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1、北師大版八年級數(shù)學上冊第一章 勾股定理 同步單元練習題
一、選擇題
1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(C)
A.1,2,3 B.0.3,0.4,0.5
C.6,8,10 D.5,11,12
2.滿足下列條件的△ABC(a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對邊),不是直角三角形的是(D)
A.b2=c2-a2 B.a(chǎn)∶b∶c=3∶4∶5 C.∠C=∠A-∠B D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
3.如圖,在△ABC中,CD⊥AB于點D.若AD∶BD=5∶2,AC=17,BC=10,則BD的長為(C)
2、
A.4 B.5 C.6 D.8
4.一條河的寬度處處相等,小強想從河的南岸橫游到北岸去,由于水流影響,小強上岸地點偏離目標地點200 m,他在水中實際游了520 m,那么該河的寬度為(C)
A.440 m B.460 m C.480 m D.500 m
5.如圖,有一張直角三角形紙片,兩直角邊AC=5 cm,BC=10 cm,將△ABC折疊,使點B與點A重合,折痕為DE,則CD的長為(D)
A. cm B. cm C. cm
3、 D. cm
二、填空題
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=15,AC=12,那么Rt△ABC的面積是54.
7.如圖,∠C=∠ADB=90°,AD=1,BC=CD=2,則AB=3.
8.如圖,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,點D為BC的中點,DE⊥AB,垂足為E,則DE=.
9.已知在△ABC中,AB=17,AC=10,BC邊上的高AH=8,則BC的長是21或9.
10.如圖,在長方形ABCD中,E是AD的中點,將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE,延長BG交CD于點F.若AB=6,BC=10,則FD的長為.
11.如圖,在長
4、方形ABCD中,已知AD=4,DC=3.若將△ADC繞點A按逆時針方向旋轉到△AEF(點A,B,E在同一直線上),連接CF,則CF2=50.
12.我國古代有這樣一道數(shù)學問題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達其頂,問葛藤之長幾何?”題意是:如圖所示,把枯木看作一個圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長為3尺,有葛藤自點A處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達點B處,則問題中葛藤的最短長度是25尺.
三、解答題
13.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,且滿足c+a=2b,c-a=b,則△ABC是什么特殊三角形?
解:因
5、為c+a=2b,c-a=b,
所以(c+a)(c-a)=2b·b.
所以c2-a2=b2,
即a2+b2=c2.
所以△ABC是直角三角形,其中∠C為直角.
14.如圖,已知等腰三角形ABC的底邊BC=20 cm,D是腰AB上一點,且CD=16 cm,BD=12 cm.
(1)求證:CD⊥AB;
(2)求該三角形的腰的長度.
解:(1)證明:在△BCD中,因為BD2+CD2=122+162=400=BC2,
所以△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°.所以CD⊥AB.
(2)設AB=AC=x cm,則AD=(x-12)cm.
因為CD⊥AB,
所以在△ACD
6、中,AD2+CD2=AC2,
即(x-12)2+162=x2,
解得x=.
所以該三角形的腰的長度為 cm.
15.如圖,把一張長方形紙片ABCD折疊起來,使其對角頂點A與C重合,D與G重合.若長方形的長BC為8,寬AB為4,求:
(1)DE的長;
(2)陰影部分△GED的面積.
解:(1)由折疊的性質(zhì),得∠AGE=∠ADC=90°,
AG=CD=4,GE=DE.
設DE=EG=x,
則AE=8-x,
在Rt△AEG中,AG2+EG2=AE2,
所以16+x2=(8-x)2,解得x=3,
所以DE=3.
(2)過點G作GM⊥AD于點M,
因為S△AEG=A
7、G·GE=AE·GM,
所以GM==.
所以S△GED=GM·DE=.
16.如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c.如圖2,現(xiàn)將與Rt△ABC全等的四個直角三角形拼成一個正方形EFMN.
(1)根據(jù)勾股定理的知識,請直接寫出a,b,c之間的數(shù)量關系;
(2)若正方形EFMN的面積為64,Rt△ABC的周長為18,求Rt△ABC的面積.
解:(1)由勾股定理,得a2+b2=c2.
(2)因為正方形EFMN的面積為64,
所以c2=64.所以c=8.
因為Rt△ABC的周長為18,
所以a+b+c=18.
所以a+b=10.
的以
8、Rt△ABC的面積為ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=9.
17.如圖,在正方形ABCD中,CD=6,點E在邊CD上,且CD=3DE.將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.
(1)①求證:△ABG≌△AFG;
②求GC的長;
(2)求△FGC的面積.
解:(1)①證明:在正方形ABCD中,AD=AB=BC=CD,
∠D=∠B=∠BCD=90°,
因為將△ADE沿AE對折至△AFE,
所以AD=AF,DE=EF,
∠D=∠AFE=90°.
所以AB=AF,∠B=∠AFG=90°.
又因為AG=AG,BG2=AG2-AB2,F(xiàn)G
9、2=AG2-AF2,
所以BG2=FG2,即BG=FG.
所以△ABG≌△AFG(SSS).
②因為CD=3DE,所以DE=2,CE=4.
設BG=x,則CG=6-x,GE=x+2.
因為GE2=CG2+CE2,
所以(x+2)2=(6-x)2+42,解得x=3.
所以CG=6-3=3.
(2)過點C作CM⊥GF于點M,
由(1)②,得GE=3+2=5.
因為S△GEC=GC·CE=GE·CM,
所以CM==.
所以S△FGC=GF·CM=×3×=.
18.如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,以AC為腰向外作等腰直角△ACE,∠EAC=90°,連接BE,交
10、AD于點F,交AC于點G,連接CF.
(1)若∠BAC=40°,求∠AEB的度數(shù);
(2)求證:∠AEB=∠ACF;
(3)求證:EF2+BF2=2AC2.
解:(1)因為△ACE是等腰直角三角形,∠CAE=90°,
所以AC=AE.
因為AB=AC,
所以AB=AE.
所以∠ABE=∠AEB.
因為∠BAC=40°,∠EAC=90°,
所以∠BAE=40°+90°=130°.
所以∠AEB=(180°-130°)÷2=25°.
(2)證明:因為AB=AC,D是BC的中點,
所以∠BAF=∠CAF.
在△BAF和△CAF中,
所以△BAF≌△CAF(SAS).
所以∠ABF=∠ACF.
因為∠ABE=∠AEB,
所以∠AEB=∠ACF.
(3)證明:因為△BAF≌△CAF,
所以BF=CF.
因為∠AEB=∠ACF,∠AGE=∠FGC,
所以∠CFG=∠EAG=90°.
所以EF2+BF2=EF2+CF2=EC2.
因為∠EAC=90°,AC=AE,
所以EC2=AC2+AE2=2AC2.
所以EF2+BF2=2AC2.
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