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2018年中考數學專題復習卷 二次函數(含解析)

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1、 二次函數 一、選擇題 1.若二次函數y=(a-1)x2+3x+a2-1的圖象經過原點,則a的值必為(?? ) A.?1或-1???????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????C.?-1???????????????????????????????????????D.?0 2.對于拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當x=1時,y>0,則這條拋物線的頂點一定在( ??) A.?第一象限????????????????

2、???????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限 3.把拋物線y=- 向左平移1個單位,然后向上平移3個單位,則平移后拋物線的解析式為( ??) A.?y=-(x-1)2-3?????????????????B.?y=-(x+1)2-3?????????????????C.?y=-(x-1)2+3?????????????????D.?y=-(x+1)2+3 4.已知拋物線 ( , , 為常數, )經過點 . , ,其對稱軸在 軸右側,有下列

3、結論:①拋物線經過點 ;②方程 有兩個不相等的實數根;③ .,正確結論的個數為(? ) A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3 5.當a≤x≤a+1時,函數y=x2-2x+1的最小值為1,則a的值為(??? ) A.?-1????????????????????????????????????

4、???B.?2???????????????????????????????????????C.?0或2???????????????????????????????????????D.?-1或2 6.二次函數 的圖象如圖所示,則反比例函數 與一次函數 在同一坐標系內的大致圖象是(?? ) A.B.C.D. 7.已知二次函數 ?( 為常數),當自變量 的值滿足 時,與其對應的函數值 的最大值為-1,則 的值為(??? ) A.?3或6????????????????????????????????????B.?1或6?????????????????????

5、???????????????C.?1或3????????????????????????????????????D.?4或6 8.已知拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數)經過點A(2,6),且拋物線的對稱軸與線段BC有交點,其中點B(1,0),點C(3,0),則c的值不可能是(? ?) A.4????? B.6????? C.8????? D.10 9.有一座拋物線形拱橋,正常水位橋下面寬度為20米,拱頂距離水平面4米,如圖建立直角坐標系,若正常水位時,橋下水深6米,為保證過往船只順利航行,橋下水面寬度不得小于18米,則當水深超過多少米時,就會影響過往船只的順利航行(?

6、? ) A.?2.76米???????????????????????????????????B.?6.76米???????????????????????????????????C.?6米???????????????????????????????????D.?7米 10.已知拋物線y=-x2+mx的對稱軸為直線x=2,若關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t為實數)在1

7、???????????C.?3<t≤4??????????????????????????????D.?-5<t≤4 11.如圖,已知二次函數 圖象與x軸交于A,B兩點,對稱軸為直線x=2,下列結論:①abc>0; ②4a+b=0;③若點A坐標為(?1,0),則線段AB=5; ④若點M(x1 , y1)、N(x2 , y2)在該函數圖象上,且滿足0

8、??????????????????????????????D.?②,④ 12.如圖,在 中, , , ,動點 從點 開始沿 向點以 以 的速度移動,動點 從點 開始沿 向點 以 的速度移動.若 , 兩點分別從 , 兩點同時出發(fā), 點到達 點運動停止,則 的面積 隨出發(fā)時間 的函數關系圖象大致是(?? ) A.????????????B.????????????C.????????????D.? 二、填空題 13.拋物線y=2(x+2) +4的頂點坐標為________. 14.將二次函數 的圖像向上平移3個單位長度,得到的圖像所對應的函數表達式是________.

9、 15.已知二次函數 ,當 時,函數值 的最小值為 ,則 ?的值是________. 16.“如果二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根.”請根據你對這句話的理解,解決下面問題:若p、q(P是關于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的兩根且a則請用“<”來表示a、b、P、q的大小是________ 17.如圖,拋物線 與直線 的兩個交點坐標分別為 , ,則方程 的解是________. 18.已知拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),將這條拋物線向右平移m(m>0

10、)個單位,平移后的拋物線于x軸交于C,D兩點(點C在點D的左側),若B,C是線段AD的三等分點,則m的值為________. 19.小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖1),完全開啟后,水流路線呈拋物線,把手端點A,出水口B和落水點C恰好在同一直線上,點A至出水管BD的距離為12cm,洗手盆及水龍頭的相關數據如圖2所示,現(xiàn)用高10.2cm的圓柱型水杯去接水,若水流所在拋物線經過點D和杯子上底面中心E,則點E到洗手盆內側的距離EH為________cm. 20.如圖,在 中, , , ,點 是 邊上的動點(不與點 重合),過 作 ,垂足為 ,點 是 的中點,連接 ,設 ,的

11、面積為 ,則 與 之間的函數關系式為________. 三、解答題 21.已知:二次函數y=ax 2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示.請你根據圖象提供的信息,求出這條拋物線的表達式. 22.某商場試銷一種成本為每件60元的服裝,規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價,且獲利不得高于50%.經試銷發(fā)現(xiàn),銷售量P(件)與銷售單價x(元)符合一次函數關系,當銷售單價為65元時銷售量為55件,當銷售單價為75元時銷售量為45件. (Ⅰ)求P與x的函數關系式; (Ⅱ)若該商場獲得利潤為y元,試寫出利潤y與銷售單價x之間的關系式; (Ⅲ)銷售單價定為多少元時,商

12、場可獲得最大利潤,最大利潤是多少元? 23.如圖,平面直角坐標系xOy中,拋物線y=a(x+1)(x-9)經過A,B兩點,四邊形OABC矩形,已知點A坐標為(0,6)。 (1)求拋物線解析式; (2)點E在線段AC上移動(不與C重合),過點E作EF⊥BE,交x軸于點F.請判斷 的值是否變化;若不變,求出它的值;若變化,請說明理由。 (3)在(2)的條件下,若E在直線AC上移動,當點E關于直線BF的對稱點E在拋物線對稱軸上時,請求出BE的長度。 24.如圖,在平面直角坐標系中,點A在x軸上,以OA為直徑的半圓,圓心

13、為B , 半徑為1.過y軸上點C(0,2)作直線CD與⊙B相切于點E , 交x軸于點D . 二次函數y=ax2-2ax+c的圖象過點C和D交x軸另一點為F點. (1)求拋物線對應的函數表達式; (2)連接OE , 如圖2,求sin∠AOE的值; (3)如圖3,若直線CD與拋物線對稱軸交于點Q , M是線段OC上一動點,過M作MN//CD交x軸于N , 連接QM , QN , 設CM=t , △QMN的面積為S , 求S與t的函數關系式,并寫出t的取值范圍.S是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,說明理由. 答案解析 一、選擇

14、題 1.【答案】C 【解析】 :∵二次函數y=(a-1)x2+3x+a2-1的圖象經過原點 ∴a2-1=0且a-1≠0 解之:a=±1,a≠1 ∴a=-1 故答案為:C【分析】根據二次函數的定義及二次函數的圖像經過原點,得出a2-1=0且a-1≠0,即可求出a的值。 2.【答案】C 【解析】 由題意得:a+(2a-1)+a-3>0,解得:a>1, ∴2a-1>0, ∴ <0, , ∴拋物線的頂點在第三象限, 故答案為:C. 【分析】根據拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當x=1時,y>0,得出關于a不等式,求解得出a的取值范圍,然后根據拋物線的頂點坐標

15、公式判斷出拋物線頂點橫縱坐標的正負,即可得出答案。 3.【答案】D 【解析】 :∵拋物線y=- x 2 向左平移1個單位,然后向上平移3個單位, ∴平移后的拋物線的解析式為:y=-(x+1)2+3 故答案為:D 【分析】根據二次函數圖像的平移規(guī)律:上加下減,左加右減,將拋物線y=ax2向上或向下平移m個單位,再向左或向右平移n個單位即得到y(tǒng)=a(x±n)2±m(xù)。根據平移規(guī)則即可得出平移后的拋物線的解析式。 4.【答案】C 【解析】 拋物線 ( , , 為常數, )經過點 ,其對稱軸在 軸右側,故拋物線不能經過點 ,因此①錯誤; 拋物線 ( , , 為常數, )經過點

16、 , ,其對稱軸在 軸右側,可知拋物線開口向下,與直線y=2有兩個交點,因此方程 有兩個不相等的實數根,故②正確; ∵對稱軸在 軸右側, ∴ >0 ∵a<0 ∴b>0 ∵ 經過點 , ∴a-b+c=0 ∵ 經過點 , ∴c=3 ∴a-b=-3 ∴b=a+3,a=b-3 ∴-3

17、點 ( 1 , 0 ) ;根據拋物線與坐標軸的交點,及對稱軸的位置在y軸的右邊得出拋物線開口向下,與直線y=2有兩個交點,因此方程 a x 2 + b x + c = 2 有兩個不相等的實數根;由對稱軸在y軸的右側,及開口向下得出b>0,當x=-1時,a-b+c=0,由拋物線與y軸的交點得出c=3,從而得出b=a+3,a=b-3,故-3

18、 故答案為:D 【分析】把y=1代入拋物線的解析式得出對應的自變量的值,又當a≤x≤a+1時,函數有最小值1,從而得出a=2或a+1=0,求解得出a的值。 6.【答案】C 【解析】 :由二次函數開口向上可得:a>0,對稱軸在y軸左側,故a,b同號,則b>0, 故反比例函數y= 圖象分布在第一、三象限, 一次函數y=ax+b經過第一、二、三象限. 故答案為:C. 【分析】根據二次函數的圖像及性質,確定出a、b的取值范圍,再根據反比例和一次函數的圖像和性質,得出它們所經過的象限,即可得出正確選項。 7.【答案】B 【解析】 如圖, 當h<2時,有-(2-h)2=-1

19、, 解得:h1=1,h2=3(舍去); 當2≤h≤5時,y=-(x-h)2的最大值為0,不符合題意; 當h>5時,有-(5-h)2=-1, 解得:h3=4(舍去),h4=6. 綜上所述:h的值為1或6. 故答案為:B. 【分析】根據當h<2時,有-(2-h)2=-1,可求出h的值,再根據h的取值范圍即y的最值,可得出符合題意的h的值;當h>5時,有-(5-h)2=-1,解方程求出h的值,綜上所述,可求得h的值。 8.【答案】A. 【解析】 試題分析:∵拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數)過點A(2,6),且拋物線的對稱軸與線段y=0(1≤x≤3)有交點,∴ ,解得

20、6≤c≤14,故答案為:A.【分析】根據圖像過點A可列出關于b,c的二元一次方程,根據對稱軸與線段BC即與x軸交點的范圍可列出關于b的不等式組,兩者結合起來即可求得c的取值范圍. 9.【答案】B 【解析】 設該拋物線的解析式為y=ax2 , 在正常水位下x=10,代入解析式可得﹣4=a×102?a=﹣ ? 故此拋物線的解析式為y=﹣ x2 . 因為橋下水面寬度不得小于18米 所以令x=9時 可得y=- =﹣3.24米 此時水深6+4﹣3.24=6.76米 即橋下水深6.76米時正好通過,所以超過6.76米時則不能通過. 故答案為:B. 【分析】先根據建立的直角坐標系

21、求得拱形橋拋物線的解析式,再求得橋下水面寬度為18米時,水位距拱頂的距離,從而求得正好通過時橋下的水深,即為所求答案. 10.【答案】D 【解析】 如圖,關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是拋物線y=-x2+mx與直線y=t的交點的橫坐標, 當x=1時,y=3, 當x=5時,y=-5, 由圖象可知關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t為實數)在1

22、y=t的交點的橫坐標,分別求出x=1、5時對應的函數值,利用圖像法即可解決問題。 11.【答案】D 【解析】 :∵拋物線開口向下,∴a<0.∵對稱軸 ,∴b=-4a>0.∵拋物線與y軸交點在y軸正半軸,∴c>0,∴abc<0,故①錯誤; 由①得:b=-4a,∴4a+b=0,故②正確; 若點A坐標為(?1,0),因為對稱軸為x=2,∴B(5,0),∴AB=5+1=6.故③錯誤; ∵a<0,∴橫坐標到對稱軸的距離越大,函數值越小.∵0<x1<1,2<x2<3,∴ ?,∴y1<y2 , 故④正確. 故答案為:D. 【分析】(1)根據拋物線開口向下可得a<0,對稱軸在y軸的右側,所

23、以a、b異號,即b>0,而拋物線與y軸交點在y軸正半軸,所以c>0,所以abc<0 (2)由圖知對稱軸x=2=-,整理得4a+b=0; (3)因為A、B兩點關于對稱軸x=2對稱,所以當點A坐標為(?1,0)時則B(5,0),所以AB=5+1=6; (4)由(1)知a<0,所以橫坐標到對稱軸的距離越大,函數值越?。阎? | x 2 ? 2 | ,即可得y1<y2。 12.【答案】C 【解析】 :由題意可得:PB=3-t,BQ=2t, 則△PBQ的面積S= PB?BQ= (3-t)×2t=-t2+3t, 故△PBQ的面積

24、S隨出發(fā)時間t的函數關系圖象大致是二次函數圖象,開口向下. 故答案為:C. 【分析】由題意可得:PB=3-t,BQ=2t,根據三角形的面積公式得出S與t的函數關系式,根據所得函數的類型即可作出判斷。 二、填空題 13.【答案】(-2,4) 【解析】 :拋物線y=2(x+2)+4的頂點坐標為:(-2,4)故答案為:(-2,4) 【分析】此拋物線的解析式為頂點式,可直接寫出其頂點坐標。 14.【答案】 【解析】 :∵二次函數 的圖像向上平移3個單位長度,∴ +3=x2+2. 故答案為: . 【分析】根據平移的性質:上+下-,由此即可得出答案. 15.【答案】 【解析】

25、? :y=x2?2mx=(x?m)2?m2 , ①若m2,當x=2時,y=4?4m=?2, 解得:m=<2(舍); ③若?1?m?2,當x=m時,y=?m2=?2, 解得:m=或m=?2,③若?1?m?2三種情況,根據y的最小值為-2,結合二次函數的性質即可求解。 16.【答案】p

26、x-b)與直線y=-2的兩個交點的橫坐標, ∴由圖可得p

27、=1 故答案為x1=-2,x2=1. 【分析】方程 a x 2 = b x + c 的解就是拋物線y=ax2與直線y=bx+c交點橫坐標。 18.【答案】2 【解析】 :如圖, ∵B,C是線段AD的三等分點, ∴AC=BC=BD, 由題意得:AC=BD=m, 當y=0時,x2+2x﹣3=0, (x﹣1)(x+3)=0, x1=1,x2=﹣3, ∴A(﹣3,0),B(1,0), ∴AB=3+1=4, ∴AC=BC=2, ∴m=2, 故答案為:2. 【分析】根據B,C是線段AD的三等分點,得出AC=BC=BD,根據平移的性質得出AC=BD=m,由拋物線與坐標

28、軸交點的坐標特點得出A,B兩點的坐標,從而得出AB的長。進而得出m的值。 19.【答案】24-8 【解析】 如圖,建立直角坐標系,過A作AG⊥OC于G,交BD于Q,過M作MP⊥AG于P, 由題意可得,AQ=12,PQ=MD=6, ∴AP=6,AG=36, ∴Rt△APM中,MP=8,故DQ=8=OG, ∴BQ=12?8=4, ∵BQ∥CG ∴BQ:CG=AQ:AG,即4:CG=12:36, ∴CG=12,OC=12+8=20, ∴C(20,0), ∵水流所在拋物線經過點D(0,24)和B(12,24), ∴設拋物線為y=ax2+bx+24, 把C(20,0),B

29、(12,24)代入拋物線得 解之: ∴y=-x2+x+24 ∵點E的縱坐標為10.2, ∴當y=10.2時,則10.2=?x2+x+24, 解之:x1=6+8,x2=6?82√(舍去), ∴點E的橫坐標為6+8, 又∵ON=30, ∴EH=30?(6+8)=24?8. 故答案為:24?8. 【分析】先建立直角坐標系,過A作AG⊥OC于G,交BD于Q,過M作MP⊥AG于P,根據平行線分線段成比例(BQ∥CG),求得點C(20,0),再根據水流所在拋物線經過點D(0,24)和B(12,24),可設拋物線為y=ax2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入拋物線,

30、 求出拋物線的解析式,最后根據點E的縱坐標為10.2,得出點E的橫坐標,根據ON的長,可求出EH的長。 20.【答案】 【解析】 :∵DE⊥BC,垂足為E, ∴tan∠C= = ,CD=x, ∴DE= ,CE= , 則BE=10- , ∴S= S△BED= (10- )? 化簡得: . 故答案為: s. 【分析】根據銳角三角函數的定義,可得出,因此設CD=x,,可表示出DE、CE的長,就可求出BE的長,再利用三角形的面積公式,可得出s與x的函數解析式。 三、解答題 21.【答案】 :由圖象可知:拋物線的對稱軸為x=1, 設拋物線的表達式為:y=a(x﹣1)2+k ∵

31、拋物線經過點(﹣1,0)和(0,﹣3) ∴ 解得 , ∴拋物線的表達式為:y=(x﹣1)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣3 【解析】【分析】設頂點式y(tǒng)=a(x﹣1)2+k,然后把圖象上的兩點坐標代入得到a與k的方程組,再解方程組即可. 22.【答案】解:(Ⅰ)設P=kx+b, 根據題意,得: ?, 解得: ?, 則P=﹣x+120; (Ⅱ)y=(x﹣60)(﹣x+120)=﹣x2+180x﹣7200=﹣(x﹣90)2+900; (Ⅲ)∵銷售單價不低于成本單價,且獲利不得高于50%, ∴60≤x≤(1+50%)×60,即60≤x≤90, 又當x≤90時,y隨x的增大而增大,

32、 ∴當x=90時,y取得最大值,最大值為900, 答:銷售單價定為90元時,商場可獲得最大利潤,最大利潤是900元. 【解析】【分析】(Ⅰ)抓住已知條件:銷售量P(件)與銷售單價x(元)符合一次函數關系,當銷售單價為65元時銷售量為55件,當銷售單價為75元時銷售量為45件,利用待定系數法求出P與x的函數關系式即可。 (Ⅱ)根據商場獲得利潤y=每一件的利潤×銷售量P,可建立y與x的函數解析式。 (Ⅲ)將(Ⅱ)的二次函數解析式配方成頂點式,再根據銷售單價不低于成本單價,且獲利不得高于50%,求出自變量x的取值范圍,利用二次函數的性質,即可求解。 23.【答案】(1)將A(0,6)代

33、入y=a(x+1)(x-9),得: ∴拋物線解析式為 (2)的值不變 如圖10,過點E作DG⊥AB交AB于點D,交x軸于點G ∵四邊形OABC為矩形,∴DG⊥OC,BD=GC 由BE⊥EF,易證△BDE∽△EGF,得: ,即 由A(0,6),拋物線對稱軸為直線 ,得B(8,6),即OC=6. 易知 , ∴ (3)如圖11,過點E′作PQ∥x,F(xiàn)P⊥PQ,CQ⊥PQ 易證△FPE′∽△BQE′ 可知QE′=4, ∴FP=3 則CQ=3,BQ=9? ∴BE=BE′= 【解析】【分析】(1)將A點的坐標代入y=a(x+1)(x-9),即可求出a的值,從

34、而得出拋物線的解析式; (2)如圖10,過點E作DG⊥AB交AB于點D,交x軸于點G,根據矩形的性質由DG⊥AB得出DG⊥OC,BD=GC,然后證出△BDE∽△EGF,根據相似三角形對應邊成比例得出 BE∶EF = BD ∶EG ,即 BE ∶EF =GC∶EG,根據A點的坐標及對稱軸得出B點的坐標,從而得出AB的長度,根據矩形的性質得出OC的長,根據銳角三角函數的關系得出GC∶ EG =CO∶AO = 8∶ 6 = 4 ∶3 ,從而得出答案; (3)過點E′作PQ∥x,F(xiàn)P⊥PQ,CQ⊥PQ,易證△FPE′∽△BQE′可知QE′=4,根據相似三角形對應邊成比例得出FP=3,根據矩形的性質

35、及B點的坐標得出CQ=3,BQ=9,根據勾股定理得出BE′,根據對稱性得出BE=BE′從而得出結論。 24.【答案】(1)證明:連接BE ?????? ∵CD與⊙B相切于點E ∴BE⊥CD ? 設點D的坐標為(x , 0),則BD=x-1 ? 在△OCD和△EBD中, ? ∴△OCD∽△EBD? ??? ∴ 即 ?∴CD=2x-2? ? ? 在Rt△OCD中, OC2+OD2=CD2 即22+x2=(2x-2)2 解得x1= ,x2=0(舍去) ? 即點D的坐標為( ,0) ? 把C(0,2),D( ,0)代入y=ax2-2ax+c中得: ? 函數解

36、析式為:y= x2+ x+2(2)解:連接BE , CB , CB交OE于H ?? ?∵CD與⊙O相切于E , CO⊥OB于O , BO為⊙O半徑 ??? ∴CO與⊙O相切于O ∴BC⊥OE于點H?? ∴∠OCH+∠COH=∠BOH+∠COH=90°, ∴∠BOH=∠COH 即∠AOE=∠OCB??? ∴sin∠AOE= sin∠OCB= ? 在Rt△OCB中,∵OB=1,OC=2? 由勾股定理得 = ? ∴ (3)存在,理由如下: ???? 連接DM , 據題意有CM=t,OC=2,OD= ,則OM=2-t ???? ∵MN//CD ∴∠ONM=∠ODC

37、且S△QMN=S△DMN? ?????? ∴tan∠ONM=tan∠ODC ???? ∴ ?? ∴ON= ? ∴ ? ???? ∵S=S△QMN=S△DMN= ?∴S= ???? ∵點M在OC上運動? ∴ ? ???? ∵S與t成二次函數關系,且 < 0 ??? ∴當t=1時,S有最大值, [MISSING IMAGE: , ]?? 【解析】【分析】(1)根據切線的性質得出BE⊥CD,設點D的坐標為(x , 0),則BD=x-1,然后證出△OCD∽△EBD ,根據相似三角形對應邊成比例得出OC∶EB=CD∶BD,即2∶1=CD∶x-1,從而得出CD=2x-2? ?,在

38、Rt△OCD中,根據勾股定理列出關于x的方程,求解得出x的值,得出D點的坐標,然后利用待定系數法求出拋物線的解析式; (2)連接BE , CB , CB交OE于H,根據切線的判定定理判斷出CO與⊙O相切于O,根據切線長定理得出BC⊥OE于點H ,根據同角的余角相等得出 ∠BOH=∠COH,即∠AOE=∠OCB,根據等角的同名三角函數值相等得出sin∠AOE= sin∠OCB= O B ∶C B? ,在Rt△OCB中,由勾股定理得出BC的長度,從而得出答案; (3)連接DM , 據題意有CM=t,OC=2,OD=?, 則OM=2-t;根據二直線平行同位角相等得出∠ONM=∠ODC,同時兩平行線間的距離相等,根據同底等高得出S△QMN=S△DMN? , 再根據等角的同名三角函數值相等得出tan∠ONM=tan∠ODC,根據三角函數的定義,從而列出方程,表示出ON的長度,進而表示出ND,根據S=S△QMN=S△DMN=?N D · O M,從而得出s與t之間的函數關系式;根據點M在OC上運動? 故 0 < t < 2? ,S與t成二次函數關系中二次項的系數 ??< 0,從而得出答案當t=1時,S有最大值, S 最 大 值 =?。 21

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