《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測試題
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1、《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測試題 1.在極坐標(biāo)系中,已知曲線C:ρ=2cosθ,將曲線C上的點向左平移一個單位,然后縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到曲線C1,又已知直線l過點P(1,0),傾斜角為,且直線l與曲線C1交于A,B兩點. (1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程,并說明它是什么曲線; (2)求+. 2.在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin(θ+)=3,射線OM:θ=與圓C的交點為O、P,與直線l的交點為Q,求線段
2、PQ的長. 3.在極坐標(biāo)系中,圓C的極坐標(biāo)方程為:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6.若以極點O為原點,極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. (Ⅰ)求圓C的參數(shù)方程; (Ⅱ)在直角坐標(biāo)系中,點P(x,y)是圓C上動點,試求x+y的最大值,并求出此時點P的直角坐標(biāo). 4.若以直角坐標(biāo)系xOy的O為極點,Ox為極軸,選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,得曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=. (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并指出曲線是什么曲線; (2)若直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),,當(dāng)直線l與曲線C相交于A,B兩點,
3、求. 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)),曲線C2的極坐標(biāo)方程為. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)P為曲線C1上一點,Q曲線C2上一點,求|PQ|的最小值及此時P點極坐標(biāo). 6.在極坐標(biāo)系中,曲線C的方程為ρ2=,點R(2,). (Ⅰ)以極點為原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,R點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo); (Ⅱ)設(shè)P為曲線C上一動點,以PR為對角線的矩形PQ
4、RS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長的最小值. 7.已知平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ. (Ⅰ)求曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)若直線θ=(ρ∈R)與曲線C1交于P,Q兩點,求|PQ|的長度. 8.在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,己知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ﹣ρsinθ=2,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2pcosθ(p>0).
5、(1)設(shè)t為參數(shù),若x=﹣2+t,求直線l的參數(shù)方程; (2) 已知直線l與曲線C交于P、Q,設(shè)M(﹣2,﹣4),且|PQ|2=|MP|?|MQ|,求實數(shù)p的值. 9.在極坐標(biāo)系中,射線l:θ=與圓C:ρ=2交于點A,橢圓Γ的方程為ρ2=,以極點為原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy (Ⅰ)求點A的直角坐標(biāo)和橢圓Γ的參數(shù)方程; (Ⅱ)若E為橢圓Γ的下頂點,F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點,求?的取值范圍. 10.已知在直角坐標(biāo)系中,曲線的C參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),現(xiàn)以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的
6、極坐標(biāo)方程為ρ=. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)在曲線C上是否存在一點P,使點P到直線l的距離最???若存在,求出距離的最小值及點P的直角坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 11.已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為. ( I)求曲線C2的直角坐標(biāo)系方程; ( II)設(shè)M1是曲線C1上的點,M2是曲線C2上的點,求|M1M2|的最小值. 12.設(shè)點A為曲線C:ρ=2cosθ在極軸Ox上方的一點,且0≤θ≤,以極點為原點
7、,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy, (1)求曲線C的參數(shù)方程; (2)以A為直角頂點,AO為一條直角邊作等腰直角三角形OAB(B在A的右下方),求B點軌跡的極坐標(biāo)方程. 13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(φ為參數(shù),實數(shù)a>0),曲線C2:(φ為參數(shù),實數(shù)b>0).在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤)與C1交于O、A兩點,與C2交于O、B兩點.當(dāng)α=0時,|OA|=1;當(dāng)α=時,|OB|=2. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)求2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值.
8、 14.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1:(a為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換后,曲線為C2,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建極坐標(biāo)系. (Ⅰ)求C2的極坐標(biāo)方程; (Ⅱ)設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為ρsin(﹣θ)=1,且曲線C3與曲線C2相交于P,Q兩點,求|PQ|的值. 15.已知半圓C的參數(shù)方程為,a為參數(shù),a∈[﹣,]. (Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求半圓C的極坐標(biāo)方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè)T是半圓C上一點,且OT=,試寫出T點的極坐標(biāo). 16.
9、已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ. (Ⅰ)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程; (Ⅱ)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π) 《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測試題答案 一.解答題(共16小題) 1.在極坐標(biāo)系中,已知曲線C:ρ=2cosθ,將曲線C上的點向左平移一個單位,然后縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到曲線C1,又已知直線l過點P(1,0),傾斜角為,且直線l與曲線C1交于A,B兩點. (1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程,并說明它是什么曲線; (2)求+. 【解答
10、】解:(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為:x2+y2﹣2x=0即(x﹣1)2+y2=1. ∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為=1, ∴曲線C表示焦點坐標(biāo)為(﹣,0),(,0),長軸長為4的橢圓 (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程=1中,得. 設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, ∴+=. 2.在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin(θ+)=3,射線OM:θ=與圓C的交點為O、P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長. 【解答】解:(I)利用cos2φ+s
11、in2φ=1,把圓C的參數(shù)方程為參數(shù))化為(x﹣1)2+y2=1, ∴ρ2﹣2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ. (II)設(shè)(ρ1,θ1)為點P的極坐標(biāo),由,解得. 設(shè)(ρ2,θ2)為點Q的極坐標(biāo),由,解得. ∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2. ∴|PQ|=2. 3.在極坐標(biāo)系中,圓C的極坐標(biāo)方程為:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6.若以極點O為原點,極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. (Ⅰ)求圓C的參數(shù)方程; (Ⅱ)在直角坐標(biāo)系中,點P(x,y)是圓C上動點,試求x+y的最大值,并求出此時點P的直角坐標(biāo). 【解答】(本小題滿分10分)選修4﹣4:坐
12、標(biāo)系與參數(shù)方程 解:(Ⅰ)因為ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣6, 所以x2+y2=4x+4y﹣6, 所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0, 即(x﹣2)2+(y﹣2)2=2為圓C的普通方程.…(4分) 所以所求的圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).…(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可得,…(7分) 當(dāng) 時,即點P的直角坐標(biāo)為(3,3)時,…(9分)x+y取到最大值為6.…(10分) 4.若以直角坐標(biāo)系xOy的O為極點,Ox為極軸,選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,得曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=. (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并指出曲線是什么曲線; (2)若直線l的參數(shù)方
13、程為(t為參數(shù)),,當(dāng)直線l與曲線C相交于A,B兩點,求. 【解答】解:(1)∵ρ=,∴ρ2sin2θ=6ρcosθ, ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=6x.曲線為以(,0)為焦點,開口向右的拋物線. (2)直線l的參數(shù)方程可化為,代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0. 解得t1=﹣2,t2=6. ∴||=|t1﹣t2|=8. 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)),曲線C2的極坐標(biāo)方程為. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)P為曲線C1上一點,Q曲線C2上一點,求|PQ
14、|的最小值及此時P點極坐標(biāo). 【解答】解:(1)由消去參數(shù)α,得曲線C1的普通方程為. 由得,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為. (2)設(shè)P(2cosα,2sinα),則 點P到曲線C2的距離為. 當(dāng)時,d有最小值,所以|PQ|的最小值為. 6.在極坐標(biāo)系中,曲線C的方程為ρ2=,點R(2,). (Ⅰ)以極點為原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,R點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo); (Ⅱ)設(shè)P為曲線C上一動點,以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,
15、 則:曲線C的方程為ρ2=,轉(zhuǎn)化成. 點R的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為:R(2,2). (Ⅱ)設(shè)P() 根據(jù)題意,得到Q(2,sinθ), 則:|PQ|=,|QR|=2﹣sinθ, 所以:|PQ|+|QR|=. 當(dāng)時,(|PQ|+|QR|)min=2, 矩形的最小周長為4. 7.已知平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ. (Ⅰ)求曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)若直線θ=(ρ∈R)與曲線C1交于P,Q兩點,求|PQ|的長度. 【解答】解:(I)曲線C1
16、的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),利用平方關(guān)系消去φ可得:+(y+1)2=9,展開為:x2+y2﹣2x+2y﹣5=0,可得極坐標(biāo)方程:ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0. 曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ,可得直角坐標(biāo)方程:x2+y2=2x. (II)把直線θ=(ρ∈R)代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0, 整理可得:ρ2﹣2ρ﹣5=0, ∴ρ1+ρ2=2,ρ1?ρ2=﹣5, ∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2. 8.在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,己知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ﹣ρsinθ=2,曲線C的極
17、坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2pcosθ(p>0). (1)設(shè)t為參數(shù),若x=﹣2+t,求直線l的參數(shù)方程; (2)已知直線l與曲線C交于P、Q,設(shè)M(﹣2,﹣4),且|PQ|2=|MP|?|MQ|,求實數(shù)p的值. 【解答】解:(1)直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ﹣ρsinθ=2,化為直角坐標(biāo)方程:x﹣y﹣2=0. ∵x=﹣2+t,∴y=x﹣2=﹣4+t,∴直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)). (2)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2pcosθ(p>0),即為ρ2sin2θ=2pρcosθ(p>0),可得直角坐標(biāo)方程:y2=2px. 把直線l的參數(shù)方程代入可得:t2﹣(8+2p)t+8
18、p+32=0. ∴t1+t2=(8+2p),t1t2=8p+32. 不妨設(shè)|MP|=t1,|MQ|=t2. |PQ|=|t1﹣t2|===. ∵|PQ|2=|MP|?|MQ|, ∴8p2+32p=8p+32, 化為:p2+3p﹣4=0, 解得p=1. 9.在極坐標(biāo)系中,射線l:θ=與圓C:ρ=2交于點A,橢圓Γ的方程為ρ2=,以極點為原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy (Ⅰ)求點A的直角坐標(biāo)和橢圓Γ的參數(shù)方程; (Ⅱ)若E為橢圓Γ的下頂點,F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點,求?的取值范圍. 【解答】解:(Ⅰ)射線l:θ=與圓C:ρ=2交于點A(2,),點A的直角坐標(biāo)
19、(,1); 橢圓Γ的方程為ρ2=,直角坐標(biāo)方程為+y2=1,參數(shù)方程為(θ為參數(shù)); (Ⅱ)設(shè)F(cosθ,sinθ), ∵E(0,﹣1), ∴=(﹣,﹣2),=(cosθ﹣,sinθ﹣1), ∴?=﹣3cosθ+3﹣2(sinθ﹣1)=sin(θ+α)+5, ∴?的取值范圍是[5﹣,5+]. 10.已知在直角坐標(biāo)系中,曲線的C參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),現(xiàn)以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)在曲線C上是否存在一點P,使點P到直線l的距離最???若存在,求出距離的最小值及點P的直角坐
20、標(biāo);若不存在,請說明理由. 【解答】解:(1)曲線的C參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),普通方程為(x﹣1)2+(y﹣1)2=4, 直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=,直角坐標(biāo)方程為x﹣y﹣4=0; (2)點P到直線l的距離d==, ∴φ﹣=2kπ﹣,即φ=2kπ﹣(k∈Z),距離的最小值為2﹣2,點P的直角坐標(biāo)(1+,1﹣). 11.已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為. ( I)求曲線C2的直角坐標(biāo)系方程; ( II)設(shè)M1是曲線C1上的點,M2是曲線C2上的點,求|M1M2|的最小值. 【解答】解:(I)由可得ρ
21、=x﹣2,∴ρ2=(x﹣2)2,即y2=4(x﹣1); (Ⅱ)曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),消去t得:2x+y+4=0. ∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為2x+y+4=0. ∵M(jìn)1是曲線C1上的點,M2是曲線C2上的點, ∴|M1M2|的最小值等于M2到直線2x+y+4=0的距離的最小值. 設(shè)M2(r2﹣1,2r),M2到直線2x+y+4=0的距離為d, 則d==≥. ∴|M1M2|的最小值為. 12.設(shè)點A為曲線C:ρ=2cosθ在極軸Ox上方的一點,且0≤θ≤,以極點為原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy, (1)求曲線C的參數(shù)方程; (2)以A為直角頂點
22、,AO為一條直角邊作等腰直角三角形OAB(B在A的右下方),求點B軌跡的極坐標(biāo)方程. 【解答】(1)θ為參數(shù)) (2):設(shè)A(ρ0,θ0),且滿足ρ0=2cosθ0,B(ρ,θ), 依題意,即 代入ρ0=2cosθ0并整理得,,, 所以點B的軌跡方程為,. 13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(φ為參數(shù),實數(shù)a>0),曲線C2:(φ為參數(shù),實數(shù)b>0).在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤)與C1交于O、A兩點,與C2交于O、B兩點.當(dāng)α=0時,|OA|=1;當(dāng)α=時,|OB|=2. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)求2|OA|
23、2+|OA|?|OB|的最大值. 【解答】解:(Ⅰ)由曲線C1:(φ為參數(shù),實數(shù)a>0), 化為普通方程為(x﹣a)2+y2=a2,展開為:x2+y2﹣2ax=0, 其極坐標(biāo)方程為ρ2=2aρcosθ,即ρ=2acosθ,由題意可得當(dāng)θ=0時,|OA|=ρ=1,∴a=. 曲線C2:(φ為參數(shù),實數(shù)b>0), 化為普通方程為x2+(y﹣b)2=b2,展開可得極坐標(biāo)方程為ρ=2bsinθ, 由題意可得當(dāng)時,|OB|=ρ=2,∴b=1. (Ⅱ)由(I)可得C1,C2的方程分別為ρ=cosθ,ρ=2sinθ. ∴2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin
24、2θ+cos2θ+1=+1, ∵2θ+∈,∴+1的最大值為+1, 當(dāng)2θ+=時,θ=時取到最大值. 14.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1:(a為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換后的曲線為C2,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (Ⅰ)求C2的極坐標(biāo)方程; (Ⅱ)設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為ρsin(﹣θ)=1,且曲線C3與曲線C2相交于P,Q兩點,求|PQ|的值. 【解答】解:(Ⅰ)C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),普通方程為(x′﹣1)2+y′2=1, ∴C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ; (Ⅱ)C2是以(1,0)為圓心,2為半徑的圓,曲線C3的極坐標(biāo)方程為ρsin(﹣θ)=1,
25、直角坐標(biāo)方程為x﹣y﹣2=0, ∴圓心到直線的距離d==, ∴|PQ|=2=. 15.已知半圓C的參數(shù)方程為,a為參數(shù),a∈[﹣,]. (Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求半圓C的極坐標(biāo)方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè)T是半圓C上一點,且OT=,試寫出T點的極坐標(biāo). 【解答】解:(Ⅰ)由半圓C的參數(shù)方程為,a為參數(shù),a∈[﹣,], 則圓的普通方程為x2+(y﹣1)2=1(0≤x≤1), 由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2, 可得半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ,θ∈[0,]; (Ⅱ)由題意可得半圓C的直
26、徑為2,設(shè)半圓的直徑為OA, 則sin∠TAO=, 由于∠TAO∈[0,],則∠TAO=, 由于∠TAO=∠TOX, 所以∠TOX=, T點的極坐標(biāo)為(,). 16. 已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ. (Ⅰ)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程; (Ⅱ)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π) 【解答】解:(Ⅰ)曲線C1的參數(shù)方程式(t為參數(shù)), 得(x﹣4)2+(y﹣5)2=25即為圓C1的普通方程, 即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0. 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得. ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即為C1的極坐標(biāo)方程; (Ⅱ)曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ化為直角坐標(biāo)方程為:x2+y2﹣2y=0, 由,解得或. ∴C1與C2交點的極坐標(biāo)分別為(,),(2,).
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