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1、
期末復(fù)習四 因式分解
復(fù)習目標
要求
知識與方法
了解
因式分解的意義
因式分解與整式乘法之間的關(guān)系
添括號法則
理解
提取公因式法分解因式
用平方差、完全平方公式分解因式
運用
利用因式分解解決實際問題
必備知識與防范點
一、必備知識:
1. 把一個多項式化成幾個 ,叫做因式分解. 因式分解和整式乘法具有
的關(guān)系.
2. 一個多項式中每一項都含有的 ,叫做這個多項式各項的公因式. 把該公因式提取出來進行因式分解的方法,叫做 .
3. 公式法分解因式
2、a2-b2= ;
a2±2ab+b2= .
二、防范點:
1. 提取公因式法分解因式時提取的公因式要徹底,并且注意不要漏項.
2. 因式分解要注意分解到底.
例題精析
考點一 因式分解的概念
例1 (1)下列從左到右的變形,屬于因式分解的是( )
A. (a+1)(a-1)=a2-1
B. 2a-2b=2(a-b)
C. a2-2a+1=a(a-2)+1
D. a+2b=(a+b)+b
(2)下列因式分解正確的是( )
A. ab+ac+ad+1=a(b+c+d)+1
B. (x+1)(x+2)=x2+
3、3x+2
C. a3+3a2b+a=a(a2+3ab+1)
D. x2-y2=(x+y)(y-x)
反思:因式分解是把多項式變成乘積形式,判斷因式分解先要看是否符合形式,再判斷運算的正確性.
考點二 添括號
例2 下列添括號錯誤的是( )
A. 3-4x=-(4x-3)
B. (a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b)
C. -x2+5x-4=-(x2-5x+4)
D. -a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(a3+5)
反思:添括號和去括號類似,注意括號前為“-”號,括號里各項都要變號.
考點三 用提取公因式法、公式法分解因式
例3 (1)在下面
4、的多項式中,能因式分解的是( )
A. m2+n B. m2-m-1 C. m2-m+1 D. m2-2m+1
(2)將下列多項式分解因式,結(jié)果中不含因式x-1的是( )
A. x2-1 B. x(x-2)+(2-x)C. x2-2x+1 D. x2+2x+1
(3)已知多項式2x2+bx+c分解因式為2(x-3)(x+1),則b,c的值為( )
A. b=3,c=-1 B. b=-6,c=2 C. b=-6,c=-4 D. b=-4,c=-6
(4)因式分解:
①7x2-63;
②x3
5、 -6x2+9x;
③4(a-b)2-8a+8b;
④a4-8a2b2+16b4.
反思:分解因式時常先看有無公因式,再考慮能否使用公式法分解,并注意分解一定要進行到底.
考點四 因式分解的應(yīng)用
例4 (1)對于任何整數(shù),多項式(n+5)2-n2一定是( )
A. 2的倍數(shù) B. 5的倍數(shù) C. 8的倍數(shù) D. n的倍數(shù)
(2)已知x+y=6,xy=4,則x2y+xy2的值為 .
(3)已知正方形的面積是9a2+6a+1(a>0),則該正方形的邊長是 .
(4)用簡便方法計算:
①20162
6、-2015×2016;
②0.932+2×0.93×0.07+0.072.
反思:因式分解的應(yīng)用往往是利用因式分解進行求值,注意把各代數(shù)式進行因式分解即可.
校內(nèi)練習
1. 若a+b+1=0,則3a2+3b2+6ab的值是( )
A. 1 B. -1 C. 3 D. -3
2. 9x3y2+12x2y2-6xy3的公因式為 .
3. 若關(guān)于x的多項式x2-px-6含有因式x-3,則實數(shù)p= .
4. 因式分解:16-8(x-y)+(x-y)2= .
7、
5. 因式分解:4xy2-4xy+x= .
6. 將x2-2x-3因式分解的結(jié)果是(x+1)(x+a),則a= .
7. 簡便計算:101×99= .
8. 分解因式:
(1)2a3-8a;
(2)-3x2-12+12x;
(3)(a+2b)2+6(a+2b)+9;
(4)2(x-y)2-x+y;
(5)(a2+4b2)2-16a2b2.
9. 已知x2+5x-991=0,求x3+6x2-986x+1027的值.
10. 下面是某同學對多項式(x2-4x
8、+2)(x2-4x+6)+4進行因式分解的過程.
解:設(shè)x2-4x=y(tǒng),
則原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y(tǒng)2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步).
回答下列問題:
(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的( )
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 兩數(shù)和的完全平方公式
D. 兩數(shù)差的完全平方公式
(2)該同學因式分解的結(jié)果 (填“徹底”或“不徹底”),若不徹底,請直接寫出因式分解的最后結(jié)果: ;
(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2-2x)(x2-2x+
9、2)+1進行分解.
參考答案
期末復(fù)習四 因式分解
【必備知識與防范點】
1. 整式的積的形式 互逆
2. 相同的因式 提取公因式法
3. (a+b)(a-b) (a±b)2
【例題精析】
例1 (1)B (2)C
例2 (1)D
例3 (1)D (2)D (3)D
(4)①7x2-63=7(x2-9)=7(x+3)(x-3)
②x3-6x2+9x=x(x2-6x+9)=x(x-3)2
③4(a-b)2-8a+8b=4(a-b)2-8(a-b)=4(a-b)(a-b-2)
④a4-
10、8a2b2+16b4=(a2-4b2)2=(a-2b)2(a+2b)2
例4 (1)B (2)24 (3)3a+1
(4)①20162-2015×2016=2016×(2016-2015)=2016
②0.932+2×0.93×0.07+0.072=(0.93+0.07)2=1
【校內(nèi)練習】
1. C
2. 3xy2
3. 1
4. (4-x+y)2
5. x(2y-1)2
6. -3
7. 9999
8. (1)原式=2a(a2-4)=2a(a+2)(a-2).
(2)原式=-3(x2-4x+4)=-3(x-2)2.
(3)原式=[(a+2b)+3]2=(a+2b+3)2.
(4)原式=2(x-y)2-(x-y)=(x-y)(2x-2y-1).
(5)原式=(a2+4b2)2-(4ab)2=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab)=(a+2b)2(a-2b)2.
9. 原式=x3+5x2-991x+x2+5x-991+991+1027=x(x2+5x-991)+(x2+5x-991)+2018=2018.
10. (1)C (2)不徹底 (x-2)4 (3)設(shè)x2-2x=y(tǒng),則原式=y(tǒng)(y+2)+1=y(tǒng)2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=[(x-1)2]2=(x-1)4.
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