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1、第一部分 全等三角形 一、全等三角形 1、概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。 2、全等三角形有哪些性質(zhì)（理解熟悉，并能熟練應(yīng)用） （1）：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。 （2）：全等三角形的周長相等、面積相等。 （3）：全等三角形的對應(yīng)邊上的對應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。 3、全等三角形的判定（理解熟悉，并能熟練應(yīng)用） 邊邊邊：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“SSS”) 邊角邊:兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等兩個三角形全等（可簡寫成“SAS”) 角邊角:兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可

2、簡寫成“ASA”) 角角邊:兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“AAS”) 斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“HL”) 4、證明兩個三角形全等的基本思路：（歸納概括，課梳理解題思路） 二、角的平分線： 1、（性質(zhì)）角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. 2、（判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。 三、學習全等三角形應(yīng)注意以下幾個問題： （1):要正確區(qū)分“對應(yīng)邊”與“對邊”，“對應(yīng)角”與 “對角”的不同含義； （2）：表示兩個三角形全等時，表示對應(yīng)頂點的字母要寫在對應(yīng)的位置上； （3）：

3、“有三個角對應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不一定全等； （4）：時刻注意圖形中的隱含條件，如 “公共角” 、“公共邊”、“對頂角” 二、經(jīng)典例題： 例1、如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且ED⊥FD．求證：． 分析：由D點為AB的中點可知△ACD，△BCD的面積都等于△ABC的面積的一半．因此可采用割補法證明． 證明：連結(jié)CD． 　　∵在Rt△ABC中， 　　∠ACB=90°，AC=BC，D為AB的中點， 　　∴△ACD≌△BCD 　　∴∠ADC=∠BDC 　　且∠A＝∠B＝4

4、5° 　　又∵∠ADC＋∠BDC＝180° 　　∴∠ADC=∠BDC=90° 　　∴∠BCD＝90°－∠B＝45°＝∠B 　　∴∠ACD＝90°－∠A＝45°＝∠A 　　∴AD=BD=CD， 　　又∵ED⊥FD，∴∠EDC＋∠CDF=90° 　　∵∠ADE＋∠EDC=90° 　　∴∠ADE=∠CDF． 　　在△ADE和△CDF中， 　　 　　∴△ADE≌△CDF 　　∴S△ADE=S△CDF 　　同理可證：S△CDE=S△BDF 　　∴． 例2、在△ABC中，請證明： 　?。?）若AD為角平分線，則 　　　　 　?。?）設(shè)D是BC上一點，連接AD，若，則AD

5、為角平分線． 分析：如圖， 　?。?）由三角形的面積及底邊聯(lián)想到作三角形的高，作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，則DE=DF，即結(jié)論①成立；②由①結(jié)合△ABD與△ACD是共高三角形，即可得到結(jié)論． 　?。?）逆用上述的思路即可證明結(jié)論成立． 證明： （1）①如圖，過D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F． 　　　　∵AD為角平分線，∴DE=DF 　　　　∴． 　?、谌鐖D，過A作AH⊥BC于H， 　　　　則S△ABD=BD·AH， 　　　　S△ACD=CD·AH， 　　　　∴ 　　　　結(jié)合①有 （2）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． 　　　∵． 　　　∴DE︰

6、DF=1，即DE=DF 　　　∴AD為△ABC的角平分線． 例3、如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且ED⊥FD．求證：． 分析：由D點為AB的中點可知△ACD，△BCD的面積都等于△ABC的面積的一半．因此可采用割補法證明． 證明：連結(jié)CD． 　　∵在Rt△ABC中， 　　∠ACB=90°，AC=BC，D為AB的中點， 　　∴△ACD≌△BCD 　　∴∠ADC=∠BDC 　　且∠A＝∠B＝45° 　　又∵∠ADC＋∠BDC＝180° 　　∴∠ADC=∠BDC=90° 　　∴∠BCD＝90°－∠B＝4

7、5°＝∠B 　　∴∠ACD＝90°－∠A＝45°＝∠A 　　∴AD=BD=CD， 　　又∵ED⊥FD，∴∠EDC＋∠CDF=90° 　　∵∠ADE＋∠EDC=90° 　　∴∠ADE=∠CDF． 　　在△ADE和△CDF中， 　　 　　∴△ADE≌△CDF 　　∴S△ADE=S△CDF 　　同理可證：S△CDE=S△BDF 　　∴． 例4、在△ABC中，請證明： 　　（1）若AD為角平分線，則 　　　　 　　（2）設(shè)D是BC上一點，連接AD，若，則AD為角平分線． 分析：如圖， 　?。?）由三角形的面積及底邊聯(lián)想到作三角形的高，作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F

8、，則DE=DF，即結(jié)論①成立；②由①結(jié)合△ABD與△ACD是共高三角形，即可得到結(jié)論． 　　（2）逆用上述的思路即可證明結(jié)論成立． 證明： （1）①如圖，過D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F． 　　　　∵AD為角平分線，∴DE=DF 　　　　∴． 　　②如圖，過A作AH⊥BC于H， 　　　　則S△ABD=BD·AH， 　　　　S△ACD=CD·AH， 　　　　∴ 　　　　結(jié)合①有 （2）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． 　　　∵． 　　　∴DE︰DF=1，即DE=DF 　　　∴AD為△ABC的角平分線． 三、練習題： 選擇題 １．如圖１，ＡＢ＝ＡＣ，∠

9、ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，ＡＢ＝６，ＢＤ＝４，ＡＤ＝３，則ＣＤ等于（?。? （Ａ）６　　?。ǎ拢础?　?。ǎ茫场　　。ǎ模? ２．如圖２，△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ，∠ＢＡＣ＝８５°，∠Ｂ＝６５°，則∠ＣＡＤ度數(shù)為（?。? （Ａ）８５°　?。ǎ拢叮怠? （Ｃ）４０°　?。ǎ模常啊? ３．如圖３，ＡＣ、ＢＤ相交于點Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，則圖中全等三角形有（?。? Ｏ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ 圖3 （Ａ）２對?。ǎ拢硨Α。ǎ茫磳Α。ǎ模祵? Ｄ Ｃ Ａ Ｂ 圖2 C D B A 圖1 ４．如圖４，點Ｄ、Ｅ在線段ＢＣ上，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，

10、ＢＥ＝ＣＤ，要判定△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ，較為快捷的方法為（　） （Ａ）SSS　?。ǎ拢㏒AS （Ｃ）ASA　?。ǎ模〢AS ５．根據(jù)下列條件，能唯一畫出△ＡＢＣ的是（?。? （Ａ）ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＣ＝８　?。ǎ拢粒拢剑矗拢茫剑?，∠Ａ＝３０° （Ｃ）∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝４５°，ＡＢ＝４?。ǎ模希茫剑梗啊?，ＡＢ＝６ ６．如圖５，等邊△ＡＢＣ中，ＢＤ=ＣＥ，ＡＤ與ＢＥ交于點Ｐ，則∠ＡＰＥ的度數(shù)為（?。? （Ａ）７０°　　（Ｂ）６０° （Ｃ）４０°　?。ǎ模常啊? 參考答案：BDCACB 填空題 ７．如圖６，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，則△ＡＢＣ≌　　　??；應(yīng)用的識

11、別方法是　　　　　?。? ８．如圖７，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，則∠ＢＡＤ的對應(yīng)角為　　　　　?。? Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｅ 圖4 Ｂ Ｃ Ｄ Ａ 圖6 Ｄ Ｂ Ｃ Ｅ Ｐ Ａ 圖5 ９．已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分線，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且ＤＥ＝３cm，則點Ｄ到ＡＣ的距離為　　　　?。? １０．如圖８，ＡＢ與ＣＤ交于點Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＯＤ＝　　　　　，根據(jù)　　　　　　可得△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，從而可以得到ＡＤ＝　　　　?。? １１．如圖９，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＤＢ，欲使ＯＢ＝ＯＣ，可以先利用“ＨＬ”說明　　

12、　　　　　≌　　　　　　　得到ＡＢ＝ＤＣ，再利用“　　　　　　　”證明△ＡＯＢ≌　　　　　得到ＯＢ＝ＯＣ． 圖9 １２．如果兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角的關(guān)系是　　　　　　　?。? A D C B 圖7 D O C B A 圖8 參考答案：7.△ABD SSS 8.∠ABC 9.3cm 10.∠COB SAS BC 11. △ACB , △DBC SAS △DOC 12.相等 解答題： 13.如圖，已知AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=

13、AD=BC，AD//BC. 　　 求證：（1）AC=EF，（2）AC⊥EF 14.如圖所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求證：OB=OC. 參考答案： 13 解：分析： 　?。?）要證AC=EF，可證△ABC≌△FAE，而BC=AE，AB=AF，所以只需證明∠B=∠EAF即可. 　?。?）要證AC⊥EF，若延長CA交EF于G，可證∠2=90°， 　　　　 而∠3＋∠1=∠2＋∠F，而由（1）得∠1=∠F. 　　　　 所以∠2=∠3，而∠3=90° 　　　　 于是可證明∠2=90° 證明：（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB

14、=180° 　又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°，∠3=∠4=90° 　∴∠DAB＋∠EAF=180° 　∴∠B=∠EAF 　在△ABC和△FAE中　 　 　∴△ABC≌△FAE（SAS） 　∴AC=EF ?。?）∵△ABC≌△FAE 　∴∠1=∠F 　又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F 　∴∠2=∠3 　又∵∠3=90° 　∴∠2=90° 　∴AG⊥EF，即AC⊥EF 14.解答，分析：要證OB=OC，需證△BOF≌△COE，條件有對頂角，直角，又OA是角平分線，不難證OF=OE，此問題得證. 證明：因為BE⊥AC，AB⊥CF（已知）， 　　所以∠BFO=

15、∠CEO=90°（垂直定義）. 　　又因為BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC， 　　所以O(shè)F=OE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）. 　　在△BOF和△COE中， 　　所以△BOF≌△COE（ASA），所以O(shè)B=OC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）. 第二部分 軸對稱 知識梳理 一、 軸對稱圖形：（理解掌握） 1. 把一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱。 2. 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個圖形完全重合，那么就說

16、這兩個圖關(guān)于這條直線對稱。這條直線叫做對稱軸。折疊后重合的點是對應(yīng)點,叫做對稱點 3、軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系 4.軸對稱的性質(zhì) ①關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等形。 ②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。 ③軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。 ④如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。 二、線段的垂直平分線（理解掌握，能熟練應(yīng)用） 1. 經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線

17、，也叫中垂線。 2.線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等 3.與一條線段兩個端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上 三、用坐標表示軸對稱小結(jié)： 在平面直角坐標系中，關(guān)于x軸對稱的點橫坐標相等,縱坐標互為相反數(shù).關(guān)于y軸對稱的點橫坐標互為相反數(shù),縱坐標相等. 點（x, y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為______. 點（x, y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為______. 2.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等 四、（等腰三角形)知識點回顧 1.等腰三角形的性質(zhì) ①.等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角） ②.等腰三角形的頂

18、角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一） 2、等腰三角形的判定： 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（等角對等邊） 五、（等邊三角形）知識點回顧 1.等邊三角形的性質(zhì)： 等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于600 。 2、等邊三角形的判定： ①三個角都相等的三角形是等邊三角形。 ②有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形。 3. 在直角三角形中，如果一個銳角等于300，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 經(jīng)典例題分析 例1、如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于Q，PQ=

19、3，PE=1．求AD的長． 分析：由已知條件易知△ABE≌△CAD，從而 AD=BE，只須求BP長即可，由BQ⊥AD知，若在Rt△BPQ中有∠PBQ＝30°，就可求出BP的長，于是求證∠BPQ＝60°為問題的突破口． 證明：∵△ABC為等邊三角形， 　　　∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC． 　　　又AE=CD，∴△ABE≌△CAD， 　　　∴∠ABE=∠CAD，BE=AD， 　　　∴∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°， 　　　∴∠PBQ=30°． 　　　又BQ⊥PQ，∴PB=2PQ=6， 　　　∴BE=PB＋PE=7， 　　　∴AD=

20、BE=7． 例2、如圖，已知△ABC中，AB=AC，AB、AC的垂直平分線DF、EG分別交BC、CB的延長線于F、G．求證：∠1=∠2． 分析：遇到線段垂直平分線和等腰三角形，首先考慮運用等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，尋求最簡捷的解題途徑． 證明：因為AB=AC，所以∠4=∠5． 　　　因為DF、EG分別為AB、AC的垂直平分線， 　　　所以AF=BF，AG=CG， 　　　所以∠1＋∠3=∠5，∠2＋∠3=∠4． 　　　所以∠1＋∠3=∠2＋∠3． 　　　所以∠1=∠2． 例3、如圖，在△ABC中，AB=AC，過BC上一點D作BC的垂線，交BA的延長線于P，

21、交AC于Q．判斷△APQ的形狀，并證明你的結(jié)論． 解：△APQ是等腰三角形．證明如下： 　　因為AB=AC，所以∠B=∠C． 　　因為PD⊥BC，所以∠P＋∠B=90°，∠2＋∠C=90°， 　　所以∠P=∠2． 　　又因為∠1=∠2，所以∠P=∠1． 　　所以AP=AQ． 所以△APQ為等腰三角形． 三、練習題 1.等腰三角形的一邊等于5，一邊等于12，則它的周長為( ) A.22 B.29 C.22或29 D.17 2.如圖14－110所示，圖中不是軸對稱圖形的是( ) 3.在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，其中能判定△ABC是

22、等腰三角形的是( ) A.∠A=50°，∠B=70° B.∠A=70°，∠B=40° C.∠A=30°，∠B=90° D.∠A=80°，∠B=60° 4.如圖14-111所示，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分線，若∠BDC=69°，則∠A等于( ) A.32° B.36° C.48° D.52° 5.成軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)角 ，對應(yīng)線段 . 6.等邊三角形是軸對稱圖形，它有 條對稱軸. 7.等腰三角形頂角的 與底邊上的 、 重合，稱三線合一. 8.（1）等腰三角形的一個

23、內(nèi)角等于130°，則其余兩個角分別為 ； （2）等腰三角形的一個內(nèi)角等于70°，則其余兩個角分別為 . 9.如圖14－112所示，△ABC是等邊三角形，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度數(shù). 10.如圖14－113所示，在△ABC中，AB=AC，E在CA延長線上，AE=AF，AD是高，試判斷EF與BC的位置關(guān)系，并說明理由. 11.如圖14－114所示，在△ABC中，點E在AC上，點N在BC上，在AB上找一點F，使△ENF的周長最小，試說明理由. 參考答案、 1.B 2.C 3.B 4.A［提示：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.又∵BD是∠

24、ABC的平分線， ∴∠DBC=∠ABC=∠C.又∵∠BDC=69°， ∴∠C+∠C+∠BDC=180°，即∠C+69°=180°， ∴∠C=111°×=74°. ∴∠A=180°-74°×2=180°-148°=32°.∴∠A=32°.］ 5.相等 相等 6.3 7.平分線 中線 高 8.(1)25°，25° (2)55°，55°或70°，40° 9.解：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. 又∵∠1=∠2=∠3， ∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠BCA-∠3， 即∠CAF=∠ABD=∠BCE. 在△A

25、BD和△BCE和△CAF中， ∴△ABD≌△BCE≌△CAF（ASA）. ∴AD=BE=CF，BD=CE=AF.∴AD-AF=BE-BD=CF-CE， 即FD=DE=EF. ∴△DEF是等邊三角形.∴∠FED=60°. ∴∠BEC=180°-∠FED=180°-60°=120°， ∴∠BEC=120°. 10.解：EF與BC的位置關(guān)系是：EF⊥BC.理由如下： ∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠BAC. 又∵AE=AF，∴∠E=∠AFE. 又∵∠BAC=∠E+∠AFE=2∠AFE，∠AFE=∠BAC. ∴∠BAD=∠AFE.∴EF∥AD.又∵AD⊥BC，∴EF⊥

26、BC. 11.提示：圖略.因為欲使△ENF的周長最小，即EN+NF+EF最小，而EN為定長，則必有NF+EF最小，又因為點F在AB上，且E，N在AB的同側(cè)，由軸對稱的性質(zhì)，可作點E關(guān)于直線AB的對稱點E′，連接E′N與AB的交點即為點F，此時，F(xiàn)E+FN最小，即△EFN的周長最小. 第三部分 一次函數(shù) 基礎(chǔ)知識梳理 一.常量、變量： 在一個變化過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量叫做 變量 ；數(shù)值始終不變的量叫做 常量 ； 二、函數(shù)的概念： 函數(shù)的定義：一般的，在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯

27、一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)． 三、函數(shù)中自變量取值范圍的求法： （1）.用整式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實數(shù)。 （2）用分式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數(shù)。 （3）用奇次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實數(shù)。 用偶次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負數(shù)的一 切實數(shù)。 （4）若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。 （5）對于與實際問題有關(guān)系的，自變量的取值范圍應(yīng)使實際問題有意義。 四、 函數(shù)圖象的定義：一般的，對于一個函

28、數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標，那么在坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象． 五、用描點法畫函數(shù)的圖象的一般步驟（解題中，要善于利用函數(shù)圖象） 1、列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值。） 注意：列表時自變量由小到大，相差一樣，有時需對稱。 2、描點：（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點。 3、連線：（按照橫坐標由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接起來）。 六、函數(shù)有三種表示形式： （1）列表法 （2）圖像法 （3）解析式法 七、正比例函數(shù)與一次函數(shù)的概念： 一般

29、地，形如y=kx(k為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù).其中k叫做比例系數(shù)。 一般地，形如y=kx+b(k,b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù). 當b =0 時,y=kx+b 即為 y=kx,所以正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的特例. 八、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)： （1)圖象:正比例函數(shù)y= kx (k 是常數(shù)，k≠0)) 的圖象是經(jīng)過原點的一條直線，我們稱它為直線y= kx 。 (2)性質(zhì):當k>0時,直線y= kx經(jīng)過第三，一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當k<0時,直線y= kx經(jīng)過二,四象限，從左向右下降，即隨著 x的增大

30、y反而減小。 九、求函數(shù)解析式的方法: 待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫出這個式子的方法。 1. 一次函數(shù)與一元一次方程：從“數(shù)”的角度看x為何值時函數(shù)y= ax+b的值為0． 2. 求ax+b=0(a, b是常數(shù)，a≠0)的解，從“形”的角度看，求直線y= ax+b與 x 軸交點的橫坐標 3. 一次函數(shù)與一元一次不等式： 解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0) ．從“數(shù)”的角度看，x為何值時函數(shù)y= ax+b的值大于0． 4. 解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0) ． 從“形”的角度看，求直線y= ax+b在 x 軸上

31、方的部分（射線）所對應(yīng)的的橫坐標的取值范圍． 十、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一　　次　　函　　數(shù) 　 　概　念 如果y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），那么y叫x的一次函數(shù).當b=0時，一次函數(shù)y=kx（k≠0）也叫正比例函數(shù). 　圖　像 “撇”增 “捺”減 一條直線 　性　質(zhì) k＞0時，y隨x的增大(或減小)而增大(或減小)； k＜0時，y隨x的增大(或減小)而減小(或增大). 直線y=kx+b（k≠0）的位置與k、b符號之間的關(guān)系. （1）k>0，b＞0； （2）k>0，b＜0； （3）k>0，b＝0 （4）k＜0，b＞0； （5）k＜0，

32、b＜0 （6）k＜0，b＝0 一次函數(shù)表達式的確定 求一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）時，需要由兩個點來確定；求正比例函數(shù)y=kx（k≠0）時，只需一個點即可. 5.一次函數(shù)與二元一次方程組： 解方程組 從“數(shù)”的角度看，自變量（x）為何值時兩個函數(shù)的值相等．并求出這 個函數(shù)值 解方程組 從“形”的角度看，確定兩直線交點的坐標 經(jīng)典例題分析 例1、函數(shù)y=(k－5)x|k|－4＋2是一次函數(shù)，求此函數(shù)的解析式. 解： 　　由一次函數(shù)的定義，知自變量x的指數(shù)等于1，系數(shù)不為零，即解得k=－5

33、.因此此函數(shù)的解析式為y=－10x＋2. 例2、已知一次函數(shù)y=kx＋1(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y=x＋k的圖象大致是圖中的（?。? 解： 　　由一次函數(shù)的性質(zhì)知，當y隨x的增大而減小時，k<0；由1>0，k<0，可知y=x＋k的圖象交于y軸的負半軸上，故選B. 例3、作出函數(shù)y=3x＋1的圖象，根據(jù)圖象，回答：（1）x取什么值時，函數(shù)值y大于零？（2）x取什么值時，函數(shù)值y小于零？（3）x取什么值時，函數(shù)值y小于－2？ 解： 　　函數(shù)y=3x＋1的圖象如圖所示，由圖象可知（1）當時，y>0；（2）當時，y<0；（3）當x<－1時，y<－2. 例

34、4、已知直線y=kx＋b過點A（－1，5），且平行于直線y=－x＋2.（1）求直線的解析式；（2）B（m，－5）在這條直線上，O為原點，求m的值及S△AOB. 解： 　?。?）由兩直線平行，得k=－1.易求b=4.所以y=－x＋4； 　　（2）把B（m，－5）代入y=－x＋4，得m=9.可求y=－x＋4與y軸的交點為C（0，4），則S△AOB=S△ACO＋S△BCO. 　　所以S=×|－1|×4＋×9×4=20.如圖所示. 例5、某市電力公司為了鼓勵居民用電，采用分段計費的方法計算電費：每月用電不超過100度，按每度0.57元計費；每月用電超過100度，前100度仍按原標準收費，

35、超過部分按每度0.50元計費. 　?。?）設(shè)月用x度電時，應(yīng)交電費y元，當x≤100和x>100時，分別寫出y(元)關(guān)于x(度)的函數(shù)關(guān)系式； 　?。?）小王家第一季度交納電費情況如下： 月份 一月份 二月份 三月份 合計 交費金額 76元 63元 45元6角 184元6角 　　問：小王家第一季度用電多少度？ 分析： （1）當x≤100時，費用為0.57x元，當x>100時， 　　前100度應(yīng)交電費100×0.57=57元， 　　剩下的(x－100)度應(yīng)交電費0.50 (x－100). （2）從交費情況看，一、二月份用電均超過100度，三月份用電不足100度

36、. 解： （1）當x≤100時，y=0.57x， 　　當x>100時，y=0.5x＋7. （2）顯然一、二月份用電超過100度，三月份用電不足100度， 　　故將y=76代入y=0.5x＋7中得x=138（度） 　　將y=63代入y=0.5x＋7中，得x=112（度） 　　將y=45.6代入y=0.57x中，得x=80（度） 故小王家第一季度用電138＋112＋80=330（度）. 練習題 1．下列說法正確的是（ ） A．正比例函數(shù)是一次函數(shù) B．一次函數(shù)是正比例函數(shù) C．正比例函數(shù)不是一次函數(shù) D．不是正比例函數(shù)就不是一次函數(shù) 2．下列

37、函數(shù)中，y是x的一次函數(shù)的是（ ） A．y=-3x+5 B．y=-3x2 C．y= D．y=2 3．已知等腰三角形的周長為20cm，將底邊y（cm）表示成腰長x（cm）的函數(shù)關(guān)系式是y=20-2x，則其自變量的取值范圍是（ ） A．00 D．一切實數(shù) 4． 一次函數(shù)y=kx+b滿足x=0時，y=-1；x=1時，y=1，則這個一次函數(shù)是（ ） A．y=2x+1 B．y=-2x+1 C．y=2x-1 D．y=-2x-1 5.已知一次函數(shù)y=mx+│m

38、+1│的圖象與y軸交于（0，3），且y隨x值的增大而增大，則m的值為（ ） A．2 B．-4 C．-2或-4 D．2或-4 6．已知一次函數(shù)y=mx-（m-2）過原點，則m的值為（ ） A．m>2 B．m<2 C．m=2 D．不能確定 7.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（-2，-1），且與直線y=2x-3平行，則此函數(shù)的解析式為（ ） A．y=x+1 B．y=2x+3 C．y=2x-1 D．y=-2x-5 8．已知一次函數(shù)y=kx+b，當x=1時，y=2，且它的圖象與y軸交

39、點的縱坐標是3，則此函數(shù)的解析式為（ ） A．0≤x≤3 B．-3≤x≤0 C．-3≤x≤ D．不能確定 參考答案：1．A． 2．A 3．B 4．C 5.A 6．C 7B 8.C 9.如果一次函數(shù)y=（m-3）x+m2-9是正比例函數(shù)，則m的值為_________． 10.函數(shù)y=kx+b的圖象平行于直線y=-2x，且與y軸交于點（0，3），則k=______，b=_______． 11．已知函數(shù)y=（k-1）x+k2-1，當k________時，它是一次函數(shù)，當k=_______時，它是正比例函數(shù)． 12．從甲地向乙地打長途電話，按時間收

40、費，3分鐘內(nèi)收費2.4元，每加1分鐘加收1元，若時間t≥3（分）時，電話費y（元）與t之間的函數(shù)關(guān)系式是_________． 13．已知A、B、C是一條鐵路線（直線）上順次三個站，A、B兩站相距100千米，現(xiàn)有一列火車從B站出發(fā)，以75千米/時的速度向C站駛?cè)ィO(shè)x（時）表示火車行駛的時間，y（千米）表示火車與A站的距離，則y與x的關(guān)系式是_________． 參考答案 9．-3 10.-2,3 11.≠1；-1 12.y=t-0.6（t≥3）13．y=75x+100 14．某電信公司的一種通話收費標準是：不管通話時間多長，每部手機每月必須

41、繳月租費50元，另外，每通話1分繳費0.25元．（1）寫出每月應(yīng)繳費用y（元）與通話時間x（分）之間的關(guān)系式；（2）某用戶本月通話120分鐘，他的費用是多少元？（3）若某用戶本月預(yù)交了200元，那么該用戶本月可以通話多長時間？ 15．小明用的練習本可在甲、乙兩個商店內(nèi)買到，已知兩個商店的標價都是每個練習本1元，但甲商店的優(yōu)惠條件是：購買10本以上，從第11本開始按標價的70%賣；乙商店的優(yōu)惠條件是：從第1本開始就按標價的85%賣． （1）小明要買20個練習本，到哪個商店購買較省錢？ （2）寫出甲、乙兩個商店中，收款y（元）關(guān)于購買本數(shù)x（本）（x>10）的關(guān)

42、系式，它們都是正比例函數(shù)嗎？ （3）小明現(xiàn)有24元錢，最多可買多少個本子？ 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點A（-6，0），與y軸交于點B，若△AOB的面積是12，且y隨x的增大而減小，你能確定這個一次函數(shù)的關(guān)系式嗎？ 16． 某一次函數(shù)的圖象與直線y=6-x交于點A（5，k），且與直線y=2x-3無交點，求此函數(shù)的關(guān)系式． 參考答案 14.y=4x-3 15．①y=x+5；②12.5 16.y=2x-9 第四部分 整式乘除與因式分解 一．回顧知識點 1、主要知識回顧： 冪的運算性質(zhì)： am·an＝am＋n （m、n為正整數(shù)）

43、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加． ＝ amn （m、n為正整數(shù)） 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘． （n為正整數(shù)） 積的乘方等于各因式乘方的積． ＝ am－n （a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m＞n） 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減． 零指數(shù)冪的概念： a0＝1 （a≠0） 任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l． 負指數(shù)冪的概念： a－p＝ （a≠0，p是正整數(shù)） 任何一個不等于零的數(shù)的－p（p是正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)． 也可表示為：（m≠0，n≠0，p為正整數(shù)） 單項式的乘法法則： 單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)

44、冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式． 單項式與多項式的乘法法則： 單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加． 多項式與多項式的乘法法則： 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加． 單項式的除法法則： 單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式． 多項式除以單項式的法則： 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加． ?2、乘法公式： ①平方差公式：

45、（a＋b）（a－b）＝a2－b2 文字語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差． ②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 文字語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍． ?3、因式分解： 因式分解的定義． 把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解． 掌握其定義應(yīng)注意以下幾點： （1）分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可； （2）因式分解必須是恒等變形；

46、 （3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止． 弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系． 因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式． ?二、熟練掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法 （1）掌握提公因式法的概念； （2）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)； （3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來

47、檢驗是否漏項． （4）注意點：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項式的第一項的系數(shù)是負的，一般要提出“－”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的． ?2、公式法 運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 經(jīng)典例題分析： 例1、計算下列各式 　?。?）（－x）2n＋1·（－x）n＋1 ?。?）（－2）2004＋（－2）2005

48、 　　 例2、若(x2＋px＋q)(x2－3x＋2)的乘積中不含x2和x3項，求p、q的值. 分析： 　　缺項就是多項式中此項的系數(shù)為零，此題中不含x2和x3項，也就是x2和x3項的系數(shù)為0. 解：∵(x2＋px＋q)(x2－3x＋2)中 　　x2項的系數(shù)為2－3p＋q=0 　　x3項的系數(shù)為p－3=0 　　 例3、計算： 　　(1)98×102；　　　(2)99×101×10001. 解：(1)98×102 　　?。?100－2)(100＋2) 　　?。?0000－4＝9996 　　(2)99×101×10001＝(100－1)(100＋1)×10001

49、 　　　＝(10000－1)(10000＋1) 　　?。?00000000－1＝99999999 計算： 　　(1)32a6÷4a2； 　　(2)6x7y5z÷16x4y3； 　　 　　(4)－3a2x4y5÷(axy2)2 計算： 　　(1)32a6÷4a2； 　　(2)6x7y5z÷16x4y3； 　　 (4)－3a2x4y5÷(axy2)2 ：(1)原式=(32÷4)(a6÷a2) 　　　　　 =8a4； 　　(2)原式=(6÷16)(x7÷x4)( y5÷y3)z 　　　　　 　　 　　(4)原式=－3a2x4y5÷a2x2y4 　　　　　 =－

50、3(a2÷a2)(x4÷x2)(y5÷y4) 　　　　　 =－3x2y 完成下列各題： 　　(1)已知xm=8，xn=5，求xm－n的值； 　　(2)已知xm=a，xn=b，求x2m－3n的值； 　　(3)已知3m=6，9n=2，求32m－4n＋1的值. 解：(1)∵xm=8，xn=5， 　　　 ∴xm－n= xm÷xn=8÷5= 　　(2)∵xm=a，xn=b 　　　 ∴x2m－3n= x2m÷x3n=(xm)2÷(xn)3 　　　 =a2÷b3= 　　(3)∵3m=6，9n=32n=2 　　　 ∴32m－4n＋1=(3m)2÷(32n)2×3 　　　 =62÷22

51、×3 　　　 =36××3=27 已知a＋b=4， ab=2，不解方程組，求(1)(a－b)2；(2)a3b－2a2b2＋ab3的值. 解：(1)(a－b)2=a2＋b2－2ab=(a＋b)2－4ab 　　　　當a＋b=4， ab=2時， 　　　　(a－b)2=42－4×2=8 　　(2)a3b－2a2b2＋ab3=ab(a2－2ab＋b2)=ab(a－b)2= ab[(a＋b)2－4ab] 　　　　當a＋b=4， ab=2時， 　　　　原式=2×(42－4×2)=16 練習題 1、括號內(nèi)應(yīng)填（ ） A、 B、 C、 D、 2、下列計算正確

52、的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、在 （4）中錯誤的有（ ） A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 4、下列各式中，能用平方差公式計算的是（ ） A、 B、 C、 D、 5、如果：（ ） A、 B、 C、 D、 6、計算：1.992－1.98×1.99+0.992得（ ） A、0 B、1 C、8.

53、8804 D、3.9601 7、如果可運用完全平方公式進行因式分解，則k的值是（ ） A、8 B、16 C、32 D、64 8、(x2+px+8)(x2-3x+q)乘積中不含x2項和x3項,則p,q的值 ( ) A、p=0,q=0 B、p=3,q=1 C、p=–3,–9 D、p=–3,q=1 9、對于任何整數(shù)，多項式都能（ 　　） A、被8整除 B、被整除 C、被－1整除 D、被（2-1）整除 10．已知多項式，且A+B+C

54、=0，則C為（ ） A、 B、 C、 D、 11、 =（3+ ）2 12、2012= , 48×52= 。 13、。 14、。 15、, 。 16．已知與是同類項，則5m+3n的值是　　　?。? 17、如果 。 參考答案：DBCBC BBBAB 11．；12．40401，2496；13；14．；15．；16．13；17．； 18.解答題： 1.計算： 2.化簡求值： （其中） 參考答案 1. 2.原式化簡值結(jié)果不含x，y字母，即原式=0.∴無論x,y取何值，原式的值均為常數(shù)0. 24