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1、1數列的概念數列的概念收斂數列的性質收斂數列的性質小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 數列極限的概念數列極限的概念概念的引入概念的引入第二節(jié)第二節(jié) 數列的極限數列的極限第一章第一章 函數與極限函數與極限2一、概念的引入一、概念的引入 極限概念是從常量到變量極限概念是從常量到變量,從有限到無限從有限到無限, 即從初等數學過渡到高等數學的關鍵即從初等數學過渡到高等數學的關鍵. 極限的思想源遠流長極限的思想源遠流長.莊子莊子(約公元前約公元前355275年年)在在天下篇天下篇 “一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,萬世不竭萬世不竭”.意思是意思是:一尺長的棍子一尺長的棍子,第一天取其一半第一天取其一半

2、, 第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,這樣永遠也取不完這樣永遠也取不完.數列的極限數列的極限 中寫道中寫道:3劉徽劉徽(三世紀三世紀)的的“割圓術割圓術”中說中說:意思是意思是:設給定半徑為設給定半徑為1尺的圓尺的圓,從圓內接正從圓內接正6邊邊形開始形開始,每次把邊數加倍每次把邊數加倍,屢次用勾股定理屢次用勾股定理.求出求出正正12邊形、邊形、等等正多邊形的邊長等等正多邊形的邊長,正正24邊形邊形.邊數越多邊數越多, 圓內接正多邊形越與圓接近圓內接正多邊形越與圓接近,最后與最后與圓周重合圓周重合, 則正多邊形周長與圓周長就沒有誤則正多邊

3、形周長與圓周長就沒有誤差了差了.數列的極限數列的極限 “割之彌細割之彌細,所失彌少所失彌少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,則與圓周合體則與圓周合體,而無所失矣而無所失矣.”4正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASR數列的極限數列的極限5如如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n定義定義 按照自然數的順序排列的一列數按照自然數的順序排列的一列數,21nxxx簡記為簡記為的的稱為數列稱為數列其中其中nnxx通項通項(generalterm),或者或者一般項一般項.,nx數

4、列的極限數列的極限二、數列二、數列 (sequence of number) 的概念的概念6可看作一動點在數軸上依次取可看作一動點在數軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn 數列的數列的(兩種兩種)幾何表示法幾何表示法:數列可看作自變量為正整數數列可看作自變量為正整數 n的函數的函數: )(nfxn 整標函數整標函數或或下標函數下標函數(1)數列對應著數列對應著數軸上一個點列數軸上一個點列.數列的極限數列的極限7(2) 在平面上在平面上畫出自變量坐標軸和因變量坐標軸畫出自變量坐標軸和因

5、變量坐標軸,注注 不可將這串點連成曲線不可將這串點連成曲線.onxn 1 2 3 4則數列的幾何意義是則數列的幾何意義是數列的極限數列的極限平面上平面上一串分離一串分離的點的點. .8三、數列極限三、數列極限的概念的概念.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當研究數列研究數列 nnn即即,511,411,311,211, 11 56,43,34,21, 2問題問題當當 無限增大無限增大時時, 是否是否無限接近無限接近于某一于某一確定的數值確定的數值?nxn如果是如果是,當當n無限增大無限增大時時, nx無限接近無限接近于于1.數列的極限數列的極限如何確定如何確定?9如何用數學語言刻劃它如何用數

6、學語言刻劃它.1 nx1)1)1(1(1 nn1 nx可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,則要看則要看1 nx“無限接近無限接近” 意味著什么意味著什么?|.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當研究數列研究數列 nnnn1 只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.數列的極限數列的極限當當n無限增大無限增大時時, 無限接近無限接近于于1.nx10,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有, 0

7、 給給定定,)1(時時只要只要 Nn.1成成立立有有 nxnxn1|1| 數列的極限數列的極限11定義定義 如果對于任意給定的正數如果對于任意給定的正數 (不論它多么小不論它多么小), 總存在正整數總存在正整數N, 使得對于使得對于 時的一切時的一切Nn ,nx不等式不等式 axn成立成立. 收斂收斂于于a (converge to a) . nx或稱數列或稱數列 記為記為,limaxnn 或或).( naxn那末就稱常數那末就稱常數a是數列是數列nx的的極限極限(limit),如果數列沒有極限如果數列沒有極限,就說數列就說數列發(fā)散發(fā)散(diverge).數列的極限數列的極限12,有有關關與與

8、給給定定的的 N注注xn有沒有極限有沒有極限, 一般地說一般地說,是是任任意意給給定定的的正正數數 但是一旦給出之后但是一旦給出之后,它就是確定了它就是確定了;主要看主要看“后面后面”的無窮多項的無窮多項. axn有有,時時當當Nn , 0 , 0 NN 定義定義 采用采用邏輯符號邏輯符號將將axnn lim的定義可縮寫為的定義可縮寫為:數列的極限數列的極限(1)(2)(3)(4)“前面前面” 的有限項不起作用的有限項不起作用,;的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn ;,將越大將越大越小越小 N 13x1x2x2 Nx1 Nx3x數列極限的幾何意義數列極限的幾何意義 2

9、 a aa,時時當當Nn 數列極限的定義通常是用來進行推理數列極限的定義通常是用來進行推理注注需要預先知道極限值是多少需要預先知道極限值是多少.和證明極限和證明極限,而不是用來求極限而不是用來求極限, 因為這里因為這里.)(落落在在其其外外個個至至多多只只有有只只有有有有限限個個N數列的極限數列的極限 axan)(Nn ),( aUxn axn即即)(Nn ,),(內內都落在都落在所有的點所有的點 aaxn14例例. 1)1(lim1 nnnn證證明明1)1(1 nnnn1 , 0 ,1 nx要要,1 n只只要要 1n或或所以所以,1 N取取,時時則當則當Nn 1)1(1nnn有有. 1)1(

10、lim1 nnnn即即證證1 nx 雖然是可以任意小的正數雖然是可以任意小的正數,但使用定義證題但使用定義證題時時,對于給定的對于給定的 總暫時認為它是固定的總暫時認為它是固定的,按照這按照這個個 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N. , 解不等式解不等式 數列的極限數列的極限15例例證明數列證明數列 以以 0為為極限極限.）、321(2cos1 nnnxn , 0 證證要使要使02cos10 nnxn由于由于02cos1 nn,1 n只只要要,1 n或或,1 N取取,時時則當則當Nn 有有.02cos1 nn02cos1lim nnn即即 為了簡化解不等式的運算為了簡化解不等式的運算,常

11、常常把常把 作適當地放大作適當地放大.axn . 2cos1 nnn1 數列的極限數列的極限用定義證數列極限存在時用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給關鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 16例例.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數數設設證證Cxn CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以,0 ,n對于一切自然數對于一切自然數.limCxnn 說明說明 常數列的極限等于同一常數常數列的極限等于同一常數.數列的極限數列的極限17例例. 10, 0lim qqnn其其中中證證明明證證0 ,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則則當

12、當Nn ,0 nq有有. 0lim nnq,lnlnqn 為了使為了使只需使只需使),10( 不妨設不妨設數列的極限數列的極限181. 有界性有界性如如,1 nnxn數數列列nnx2 數數列列有界有界;無界無界.定義定義,nx對對數數列列若存在正數若存在正數M,|成成立立Mxn 數數n,恒有恒有稱為無界稱為無界.則稱數列則稱數列 有界有界;nx 數軸上對應于有界數列的點數軸上對應于有界數列的點 都落在都落在nx,MM 閉區(qū)間閉區(qū)間 上上.否則否則,使得一切自然使得一切自然數列的極限數列的極限四、四、收斂數列的性質收斂數列的性質19定理定理1 1證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取

13、, 1, axNnNn時恒有時恒有使得當使得當則則. 11 axan即即有有,max,n則則對對一一切切自自然然數數 .有界有界故故nx有界性是數列收斂的必要條件有界性是數列收斂的必要條件, 推論推論注注收斂收斂的數列必定有界的數列必定有界. .數列的極限數列的極限無界數列必定發(fā)散無界數列必定發(fā)散. .不是充分條件不是充分條件.,1 a1 a M記記,|,|1x|,|2x|,|Nx,Mxn 皆有皆有202. 唯一性唯一性定理定理2 2證證,limaxnn 設設由定義由定義,;1 axNnn時時恒恒有有當當;2 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn |baax

14、bxnn .2 時時僅僅當當ba 故收斂數列極限唯一故收斂數列極限唯一.每個每個收斂收斂的數列只有一個極限的數列只有一個極限. .)()(axbxnn ,limbxnn 又又數列的極限數列的極限才能成立才能成立., 021NN 使得使得21例例.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的數列數列證明證明 nnx證證,21 取取, 0 N則則,時時即即當當Nn 區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩個數兩個數無休止地反復取無休止地反復取而而 nx不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的區(qū)間內的區(qū)間內.,是有界的是有界的nx數列的極限數列的極限21 a21 aa,時時當當Nn ,21成立成立有有 axn 反證法反

15、證法假設數列假設數列nx收斂收斂， 則有唯一極限則有唯一極限a 存在存在. .),21,21( aaxn但卻發(fā)散但卻發(fā)散. .22數列的極限數列的極限3. 保號性保號性定理定理3 3 如果如果,limaxnn 且且0 a, 0 N則則,Nn 當當0 nx有有),0( a).0( nx證證0 a由定義由定義, 02 a ,時時當當Nn 對對, 0 N,2aaxn 有有 從而從而 nx2aa 2a . 0 推論推論 如果數列如果數列 nx從某項起有從某項起有0 nx),0( nx且且,limaxnn 那么那么0 a).0( a用反證法用反證法23在數列在數列 中依次任意抽出中依次任意抽出無窮無窮多

16、項多項: nx,21knnnxxx所構成的新數列所構成的新數列)(21 knnn其其下下標標knx這里這里 是原數列中的第是原數列中的第 項項,kn在子數列中是在子數列中是第第k項項,k4. 收斂數列與其子數列收斂數列與其子數列(subsequence)間的關系間的關系knx的的nx子數列子數列.叫做數列叫做數列數列的極限數列的極限kn 24*, axkn證證knx是數列是數列nx的任一子數列的任一子數列. .若若,limaxnn 則則, 0 ,N ,Nn 當當 axn成立成立. .現(xiàn)取正整數現(xiàn)取正整數 K,使使,N 于是當于是當 k時時, 有有 knN 從而有從而有由此證明由此證明 .lim

17、axknk *NNx定理定理4 4設數列設數列數列的極限數列的極限, 0 正整數正整數 K, axknKnKKnKnxKnKk 收斂數列的任一子數列收斂數列的任一子數列收斂于同一極限收斂于同一極限. .25 由此定理可知由此定理可知,但若已知一個子數列發(fā)散但若已知一個子數列發(fā)散, 或有兩個子數列或有兩個子數列斂于斂于a .nx12 kx2kx收斂于不同的極限值收斂于不同的極限值,可斷定原數列是發(fā)散的可斷定原數列是發(fā)散的.數列的極限數列的極限一般不能斷定原數列的收斂性一般不能斷定原數列的收斂性;還可以證明還可以證明:數列數列的奇子數列的奇子數列和偶子數列和偶子數列均收斂于同一常數均收斂于同一常數

18、a 時時,則數列則數列nx也收也收僅從某一個子數列的收斂僅從某一個子數列的收斂(證明留給做作業(yè)證明留給做作業(yè))26例例 試證數列試證數列 不收斂不收斂. ncos證證 因為因為 的奇子數列的奇子數列 ncos不收斂不收斂.收斂于收斂于, 1, 1, 1 而偶子數列而偶子數列 , 1, 1, 1 ncos所以數列所以數列數列的極限數列的極限 收斂于收斂于, 1 , 127數列數列數列極限數列極限收斂數列的性質收斂數列的性質收斂數列與其子數列間的關系收斂數列與其子數列間的關系.五、小結五、小結數列的極限數列的極限研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;極限思想極限思想, 精確定義精確定義, 幾何意義幾何意義;有界性有界性, 唯一性唯一性,保號性保號性,28數列的極限數列的極限思考題思考題 31 axn, 0 , 0 N“”恒有恒有是數列是數列nx收斂于收斂于a的的( ). A. 充分但非必要條件充分但非必要條件B. 必要但非充分條件必要但非充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分也非必要條件既非充分也非必要條件(1)C (2).(lim,lim2 nnnnaKa則則若若KA.KB 2.2.KCD. 不確定不確定A,時時當當Nn 29作業(yè)作業(yè)習題習題1-2 (301-2 (30頁頁) ) 2. 3.(1) (3) (4) 4. 5. 6. 數列的極限數列的極限