《2年中考1年模擬備戰(zhàn)2018年中考數學 第一篇 數與式 專題03 因式分解（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2年中考1年模擬備戰(zhàn)2018年中考數學 第一篇 數與式 專題03 因式分解（含解析）（19頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第一篇 數與式 專題03 因式分解 ?解讀考點 知　識　點 名師點晴 因式分解的概念 就是把一個多項式化為幾個整式的乘積的形式． 因式分解與整式乘法是互逆運算． 因式分解是將一個多項式化成幾個整式積的形式的恒等變形，若結果不是積的形式，則不是因式分解，還要注意分解要徹底． 因式分解的方法 1．提取公因式法：ma＋mb－mc=m（a+b-c） 確定好公因式是解題的關鍵 2．公式法： （1）平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； （2）完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2. 要熟記公式的特點，兩項式時考慮平方差公式，三項式進

2、考慮完全平方公式化． 3．十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q） 這個是課后的內容，不做硬性的要求，熟練運用在高中學習就會輕松許多．一定要熟記公式的特點． 因式分解的步驟 一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 要分解到不能在分解為止． ?2年中考 【2017年題組】 一、選擇題 1．（2017湖南省常德市）下列各式由左到右的變形中，屬于分解因式的是（　　） A．a（m+n）=am+an　　　　　　B． C．　　　D． 【答案】C． 【解析】 考點：因式分解的意義． 二、填空題 2．

3、（2017廣東?。┓纸庖蚴剑? ． 【答案】a（a+1）． 【解析】 試題分析：直接提取公因式分解因式得出即可． 試題解析：=a（a+1）．故答案為：a（a+1）． 考點：因式分解﹣提公因式法． 3．（2017吉林?。┓纸庖蚴剑? ． 【答案】． 【解析】 試題分析：=．故答案為：． 考點：1．因式分解﹣運用公式法；2．因式分解． 4．（2017四川省內江市）分解因式：= ． 【答案】 ． 【解析】 試題分析：==．故答案為：． 點睛：本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用

4、完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 5．（2017四川省內江市）若實數x滿足，則= ． 【答案】﹣2020． 【解析】 點睛：本題考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知條件的形式是解題的關鍵，整體代入思想的利用比較重要． 考點：1．因式分解的應用；2．降次法；3．整體思想． 6．（2017廣西百色市）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次項系數2=1×2； （2）常數項﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），驗算：“交叉相乘之和”； 　1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1

5、）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5 （3）發(fā)現第③個“交叉相乘之和”的結果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次項系數﹣1． 即：，則． 像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式： ． 【答案】（x+3）（3x﹣4）． 【解析】 試題分析：根據“十字相乘法”分解因式得出=（x+3）（3x﹣4）即可． 試題解析：=（x+3）（3x﹣4）．故答案為：（x+3）（3x﹣4）． 考點：1．因式分解﹣十字相乘法等；2．閱讀型． 7．（2017貴州省黔東南州）在實數范圍內因式

6、分解：= ． 【答案】． 【解析】 考點：實數范圍內分解因式． 三、解答題 8．（2017棗莊）我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）=． 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）如果一個正整數m是另外一個正整數n的平方，我們稱正整數m是完全平方數． 求證：對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1； （2）如果一個兩位正整數t

7、，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”； （3）在（2）所得“吉祥數”中，求F（t）的最大值． 【答案】（1）證明見解析；（2）15，26，37，48，59；（3）． 【解析】 試題分析：（1）對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數），找出m的最佳分解，確定出F（m）的值即可； （2）設交換t的個位上數與十位上的數得到的新數為t′，則t′=10y+x，由“吉祥數”的定義確定出x與y的關系式，進而求出所求即可； （3）利用“吉祥數”的定義分

8、別求出各自的值，進而確定出F（t）的最大值即可． 試題解析：（1）對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴對任意一個完全平方數m，總有F（m）==1； （2）設交換t的個位上數與十位上的數得到的新數為t′，則t′=10y+x，∵t是“吉祥數”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數，∴滿足“吉祥數”的有：15，26，37，48，59； （3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥數”中，F（t）的最大值為．

9、 點睛：此題考查了因式分解的應用，弄清題中“吉祥數”的定義是解本題的關鍵． 考點：1．因式分解的應用；2．新定義；3．因式分解；4．閱讀型． 9．（2017重慶）對任意一個三位數n，如果n滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”，將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F（n）．例如n=123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）

10、計算：F（243），F（617）； （2）若s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數），規(guī)定：k=，當F（s）+F（t）=18時，求k的最大值． 【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）． 【解析】 試題解析：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9； F（617）=（167+716+671）÷111=14． （2）∵s，t都是“相異數”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y

11、+51+105+10y）÷111=y+6． ∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7． ∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數，∴或或或或或． ∵s是“相異數”，∴x≠2，x≠3． ∵t是“相異數”，∴y≠1，y≠5，∴或或，∴或或，∴k==或k==1或k==，∴k的最大值為． 點睛：本題考查了因式分解的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）根據F（n）的定義式，求出F（243）、F（617）的值；（2）根據s=100x+32、t=150+y結合F（s）+F（t）=18，找出關于x、y的二元一次方程． 考點：1．因式分解的應用；

12、2．二元一次方程的應用；3．新定義；4．閱讀型；5．最值問題；6．壓軸題． 【2016年題組】 一、選擇題 1．（2016吉林省長春市）把多項式分解因式，結果正確的是（　?。? A．　　　　B．　　　　C．（x+3）（x﹣3）　　　　D．（x+9）（x﹣9） 【答案】A． 【解析】 考點：因式分解-運用公式法． 2．（2016山東省濱州市）把多項式分解因式，得（x+1）（x﹣3）則a，b的值分別是（　?。? A．a=2，b=3　　　　　　B．a=﹣2，b=﹣3　　　　　　C．a=﹣2，b=3　　　　　　D．a=2，b=﹣3 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵（

13、x+1）（x﹣3）=，∴=，∴a=﹣2，b=﹣3．故選B． 考點：因式分解的應用． 3．（2016山東省濰坊市）將下列多項式因式分解，結果中不含有因式a+1的是（　?。? A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 考點：因式分解的意義． 4．（2016山東省聊城市）把進行因式分解，結果正確的是（　?。? A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】C． 【解析】 試題分析：==．故選C． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 5．（2016廣西賀州市）n是整數，式子計算的結果（　?。? A．是0　　　　B．總是奇數　　　　C．

14、總是偶數　　　　D．可能是奇數也可能是偶數 【答案】C． 【解析】 試題分析：當n是偶數時，==0，當n是奇數時，==，設n=2k﹣1（k為整數），則==k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k為整數）都是偶數，故選C． 考點：1．因式分解的應用；2．探究型；3．分類討論． 6．（2016湖北省宜昌市）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，，分別對應下列六個字：昌、愛、我、宜、游、美，現將因式分解，結果呈現的密碼信息可能是（　　） A．我愛美　　　　B．宜晶游　　　　C．愛我宜昌　　　　D．美我宜昌 【答案】C． 【解析】 試

15、題分析：∵==，∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四個代數式分別對應愛、我，宜，昌，∴結果呈現的密碼信息可能是“愛我宜昌”，故選C． 考點：因式分解的應用． 7．（2016福建省廈門市）設681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，則a，b，c的大小關系是（　?。? A．b＜c＜a　　　　　　B．a＜c＜b　　　　　　C．b＜a＜c　　　　　　D．c＜b＜a 【答案】A． 【解析】 考點：因式分解的應用． 二、填空題 8．（2016云南?。┮蚴椒纸猓? ． 【答案】（x+1）（x﹣1）．

16、 【解析】 試題分析：原式=（x+1）（x﹣1）．故答案為：（x+1）（x﹣1）． 考點：1．因式分解-運用公式法；2．因式分解． 9．（2016內蒙古巴彥淖爾市）分解因式：=_____________． 【答案】． 【解析】 試題分析：==．故答案為：． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 10．（2016北京市）下圖中的四邊形均為矩形，根據圖形，寫出一個正確的等式： ． 【答案】am+bm+cm=m（a+b+c）． 【解析】 試題分析：由題意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．故答案為：am+bm+cm=m（a+b+c）． 考點：因式分解-提

17、公因式法． 11．（2016四川省宜賓市）分解因式：= ． 【答案】． 【解析】 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 12．（2016四川省巴中市）把多項式分解因式的結果是 ． 【答案】m（4m+n）（4m﹣n）． 【解析】 試題分析：原式==m（4m+n）（4m﹣n）．故答案為：m（4m+n）（4m﹣n）． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 13．（2016山東省威海市）分解因式：= ． 【答案】3（a+b）（a﹣b）． 【解析】

18、試題分析：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案為：3（a+b）（a﹣b）． 考點：因式分解-運用公式法． 14．（2016山東省煙臺市）已知，則的值為 ． 【答案】﹣4． 【解析】 試題分析：∵，∴x﹣y+2=0，x+y﹣2=0，∴x﹣y=﹣2，x+y=2，∴=（x﹣y）（x+y）=﹣4．故答案為：﹣4． 考點：1．因式分解-運用公式法；2．非負數的性質：絕對值；3．非負數的性質：算術平方根；4．整體思想． 15．（2016廣東省深圳市）分解因式：= ． 【答案】． 【解析】 試題

19、分析：原式==．故答案為：． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 16．（2016廣西賀州市）將分解因式的結果是 ． 【答案】m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）． 【解析】 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 17．（2016江蘇省常州市）分解因式：= ． 【答案】． 【解析】 試題分析：==．故答案為：． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 18．（2016江蘇省南京市）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ． 【答案】

20、（b+c）（2a﹣3）． 【解析】 試題分析：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案為：（b+c）（2a﹣3）． 考點：因式分解-提公因式法． 19．（2016浙江省杭州市）若整式（k為不等于零的常數）能在有理數范圍內因式分解，則k的值可以是 （寫出一個即可）． 【答案】﹣1． 【解析】 考點：因式分解-運用公式法． 20．（2016湖南省株洲市）分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x= ． 【答案】（x+4）（x﹣4）． 【解析】 試題分析：原式===（x+4）（x﹣4）．故答案為：（x+4）（x﹣4）． 考

21、點：因式分解-運用公式法． 21．（2016貴州省黔東南州）分解因式：= ． 【答案】x（x+4）（x﹣5）． 【解析】 試題分析：原式==x（x+4）（x﹣5）．故答案為：x（x+4）（x﹣5）． 考點：1．因式分解-十字相乘法等；2．因式分解-提公因式法． 22．（2016湖北省荊門市）分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ． 【答案】（m+3）（m﹣3）． 【解析】 試題分析：（m+1）（m﹣9）+8m===（m+3）（m﹣3）．故答案為：（m+3）（m﹣3）． 考點：因

22、式分解-運用公式法． 23．（2016貴州省畢節(jié)市）分解因式：= ． 【答案】． 【解析】 試題分析：原式===． 故答案為：． 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 三、解答題 24．（2016黑龍江省大慶市）已知a+b=3，ab=2，求代數式的值． 【答案】18． 【解析】 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． ?考點歸納 歸納 1：因式分解的有關概念 基礎知識歸納： 因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算． 注意問題

23、歸納： 1. 符合因式分解的等式左邊是多項式，右邊是整式積的形式． 2．因式分解與整式乘法是互逆運算． 【例1】下列式子從左到右變形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】利用因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式，進而判斷得出即可． 【點評】此題主要考查了因式分解的意義，正確把握因式分解的意義是解題關鍵． 考點：因式分解的有關概念． 歸納 2：提取公因式法分解因式 基礎知識歸納： 將多項式各項中的公因式提出來這個方法是提公因式法，公因式

24、系數是各項系數的最大公約數，相同字母取最低次冪． 提取公因式法：ma＋mb－mc=m（a+b-c） 注意問題歸納： 1. 提公因式要注意系數； 2. 要注意查找相同字母，要提凈． 【例2】（2017貴州省安順市）已知，，則的值為 ． 【答案】 ． 【分析】根據，，可以求得的值． 【解析】∵，，∴=xy（x+y）= ==.故答案為：． 【點評】本題考查因式分解的應用，解答本題的關鍵是明確因式分解的方法，利用題目中的已知條件解答． 考點：因式分解的應用． 【例3】（2017遼寧省沈陽市）因式分解：= ． 【答案】a（3a+1）． 【分析】直接提公因

25、式a即可． 【點評】此題主要考查了提公因式法進行因式分解，關鍵是正確確定公因式． 考點：因式分解﹣提公因式法． 歸納 3：運用公式法分解因式 基礎知識歸納： 運用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）； 運用完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2． 注意問題歸納：首先要看是否有公因式，有公因式必須要先提公因式，然后才能運用公式，注意公式的特點，要選項擇合適的方法進行因式分解． 【例4】（2017江蘇省鎮(zhèn)江市）分解因式：= ． 【答案】（3+b）（3﹣b）． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解析】原式=（3+b）（3﹣b），故答案為：

26、（3+b）（3﹣b）． 【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵． 考點：1．因式分解﹣運用公式法；2．因式分解． 【例5】（2017山東省濟南市）分解因式：= ． 【答案】． 【分析】直接用完全平方公式分解即可． 【解析】=．故答案為：． 【點評】本題主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2． 考點：因式分解﹣運用公式法． 歸納 4：綜合運用多種方法分解因式 基礎知識歸納： 因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解必須有平方項，如果

27、是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數乘積的2倍，如果沒有兩數乘積的2倍還不能分解．解答這類題時一些學生往往因分解因式的步驟、方法掌握不熟練，對一些乘法公式的特點記不準確而誤選其它選項． 注意問題歸納：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解徹底． 【例6】（2017遼寧省鞍山市）分解因式的結果是 ． 【答案】2y（x+2）（x﹣2）． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵． 考點：1．提公因式法與公式法的綜合運用；2．因式分解．

28、【例7】分解因式：． 【答案】． 【分析】此類型分組的關鍵：分組后，每組內可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提．解法一：第一、二項為一組；第三、四項為一組；解法二：第一、四項為一組；第二、三項為一組． 【解析】解法一：原式===； 解法二：原式===． 【點評】二二分組有三種可能分組方法：①②一組，③④為一組或①③一組，②④為一組或①④一組，②③為一組；可以多試一下． 考點：因式分解的意義． 【例8】分解因式：（1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能

29、另外分組； （2）前三項作為一組，最后一項作為一組，先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解即可． 【點評】對于三一分組，一組的三項必須能夠應用完全平方公式，然后再用平方差公式． 考點：因式分解的意義． 【例9】分解因式：（1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于5． 由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），從中可以發(fā)現只有2×3的分解適合，即2+3=5． （2）將y看成常數，把原多項式看成關于x的二次三項式，利用十字相乘法進行分解； （3）把看作一個整體． 【解

30、析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=． 【點評】先按某個字母降冪排列后，再用口訣：首尾分解放兩邊，斜乘相加湊中間．有些時候需要多試幾次．對于齊次多項式的分解，可以將其中一個字母看成常數，把原多項式看成關于另一個字母的二次三項式，然后利用十字相乘法進行分解． 考點：因式分解的意義． ?1年模擬 一、選擇題 1．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（　?。? A． 　　　　　　B． C． 　　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 考點：因式分解的意義． 二、填空題 2．分解因式：= ． 【答案】x（x﹣1）． 【解析】 試題分析：首

31、先提取公因式x，進而分解因式得出答案． 試題解析：=x（x﹣1）．故答案為：x（x﹣1）． 考點：因式分解﹣提公因式法． 3．分解因式：= ． 【答案】（x+5）（x﹣5）． 【解析】 試題分析：直接利用平方差公式分解即可． 試題解析：=（x+5）（x﹣5）．故答案為：（x+5）（x﹣5）． 考點：因式分解﹣運用公式法． 4．分解因式：= ． 【答案】2x（x+2）（x﹣2）． 【解析】 考點：提公因式法與公式法的綜合運用． 5．因式分解：= ． 【答案】（x+1）（x﹣2）． 【解析】 試題分析：通過兩次提取公因式來進行因式分

32、解． 試題解析：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．故答案為：（x+1）（x﹣2）． 考點：因式分解﹣提公因式法． 三、解答題 6．已知非零實數a，b滿足a+b=3，，求代數式的值． 【答案】6． 【解析】 試題分析：將a+b=3代入求得ab的值，然后將其代入所求的代數式進行求值． 試題解析：∵，a+b=3，∴ab=2，∴=ab（a+b）=2×3=6． 考點：1．因式分解的應用；2．分式的加減法． 7．由多項式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式： 示例：分解因式： （1）嘗試：分解因式：______）； （2）應

33、用：請用上述方法解方程：． 【答案】（1）2，4；（2）x=﹣1或x=4． 【解析】 考點：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．因式分解﹣十字相乘法等． 8．發(fā)現 任意五個連續(xù)整數的平方和是5的倍數． 驗證 （1）的結果是5的幾倍？ （2）設五個連續(xù)整數的中間一個為，寫出它們的平方和，并說明是5的倍數． 延伸 任意三個連續(xù)整數的平方和被3整除余數是幾呢？請寫出理由． 【答案】（1）3；（2）見解析；延伸 2，理由見解析． 【解析】 試題分析：（1）直接計算這個算式的值；（2）先用代數式表示出這幾個連續(xù)整數的平方和，再化簡，根據代數式的形式作出結論． 試題解析： （1）∵=1+0+1+4+9=15=5×3，∴結果是5的3倍． （2）． ∵n為整數，∴這個和是5的倍數． 延伸 余數是2． 理由：設中間的整數為n，被3除余2． 考點：1．因式分解的應用；2．完全平方公式；3．整式的加減． 19