 C
解析 由x2＋y2＝1＋|x|y，當(dāng)x＝0時，y＝±1；當(dāng)y＝0時，x＝±1；當(dāng)y＝1時，x＝0，±1.故曲線C恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)：A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1,1)
20、，E(－1,0)，F(xiàn)(－1,1)，所以①正確．由基本不等式，當(dāng)y>0時，x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋，所以x2＋y2≤2，所以≤，故②正確．如圖，由①知長方形CDFE面積為2，三角形BCE面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯誤．故選C.
5．(2019·江蘇高考)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”．
(1)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求證：數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”；
(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足：b1＝1，＝－，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
①求數(shù)列{bn}的
21、通項(xiàng)公式；
②設(shè)m為正整數(shù)．若存在“M-數(shù)列”{cn}(n∈N*)，對任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時，都有ck≤bk≤ck＋1成立，求m的最大值．
解 (1)證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
所以a1≠0，q≠0.
由得
解得
因此數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”．
(2)①因?yàn)椋剑詁n≠0.
由b1＝1，S1＝b1，得＝－，則b2＝2.
由＝－，得Sn＝.
當(dāng)n≥2時，由bn＝Sn－Sn－1，
得bn＝－，
整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．
因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝n(n∈N*)．
②由①知，bk＝k，
22、k∈N*.
因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M-數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1＝1，q>0.
因?yàn)閏k≤bk≤ck＋1，所以qk－1≤k≤qk，其中k＝1,2,3，…，m(m∈N*)．
當(dāng)k＝1時，有q≥1；
當(dāng)k＝2,3，…，m時，有≤ln q≤.
設(shè)f(x)＝(x>1)，則f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x＝e.列表如下：
因?yàn)椋?＝，
所以f(k)max＝f(3)＝.
取q＝，當(dāng)k＝1,2,3,4,5時，≤ln q，即k≤qk，經(jīng)檢驗(yàn)知qk－1≤k也成立．因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6，分別取k＝3,6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，
23、所以q不存在．因此所求m的最大值小于6.
綜上，所求m的最大值為5.
『金版押題』
6．已知一族雙曲線En：x2－y2＝(n∈N*，n≤2019)，設(shè)直線x＝2與En在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為An，點(diǎn)An在En的兩條漸近線上的射影分別為Bn，Cn，記△AnBnCn的面積為an，則a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝________.
答案
解析 設(shè)An(x0，y0)，可得x－y＝.
雙曲線En：x2－y2＝(n∈N*，n≤2019)的漸近線方程為x－y＝0，x＋y＝0.
由點(diǎn)An在En的兩條漸近線上的射影分別為Bn，Cn，不妨設(shè)Bn在第一象限內(nèi)，可得|AnBn|＝，
|AnCn|＝，
24、易知雙曲線En的兩條漸近線互相垂直，可得AnBn⊥AnCn，
則△AnBnCn的面積an＝|AnBn|·|AnCn|＝··＝＝n，則a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝××2019×2020＝.
配套作業(yè)
一、選擇題
1．某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x](其中[x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案 C
解析 根據(jù)題意，當(dāng)x＝16時y＝1，所以A，B不正確；當(dāng)x＝17時y＝2，
25、所以D不正確，故選C.
2．(2019·黃山市高三第二次質(zhì)量檢測)2018年，曉文同學(xué)參加工作，月工資為7000元，各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的條形圖．后來曉文同學(xué)加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月工資的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的折線圖．已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛參加工作時少200元，則目前曉文同學(xué)的月工資為( )
A．7000 B．7500 C．8500 D．9500
答案 C
解析 參加工作時就醫(yī)費(fèi)為7000×15%＝1050，
設(shè)目前曉文同學(xué)的月工資為x，
則目前的就醫(yī)費(fèi)為10%·x，
因此10%·x＝1050－200＝850，∴x＝8500.故選C.
3．某次夏令營中途休息期間，
26、3位同學(xué)根據(jù)胡老師的口音對她是哪個地方的人進(jìn)行了判斷：
甲說胡老師不是上海人，是福州人；
乙說胡老師不是福州人，是南昌人；
丙說胡老師既不是福州人，也不是廣州人．
聽完以上3人的判斷后，胡老師笑著說，你們3人中有1人說的全對，有1人說對了一半，另1人說的全不對．由此可推測胡老師( )
A．一定是南昌人 B．一定是廣州人
C．一定是福州人 D．可能是上海人
答案 D
解析 若胡老師是南昌人，則甲對一半，乙全對，丙全對，不符合題意；若胡老師是福州人，則甲全對，乙全錯，丙對一半，符合題意；若胡老師是上海人，則甲全錯，乙一對一錯，丙全對，符合題意若胡老師是廣州人，則甲一對一錯，乙
27、一對一錯，丙一對一錯，不符合題意．
4．設(shè)a，b∈R，定義運(yùn)算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正數(shù)a，b，c，d滿足ab≥4，c＋d≤4，則( )
A．a(chǎn)∧b≥2，c∧d≤2 B．a(chǎn)∧b≥2，c∨d≥2
C．a(chǎn)∨b≥2，c∧d≤2 D．a(chǎn)∨b≥2，c∨d≥2
答案 C
解析 不妨設(shè)a≤b，c≤d，則a∨b＝b，c∧d＝c.若b<2，則a<2，∴ab<4，與ab≥4矛盾，∴b≥2.故a∨b≥2.若c>2，則d>2，∴c＋d>4，與c＋d≤4矛盾，∴c≤2.故c∧d≤2.故選C.
5．某班級有一個學(xué)生A在操場上繞圓形跑道逆時針方向勻速跑步，每52秒跑完一圈，當(dāng)學(xué)生A開始跑步
28、時，在教室內(nèi)有一個學(xué)生B，往操場看了一次，以后每50秒他都往操場看一次，則該學(xué)生B“感覺”到學(xué)生A的運(yùn)動是( )
A．逆時針方向勻速前跑 B．順時針方向勻速前跑
C．順時針方向勻速后退 D．靜止不動
答案 C
解析 令操場的周長為C，則學(xué)生B每隔50秒看一次，學(xué)生A都距上一次學(xué)生B觀察的位置(弧長)，并在上一次位置的后面，故學(xué)生B“感覺”到學(xué)生A的運(yùn)動是順時針方向勻速后退的．
6．對函數(shù)f(x)，如果存在x0≠0使得f(x0)＝－f(－x0)，則稱(x0，f(x0))與(－x0，f(－x0))為函數(shù)圖象的一組奇對稱點(diǎn)．若f(x)＝ex－a(e為自然對數(shù)的底數(shù))存在奇對稱點(diǎn)，則實(shí)
29、數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(e，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 B
解析 由題意可知，函數(shù)存在奇對稱點(diǎn)，即函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，可設(shè)兩點(diǎn)為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即y1＝ex1－a，y2＝e x2－a，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以e x1－a＝－e x2＋a，即2a＝e x1＋ex2≥2＝2＝2，因?yàn)閤1≠x2，所以a>1，故選B.
7．若存在正實(shí)數(shù)a，b，使得?x∈R有f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，則稱f(x)為“限增函數(shù)”．給出以下三個函數(shù)：①f(x)＝x2＋x＋1；②f(x)＝；③f(x)＝sin(x2)，其中
30、是“限增函數(shù)”的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③
答案 B
解析 對于①，f(x＋a)≤f(x)＋b即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，即2ax≤－a2－a＋b，x≤對一切x∈R恒成立，顯然不存在這樣的正實(shí)數(shù)a，b.對于②，f(x)＝，即≤＋b，|x＋a|≤|x|＋b2＋2b，而|x＋a|≤|x|＋a，
∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2b，則≥，顯然，當(dāng)a≤b2時式子恒成立，∴f(x)＝是“限增函數(shù)”．對于③，f(x)＝sin(x2)，－1≤f(x)＝sin(x2)≤1，故f(x＋a)－f(x)≤2，當(dāng)b≥2時，對于任意的正實(shí)數(shù)a，b都成立．故選B.
31、
8．某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎金投入．若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( )
(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案 D
解析 設(shè)從2017年后第n年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由已知得130×(1＋12%)n>200，∴1.12n>，兩邊取常用對數(shù)得nlg 1.12>lg ，∴n>≈＝3.8，∴n≥4，故選D.
9．(2019·
32、湖南省寧鄉(xiāng)一中、攸縣一中高三聯(lián)考)微信運(yùn)動是由騰訊開發(fā)的一個類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號．用戶可以通過關(guān)注微信運(yùn)動公眾號查看自己每天或每月行走的步數(shù)，同時也可以和其他用戶進(jìn)行運(yùn)動量的PK或點(diǎn)贊．加入微信運(yùn)動后，為了讓自己的步數(shù)能領(lǐng)先于朋友，人們運(yùn)動的積極性明顯增強(qiáng)，下面是某人2018年1月至2018年11月期間每月跑步的平均里程(單位：十公里)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是( )
A．月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應(yīng)的里程數(shù)
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變
33、化比較平穩(wěn)
答案 D
解析 根據(jù)折線圖得中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月減少，月跑步平均里程高峰期大致在9月，10月；1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故選D.
二、填空題
10．國家規(guī)定個人稿費(fèi)納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，則這個人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為________元．
答案 3800
解析 設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費(fèi)為x元，則應(yīng)納稅額為分段函數(shù)，由題意，
得y＝
如
34、果稿費(fèi)為4000元應(yīng)納稅為448元，現(xiàn)知，某人共納稅420元，∴稿費(fèi)應(yīng)在800～4000元之間，
∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.
11．(2019·北京市東城區(qū)高三綜合練習(xí))設(shè)A，B是R上的兩個子集，對任意x∈R，
定義：m＝n＝
①若A?B，則對任意x∈R，m(1－n)＝________；
②若對任意x∈R，m＋n＝1，則A，B的關(guān)系為________．
答案 0 A＝?RB
解析?、佟逜?B.則當(dāng)x?A時，m＝0，m(1－n)＝0.
當(dāng)x∈A時，必有x∈B，∴m＝n＝1，m(1－n)＝0.
綜上可得m(1－n)＝0.
②對任意x∈R，m＋n＝1，則m
35、，n的值一個為0，另一個為1，
即當(dāng)x∈A時，必有x?B或x∈B時，必有x?A，
∴A，B的關(guān)系為A＝?RB.
12．(2019·濮陽市高二下學(xué)期升級考試)某工程由A，B，C，D四道工序組成，完成它們需用時間依次為2,5，x,4天，四道工序的先后順序及相互關(guān)系是：A，B可以同時開工；A完成后，C可以開工；B，C完成后，D可以開工．若完成該工程共需9天，則完成工序C需要的天數(shù)最大是________．
答案 3
解析 ∵A完成后，C才可以開工；B，C完成后，D才可以開工，
完成A，C，D需用時間依次為2，x,4天，
且A，B可以同時開工，
又∵該工程共需9天，
∴2＋xmax＋4
36、＝9?xmax＝3.
13．(2019·湖州三校普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一模擬考試)已知函數(shù)f(x)＝則
f[f(－1)]＝________，若實(shí)數(shù)a
37、沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，則五棱錐P－ABCEF的體積的取值范圍為________．
答案
解析 ∵PF⊥EF，PF⊥AF，EF∩AF＝F，
∴PF⊥平面ABCEF，設(shè)DF＝x(00，V(x)單調(diào)遞增，
故V(0)
高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)沖刺方案文數(shù)經(jīng)典版文檔：第二編 專題八 第2講 新定義型、創(chuàng)新型、應(yīng)用型試題突破 Word版含解析
