《山東省濱州市2019中考數學 第三章 函數 第六節(jié) 二次函數的綜合應用要題隨堂演練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《山東省濱州市2019中考數學 第三章 函數 第六節(jié) 二次函數的綜合應用要題隨堂演練（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、二次函數的綜合應用 要題隨堂演練 1．(2018·日照中考)如圖，已知點A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在拋物線y＝ax2＋bx＋c上． (1)求拋物線解析式； (2)在直線BC上方的拋物線上求一點P，使△PBC面積為1； (3)在x軸下方且在拋物線對稱軸上，是否存在一點Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q點坐標；若不存在，說明理由． 2．(2018·萊蕪中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，DE⊥BC于E. (1)求拋物線的函數解析式； (

2、2)如圖1，求線段DE長度的最大值； (3)如圖2，設AB的中點為F，連接CD，CF，是否存在點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由． 圖1 圖2 3．(2018·自貢中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3過A(1，0)，B(－3，0)，直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標為－2，點P(m，n)是線段AD上的動點． (1)求直線AD及拋物線的解析式； (2)過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ的長度l與m的關系式，m為何值時，PQ最長？ (3)在平面內是否存在整點(

3、橫、縱坐標都為整數)R，使得P，Q，D，R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由． 參考答案 1．解：(1)把點A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)代入y＝ax2＋bx＋c 得解得 ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋1. (2)∵B(3，0)，C(0，1)，∴直線BC的解析式為y＝－x＋1. 理由：如圖，過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點D. 設P(x，－x2＋x＋1)，則D(x，－x＋1)， ∴PD＝－x2＋x＋1－(－x＋1)＝－x2＋x， ∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝PD(xB－xC)

4、＝(－x2＋x)(3－0)＝－x2＋x. 又∵S△PBC＝1，∴－x2＋x＝1，∴x2－3x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝2，∴P1(1，)，P2(2，1)． (3)存在． 如圖，∵A(－1，0)，C(0，1)，∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°. ∵∠BAC＝∠BQC，∴∠BQC＝45°， ∴點Q為△ABC外接圓與拋物線對稱軸在x軸下方的交點． 設△ABC外接圓圓心為M. ∵線段AC的垂直平分線為直線y＝－x，線段AB的垂直平分線為直線x＝1， ∴點M為直線y＝－x與直線x＝1的交點，即M(1，－1)， ∴∠BMC＝2∠BQC＝90°. 又∵MQ＝MB＝R＝，∴yQ

5、＝－(1＋)＝－1－. ∵Q在直線x＝1上，∴xQ＝1，∴Q(1，－1－)． 2．解：(1)由已知得解得 ∴y＝－x2＋x＋3. (2)設直線BC的解析式為y＝kx＋b， ∴解得 ∴y＝－x＋3. 設D(a，－a2＋a＋3)，(0

6、，最大值是. (3)假設存在這樣的點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等． ∵F為AB的中點，∴OF＝，tan∠CFO＝＝2. 如圖，過點B作BG⊥BC，交CD的延長線于G，過點G作GH⊥x軸，垂足為H. ①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝＝2，∴BG＝10. ∵△GBH∽△BCO，∴＝＝， ∴GH＝8，BH＝6，∴G(10，8)． 設直線CG的解析式為y＝kx＋b， ∴解得 ∴y＝x＋3， ∴解得x＝或x＝0(舍)． ②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝，GH＝2，BH＝， ∴G(，2)． 同理可得直線CG的解析式為y＝－x＋3， ∴解得x＝或x

7、＝0(舍)． 綜上所述，存在D使得△CDE中有一個角與∠CFO相等，其橫坐標是或. 3．解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入函數解析式得 解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3. 當x＝－2時，y＝(－2)2＋2×(－2)－3，解得y＝－3， 即D(－2，－3)． 設AD的解析式為y＝kx＋b，將A(1，0)，D(－2，－3)代入得解得 ∴直線AD的解析式為y＝x－1. (2)設P點坐標為(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－3)， l＝(m－1)－(m2＋2m－3)， 化簡得l＝－m2－m＋2， 配方得l＝－(m＋)2＋， ∴當m＝－時，l最大＝. (3)由

8、(2)可知，0＜PQ≤. 當PQ為邊時，DR∥PQ且DR＝PQ. ∵R是整點，D(－2，－3)， ∴PQ是正整數，∴PQ＝1或PQ＝2. 當PQ＝1時，DR＝1， 此時點R的橫坐標為－2，縱坐標為－3＋1＝－2或－3－1＝－4， ∴R(－2，－2)或(－2，－4)． 當PQ＝2時，DR＝2， 此時點R的橫坐標為－2，縱坐標為－3＋2＝－1或－3－2＝－5， 即R(－2，－1)或(－2，－5)． 當PQ為對角線時，PD∥QR，且PD＝QR. 設點R的坐標為(n，n＋m2＋m－3)，則QR2＝2(m－n)2. 又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)， ∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－n)2， 解得n＝－2(不合題意，舍去)或n＝2m＋2， ∴點R的坐標為(2m＋2，m2＋3m－1)． ∵R是整點，－2＜m＜1， ∴當m＝－1時，點R的坐標為(0，－3)； 當m＝0時，點R的坐標為(2，－1)． 綜上所述，存在滿足R的點，它的坐標為(－2，－2)或(－2，－4)或(－2， －1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)． 6