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1、word 第一講 集合與邏輯 【知識引入】 1. 集合的子集個數共有 個；真子集有－1個；非空子集有－1個；非空的真子集有－2個； 2. 常見結論的否認形式： 原結論 否認形式 原結論 否認形式 是 不是 至少有一個 沒有 都是 不都是 至多有一個 至少有二個 大于 小于或等于 至少有個 至多有-1個 小于 大于或等于 至多有個 至少有+1個 對所有的成立 存在不成立 或 非且非 對任何的不成立 存在成立 且 非或非 【知識拓展】 集合與命題這一章的相關知識，在自主招生考試中一般是以小題形式出現．但偶爾也綜合其

2、它知識點而出現在大題中． 1.命題的否認是四種命題中最麻煩的細節(jié)問題．下面是一些常見詞語的否認： “至少有一個〞的否認是“一個也沒有〞；“都是〞的否認是“不都是〞；“所有〞的否認是“某些〞， “存在〞的否認是“任意〞，“或〞的否認是“且〞． 2.容斥原理：令表示集合中元素的個數，如此 3. 德摩根定理：是全集，,． 4. 集合的差： 5.抽屜原如此： 抽屜原如此有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數學家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原如此．抽屜原理常常結合幾何、整除、數列和染色等問題出現，它是組合數學中一個重要的原理．把它推廣到一般情

3、形有以下幾種表現形式． 形式一： 證明：設把個元素分為個集合，用表示這個集合里相應的元素個數，需要證明至少存在某個大于或等于2〔〕． 〔用反證法〕假設結論不成立，即對每一個都有，如此因為是整數，應有，于是有： 這與題設矛盾． 所以，至少有一個，即必有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素． 形式二： 設把個元素分為n個集合，用表示這個集合里相應的元素個數，需要證明至少存在某個大于或等于〔〕． 〔用反證法〕假設結論不成立，即對每一個都有，如此因為是整數，應有，于是有： 個 這與題設相矛盾．所以，至少有存在一個 【高斯函數】：對任意的實數，表示“不大于的最大整數〞.例如：，，

4、，……一般地，我們有：． 形式三： 證明：設把個元素分為個集合，用表示這個集合里相應的元素個數，需要證明至少存在某個大于或等于． 〔用反證法〕假設結論不成立，即對每一個都有，于是有： 個 ∴ 這與題設相矛盾．所以，必有一個集合中元素個數大于或等于． 【典例精講】 例1.〔2012年復旦〕設是某集合的三個子集，且滿足，如此 是為空集的 〔 〕 （A） 必要充分條件 〔B〕充分條件，但非必要條件 〔C〕必要條件，但非充分條件 〔D〕即非必要條件，也非充分條件 ?分析與解答： 由于，故兩個陰影局部均為；如此：， ，．

5、 （1） ，如此．所以，，如此 成立． （2） 假設，由于、，所以．所以，所以． 應當選 例2.〔2011復旦千分考〕設是由任意個人組成的集合，如果中任意4個人中都至少有1個人認識其余3個人，那么，下面的判斷中正確的答案是〔 〕． 〔A〕中沒有人認識中的所有人 〔B〕中至少有一個人認識中的所有人 〔C〕中至多有2個人不認識中的所有人 〔D〕中至多有2個人認識中的所有人 ?分析與解答： 如果設中所有人都互相認識，顯然這樣的符合題目條件，從而都是錯誤的． 又設是中的3個人，中每個人都不認識其他任何人，而除外，其他個人 認識所有的人．

6、顯然這樣的集合符合要求，故是錯誤的． 的證明，由于中任意4個人中都至少有一個人和其余3個人互相認識，故認識的總人次最少是：， 由于〔因為〕 這里表示取整函數或高斯函數，由抽屜原理知：中至少有一個人認識中的所有人，應當選． 例3.〔2009交大〕珠寶店丟失了一件珍貴珠寶，以下4人只有1人說真話，只有1人偷了珠寶． 甲：我沒有偷． 乙：丙是小偷． 丙：丁是小偷． ?。何覜]有偷．如此說真話的人是，偷珠寶的人是． ?分析與解答： 4人中有且僅有一人說真話． 先假設甲說的是真話，即甲沒有偷，由于丙說的是假話，故丁不是小偷，由于丁說的也是假話，故丁是小偷，矛盾！ 設乙說的是真話，即丙是小

7、偷，但由于丁說的是假話，故丁也是小偷，矛盾！ 設丙說的是真話，即丁是小偷，但由于甲說的是假話，故甲也是小偷，矛盾！ 故只有丁說的是真話，且由于甲說的是假話，故甲是小偷． 例4.〔2006復旦〕假設非空集合，，如此使得成立的所有的集合是 〔 〕． （B） 〔B〕 〔C〕 〔D〕空集 ?分析與解答： 一方面，；另一方面，，故，而這又等價于．再注意到集合非空，故有，應選． 注：注意此題中的“非空〞二字． 例5.〔2008武大〕有50名學生參加跳遠和鉛球兩項測試，跳遠和鉛球測試成績合格的分別有40和31人，兩項測試成績均不與格的有4人，兩項測試成績均與格的有多少人

8、？ ?分析與解答： 這是一道涉與容斥原理的試題，記{跳遠測試成績與格的學生}，{鉛球測試成績與格的學生}，依題意，，兩項成績測試均合格的學生為，又，由容斥原理， ，故，即兩項測試成績均合格的學生有25人． 注：此題也可結合文氏圖，設兩項測試成績都與格的有人，有方程，解得：． 例6.〔2010復旦〕設集合是實數集的子集，如果點滿足：對任意，都存在，使得，那么稱為集合的聚點，用表示整數集，如此在如下集合：①②；③，④整數集中．以0為聚點的集合有〔 〕． （A） ②③ 〔B〕①④ 〔Ｃ〕①③　　　〔Ｄ〕①②④ ?分析與解答： 這是一道學習型問題，根據定義，“聚

9、點〞這個概念應理解為以任意無窮小為半徑，以為圓心的圓都至少有的一個元素．〔不包括〕 對集合①，假設取，如此不存在，滿足．顯然②③是以０為聚點．對集合④，假設令〔不是唯一的取法，只要即可〕，也不存在，使得． 綜上，應選〔Ａ〕． 例7.7月份的天熱得人都不想工作，只想呆在有空調的房間里．可小卻沒有方法休假，因為他是一個空調修理工，為了讓更多人好好休息，他只能放棄自己的休息．在過去的7月份里，小每天至少修理了一臺空調．由于技術過硬，每一臺空調都能在當天修理好．8月1日結算的時候，大家發(fā)現小在7月份一共修理了56臺空調． 求證：存在連續(xù)的假設干天〔也可以是1天〕，在這些天里，小恰好修理了5臺空調

10、． ?分析與解答： 我們來考察“連續(xù)的假設干天〞里小修理的空調臺數．設小在第i天修理了xi臺空調，其中i=1，2，…，31．如此：x1p) 由此可見 xp+1+xp+2+…+xq=5． 即從第p+1天開始到第q天修理的空調正好是5臺．

11、?點評：此題的難點在于將題中結論轉化為抽屜原理的數學模型． 例8.求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數的個數． ?分析與解答： 記，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的數有個． 例9.〔2010浙大〕設集合，． （1） 求證： （2） 假設是一個在上單調遞增的函數，是否有？假設是，請證明． ?分析與解： 〔1)假設，顯然成立；假設，任取，即有，如此 ，即，故． （2） 結論是，下證． 假設，如此結論顯然成立；假設，任取，即有，下證．假設 ，不妨先設，由于是一個在上單調遞增的函數，故，與矛盾！同理,也將導致矛盾！故，即，從而有． 綜合〔1〕證得．

12、 【方法小結】： 【真題訓練】 一． 選擇題 1.〔2009復旦〕“要使函數成立，只要不在區(qū)間就可以了〞的意思是〔 〕． （A） 如果，如此 〔B〕如果，如此 〔C〕如果，如此 〔D〕前面3個解釋都不準確 2.〔2009復旦〕設是含個元素的集合，是中兩個互不相交的子集，分別含有，如此中即不包含也不包含的子集的個數是〔 〕 （A） 〔B〕 〔C〕 〔D〕 3.〔2010復旦〕設集合是全集的子集，，，如此如下選項中正確的答案是〔 〕 （A） 如果或，如此 （B） 如果，如此， （C） 如果，如此，

13、 （D） 上述各項都不正確 4.〔2010復旦〕設時區(qū)間上的函數，如果對任意滿足的都有，如此稱是上的遞增函數，那么，是上非遞增函數應滿足〔 〕 （A） 存在滿足的，使得 （B） 不存在，滿足，且 （C） 對任意滿足的，都有 （D） 存在滿足的，使得 5.〔2010復旦〕對于原命題“單調函數不是周期函數〞，如下述正確的答案是〔 〕 （A） 逆命題為“周期函數不是單調函數〞 （B） 否命題為“單調函數是周期函數〞 （C） 逆否命題為“周期函數是單調函數〞 （D） 以上三者都不正確 6.〔2010復旦〕設集合，，假設，如此的取值圍是〔 〕 （A） 〔B〕 〔

14、C〕 〔D〕 二． 填空題 7. 〔2009交大〕集合A滿足：假設，如此，假設，如此滿足條件的元素個數最少的集合A為． 8.〔2008科大〕，，，如此的取值圍是． 三． 解答題 9.〔2009浙大〕給出五個數字，排列這5個數字，要求第一個到第位置不能由得數字組成．如不可，因為第一位到第二位由組成，同理也不可．求滿足要求的所有可能的組合數． 10.〔2007清華〕對于集合〔表示二維點集〕，稱為開集，當且僅當，，使得．判斷集合與是否為開集，并證明你的結論．〔注：“〞表示“任意〞；“〞表示“

15、存在〞〕 【參考答案】 1. C。 “要使函數成立，只要不在區(qū)間就可以了〞這句話等價于“不在區(qū)間“函數〞 2. C。令中包含的子集組成的集合記為，包含的子集組成的集合記為，如此由容斥原理，中包含或者包含的子集的個數是，從而中既不包含也不包含的子集的個數是 3. D。選項A的反例，如圖〔a〕，此時；選項B的反例，如圖〔b〕，假設，如此；選項C的反例，如圖〔c〕，易見． C A D C D B A B B A C D 〔a〕

16、〔b〕 〔c〕 4.A 。問題等價于命題“如果對于任意滿足的都有，如此稱是上的遞增函數〞的逆否命題． 5.D 原命題可改寫為：如果一個函數單調函數，那么它不是周期函數． 逆命題：如果一個函數不是周期函數，那么它是單調函數． 否命題：如果一個函數不是單調函數，那么它是周期函數． 逆否命題：如果一個函數是周期函數，那么它不是單調函數． 6.D 。集合，假設，如此，．由知，中元素均滿足，而時，成立，但不成立；假設，如此，而恒成立，由．得：．故． 7.。 由，由；又由，此時集合元素個數最少．〔又如，等也符合要求〕 8.。 先不妨做一個平移，將坐標原點移到，即相當于，，對集合，令，其中，．設，而，故． 。用容斥原理來解決：令為1,2,3,4,5的排列所組成的集合，它的任一個元素的前個數是的一個排列． ． ， ， ． 所以，所以符合題意的數組的個數為． 是開集．理由如下： 如圖，，令到直線的距離為，一旦給定后，是一個大于零的常數．令〔取值不唯一〕，顯然 集合不是開集，理由如下： 令為y軸正半軸上的點，如此無論多么小，總有． 11 / 11