中考數(shù)學(xué)綜合專題訓(xùn)練【二次函數(shù)壓軸題】提升與解析匯報
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1、word 中考數(shù)學(xué)綜合專題訓(xùn)練【二次函數(shù)壓軸題】提升與解析 1. 〔2011年某某省某某市,25,12分〕如圖1,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A〔-3,0〕,B〔-1,0〕兩點.????〔1〕求拋物線的解析式;????〔2〕設(shè)拋物線的頂點為M,直線y=-2x+9與y軸交于點C,與直線OM交于點D.現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.假如平移的拋物線與射線CD〔含端點C〕只有一個公共點,求它的頂點橫坐標(biāo)的值或取值X圍;????〔3〕如圖2,將拋物線平移,當(dāng)頂點至原點時,過Q〔0,3〕作不平行于x軸的直線交拋物線于E,F(xiàn)兩點.問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點P,使△PEF的內(nèi)心在y軸上.假
2、如存在,求出點P的坐標(biāo);假如不存在,請說明理由. 分析:拋物線的解析式的求法與拋物線的平移。 答案:解:〔1〕拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A〔-3,0〕,B〔-1,0〕兩點????∴9a-3b+3=0 且a-b+3=0????解得a=1????b=4∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3〔2〕由〔1〕配方得y=(x+2)2-1∴拋物線的頂點M〔-2,,1〕∴直線OD的解析式為y=x????于是設(shè)平移的拋物線的頂點坐標(biāo)為〔h, h〕,∴平移的拋物線解析式為y=〔x-h〕2+h.①當(dāng)拋物線經(jīng)過點C時,∵C〔0,9〕,∴h2+h=9,????解得h=.?∴
3、?當(dāng)?≤h???時,平移的拋物線與射線CD只有一個公共點.????〔2〕當(dāng)拋物線與直線CD只有一個公共點時,????由方程組y=〔x-h〕2+h,y=-2x+9.????得?x2+〔-2h+2〕x+h2+h-9=0,∴△=〔-2h+2〕2-4〔h2+h-9〕=0,????解得h=4.????此時拋物線y=〔x-4〕2+2與射線CD唯一的公共點為〔3,3〕,符合題意.????綜上:平移的拋物線與射線CD只有一個公共點時,頂點橫坐標(biāo)的值或取值X圍是?h=4或?≤h<.????〔3〕方法1????將拋物線平移,當(dāng)頂點至原點時,其解析式為y=x2, 設(shè)EF的解析式為y=kx+3〔k≠0〕.???
4、?假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點P〔0,t〕,如圖,過P作GH∥x軸,分別過E,F(xiàn)作GH的垂線,垂足為G,H.∵△PEF的內(nèi)心在y軸上,∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP,∴△GEP∽△HFP,...............9分∴GP/PH=GE/HF,????∴-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t)????∴2kxE·xF=〔t-3〕〔xE+xF〕????由y=x22-kx-3=0.????∴xE+xF=k,xE·xF=-3.∴2k〔-3〕=〔t-3〕k,∵k≠0,∴t=-3.∴y軸的負(fù)半軸上存在點P〔0,-3〕,使△PEF的內(nèi)心在y軸上. 方法2
5、?設(shè)EF的解析式為y=kx+3〔k≠0〕,點E,F(xiàn)的坐標(biāo)分別為〔m,m2〕〔n,n2〕由方法1知:mn=-3.作點E關(guān)于y軸的對稱點R〔-m,m2〕,作直線FR交y軸于點P,由對稱性知∠EPQ=∠FPQ,∴點P就是所求的點.由F,R的坐標(biāo),可得直線FR的解析式為y=〔n-m〕x+mn.當(dāng)x=0,y=mn=-3,∴P〔0,-3〕.∴y軸的負(fù)半軸上存在點P〔0,-3〕,使△PEF的內(nèi)心在y軸上. 點評:二次函數(shù)是中考考查的必考內(nèi)容之一,此題是綜合考查二次函數(shù)的一些根底知識,需要考生熟悉二次函數(shù)的相關(guān)根本概念即可解題. 2.〔如圖,在直角坐標(biāo)系中,點A〔0,1〕,B〔-4,4〕,將點B繞
6、點A順時針方向90°得到點C;頂點在坐標(biāo)原點的拋物線經(jīng)過點B. 〔1〕求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo); 〔2〕拋物線上一動點P,設(shè)點P到x軸的距離為d1,點P到點A的距離為d2,試說明d2=d1+1; 〔3〕在〔2〕的條件下,請?zhí)骄慨?dāng)點P位于何處時,△PAC的周長有最小值,并求出△PAC的周長的最小值. 【解題思路】〔1〕設(shè)拋物線的解析式:y=ax2,把B〔-4,4〕代入即可得到a的值;過點B作BE⊥y軸于E,過點C作CD⊥y軸于D,易證Rt△BAE≌Rt△ACD,得到AD=BE=4,CD=AE=OE-OA=4-1=3,即可得到C點坐標(biāo)〔3,5〕; 〔2〕設(shè)P點坐標(biāo)為〔
7、a,b〕,過P作PF⊥y軸于F,PH⊥x軸于H,如此有d1= a2,又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1,PF=a,在Rt△PAF中,利用勾股定理得到PA=d2= a2+1,即有結(jié)論d2=d1+1; 〔3〕△PAC的周長=PC+PA+5,由〔2〕得到△PAC的周長=PC+PH+6,要使PC+PH最小,如此C、P、H三點共線,P點坐標(biāo)為〔3,〕,此時PC+PH=5,得到△PAC的周長的最小值=5+6=11. 【答案】〔1〕設(shè)拋物線的解析式:y=ax2, ∵拋物線經(jīng)過點B〔-4,4〕, ∴4=a?42,解得a=, 所以拋物線的解析式為:y= x2; 過點B作BE⊥y軸
8、于E,過點C作CD⊥y軸于D,如圖, ∵點B繞點A順時針方向90°得到點C, ∴Rt△BAE≌Rt△ACD, ∴AD=BE=4,CD=AE=OE-OA=4-1=3, ∴OD=AD+OA=5, ∴C點坐標(biāo)為〔3,5〕; 〔2〕設(shè)P點坐標(biāo)為〔a,b〕,過P作PF⊥y軸于F,PH⊥x軸于H,如圖, ∵點P在拋物線y= x2上, ∴b= a2, ∴d1= a2, ∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1,PF=a, 在Rt△PAF中,PA=d2= = a2+1, ∴d2=d1+1; 〔3〕由〔1〕得AC=5, ∴△PAC的周長=PC+PA+5 =PC
9、+PH+6, 如此C、P、H三點共線時,PC+PH最小, ∴此時P點的橫坐標(biāo)為3,把x=3代入y= x2,得到y(tǒng)=, 即P點坐標(biāo)為〔3,〕,此時PC+PH=5, ∴△PAC的周長的最小值=5+6=11. 【點評】此題考查了點在拋物線上,點的橫縱坐標(biāo)滿足二次函數(shù)的解析式和頂點在原點的二次函數(shù)的解析式為:y=ax2;也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以與兩點之間線段最短.此題第〔3〕小題的關(guān)鍵是將△PAC的周長轉(zhuǎn)化為PC與PH和的關(guān)系,從而求出三角形周長的最小值.難度較大. -1 y x O 〔第28題〕 1 2 3 4 -2 -4 -3 3 -1 -2 -3
10、 -4 4 1 2 此題第〔3〕小題與2010年某某市28題的第〔3〕小題非常類似,如下題,供參考。 〔2010某某某某,28,14分〕拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A〔-4,3〕、B〔2,0〕兩點,當(dāng)x=3和x=-3時,這條拋物線上對應(yīng)點的縱坐標(biāo)相等.經(jīng)過點C〔0,-2〕的直線l與 x軸平行,O為坐標(biāo)原點. 〔1〕求直線AB和這條拋物線的解析式; 〔2〕以A為圓心,AO為半徑的圓記為⊙A,判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由; 〔3〕設(shè)直線AB上的點D的橫坐標(biāo)為-1,P〔m,n〕是拋物線y=ax2+bx+c上的動點,當(dāng)△PDO的周長最小時,求四邊形CODP的面積.
11、3.拋物線:y=x2-2x+m-1與x軸只有一個交點,且與y軸交于A點,如圖,設(shè)它的頂點為B. (1)求m的值; (2)過A作x軸的平行線,交拋物線于點C,求證△ABC是等腰直角三角形; (3)將此拋物線向下平移4個單位后,得到拋物線C',且與x軸的左半軸交于E點,與y軸交于F點,如圖,請在拋物線C'上求點P,使得△EFP是以EF為直角邊的直角三角形. 【解題思路】(1)由拋物線與x軸只有一個交點,如此b2-4ac=0,得出關(guān)于m的方程,求出m的值.(2)求出點A、B的坐標(biāo),得出OA=OB,再根據(jù)AC∥x軸,得出∠BAC=45°,根據(jù)點C和點A是關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點,得出AB
12、=BC,如此△ABC為等腰直角三角形.或分別計算出AB、AC、BC的長度,由勾股定理的逆定理確定為等腰直角三角形.(3)由平移規(guī)律,得出拋物線C′的解析式,得出點E、F的坐標(biāo);待定系數(shù)法求出直線EF的解析式,根據(jù)互相垂直的兩條直線的系數(shù)之間的關(guān)系,設(shè)出過點E、F的EF的垂線的解析式;分別解兩條垂線與拋物線解析式構(gòu)成的方程組,得出點P的坐標(biāo). 【解】〔1〕∵拋物線與x軸只有一個交點, ∴△=b2-4ac=22-4×1×(m-1)=0,解得m=2. 〔2〕方法一:∵m=2,∴拋物線的解析式為y=x2-2x+1. 把x=0代入y=x2-2x+1,得y=1, ∴點A的坐標(biāo)為〔0,1〕. 把
13、y=0代入y=x2-2x+1,得x=1, ∴點B的坐標(biāo)為〔1,0〕. ∴△AOB是等腰直角三角形. 又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°. A,C是對稱點,∴AB=BC, ∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二:∵m=2,∴拋物線的解析式為y=x2-2x+1. 把x=0代入y=x2-2x+1,得y=1, ∴點A的坐標(biāo)為〔0,1〕. 把y=0代入y=x2-2x+1,得x=1, ∴點B的坐標(biāo)為〔1,0〕. ∵AC∥x軸,∴點C的縱坐標(biāo)為1. 把y=1代入y=x2-2x+1,得x1=0,x2=2. ∴點C的坐標(biāo)為(2,1). ∴AC=2,AB==,BC==. ∴AB
14、=BC. 又∵AB2+BC2=+=2+2=4=AC2,∴△ABC是等腰直角三角形. 〔3〕平移后解析式為y=x2-2x-3,可知F(0,-3). 把y=0代入y=x2-2x-3,得x1=-1,x2=3. 又點E在x軸得左半軸上,∴E(-1,0). 設(shè)直線EF的解析式為y=kx-3,把E(-1,0)代入y=kx-3,得k=-3, ∴EF的解析式為:y=-3x-3. 平面內(nèi)互相垂直的兩條直線的系數(shù)k值相乘等于-1, ∴過E點或F點的直線為y=+b. 把E點和F點分別代入可得b=或-3, ∴或y=-3. 解方程解得x1=-1,x2=.x1是E點橫坐標(biāo),舍去. 把x2=代入,得
15、y=,∴P1〔,〕. 同理,解方程解得x1=0(舍去),x2=. 把x2=代入,得y=-,∴P2(,-). 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)與其運用,①b2-4ac=0二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸只有一個交點;②對稱軸是關(guān)于直線對稱的兩個點的垂直平分線,垂直平分線上的點到線段兩個端點到距離相等;③把拋物線上下平移,就是縱坐標(biāo)進展加減運算,即“上加下減〞;④平面上互相垂直的兩條直線的比例系數(shù)的乘積等于-1. 4. 如圖,拋物線y=x2―mx+n與x軸交于A、B兩點,與y軸交與點C〔0,-1〕且對稱軸是x=1. 〔1〕求拋物線解析式與A,B兩點的坐標(biāo); 〔2〕在x軸下方拋
16、物線上是否存在點D,使四邊形ABDC的面積是3?假如存在,求出點D的坐標(biāo),假如不存在,說明理由〔使用圖1〕; 〔3〕點Q在y軸上,點P在拋物線上,要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形,請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)〔使用圖2〕. x x=1 A B C y O 圖2 x x=1 A B C y O 圖1 【思路分析】〔1〕根據(jù)對稱軸公式可求解m,代入C點坐標(biāo)可求解n;〔2〕將四邊形分割成三角形AOC、OCD、OBD,三角形AOC面積可求,三角形OCD、OBD,的底,高分別為點D的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的相反數(shù),根據(jù)三個三角
17、形面積和是3列方程求解;〔3〕通過畫圖可觀察以Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形時,點Q只能在y軸正半軸上,且PQ=AB=4 , PQ ∥AB ,即點P橫坐標(biāo),代入拋物線解析式可求縱坐標(biāo). 【答案】解:〔1〕x==1,∴m=,∴y=x2―x+n.把C〔0,-1〕代入得n=-1,∴求拋物線解析式是y=x2―x-1; 令0=x2―x-1,得x=3或-1,∴A,B兩點的坐標(biāo)分別是〔-1,0〕〔3,0〕; 〔2〕存在. 設(shè)D的坐標(biāo)是〔x,y〕,如此y=x2―x-1,連接AC、CD、OD、BD. ∴S△AOC+ S△OCD+ S△OBD=3,∴×1×1+×1×x+×3×(-y)=3,
18、∴+x+×3×(―x2+x+1)=3, 解得x=2或1,所以y=-1或-,∴D的坐標(biāo)是〔2,-1〕、〔1, -〕. 〔3〕〔3〕1°當(dāng)AB為邊時:設(shè)PQ =AB=4 , PQ∥AB ,如此P點的橫坐標(biāo)是4或-4,把x=4代入y=x2―x-1得y=;把x= -4代入y=x2-x-1得y=7,即當(dāng)P的坐標(biāo)是〔4,〕或〔-4,7〕時以Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形. 2°當(dāng)AB為對角線時,如此AB與PQ互相平分,線段AB中點是G,PQ過G與y軸交于Q點,過點P作x軸垂線交x軸于H,如此△PHG≌△QOC,所以O(shè)G=GH,又因為點G的橫坐標(biāo)是1,所以點P的橫坐標(biāo)是2,把x=2代入y=x
19、2-x-1得y= -1,即當(dāng)P的坐標(biāo)是〔2,-1〕,即當(dāng)P的坐標(biāo)是〔2,-1〕〕時以Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形. 綜上,當(dāng)P的坐標(biāo)是〔4,〕、〔-4,7〕或〔2,-1〕〕時以Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形. 【點評】這類探究類問題首先假設(shè)存在,根據(jù)圖形的存在性,求出符合條件的點的坐標(biāo).如果不存在,經(jīng)過推理論證或計算,能夠得出與條件或公里相矛盾的結(jié)論,從而推出假設(shè)錯誤. 5.某工廠在生產(chǎn)過程中要消耗大量電能,消耗每千度電產(chǎn)生利潤與電價是一次函數(shù)關(guān)系,經(jīng)過測算,工廠每千度電產(chǎn)生利潤y(元/千度)與電價x(元/千度)的函數(shù)圖象如圖: 〔1〕當(dāng)電價為600元
20、千度時,工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤是多少? 〔2〕為了實現(xiàn)節(jié)能減排目標(biāo),有關(guān)部門規(guī)定,該廠電價x(元/千度)與每天用電量m(千度)的函數(shù)關(guān)系為x=10m+500,且該工廠每天用電量不超過60千度,為了獲得最大利潤,工廠每天應(yīng)安排使用多少度電?工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤最大是多少元? 【解題思路】由函數(shù)圖象上的兩個點很容易用代定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。 【答案】解:〔1〕工廠每千度電產(chǎn)生利潤y(元/千度)與電價(元/千度)的函數(shù)解析式為: 該函數(shù)圖象過點 ∴,解得∴ 當(dāng)電價x=600元/千度時,該工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤〔元/千度〕 〔3〕設(shè)工廠每天消
21、耗電產(chǎn)生利潤為w元,由題意得: 化簡配方,得: 由題意,,∴當(dāng)時, 即當(dāng)工廠每天消耗50千度電時,工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤為5000元。 【點評】試題充分表現(xiàn)了函數(shù)知識在生活中的廣泛應(yīng)用,用函數(shù)知識可以解決生活中的很多問題。 6.拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點為A〔m-4,0〕和B(m,0),與直線y=-x+p相交于點A和點C(2m-4,m-6). (1)求拋物線的解析式; 〔2〕假如點P在拋物線上,且以點P和A,C以與另一點Q為頂點的平行四邊形ACQP面積為12,求點P,Q的坐標(biāo); 〔3〕在〔2〕條件下,假如點M是x軸下方拋物線上的動點,當(dāng)⊿PQM的面積最大時,
22、請求出⊿PQM的最大面積與點M的坐標(biāo)。 【解題思路】(1)求函數(shù)關(guān)系式的三種方法是一般式,頂點式和交點式。此題可由A,C兩點在一次函數(shù)圖象上,求得m值,從而得出A,C兩個點的坐標(biāo),進一步確定出B的坐標(biāo),然后選取任意一種方法求出拋物線的解析式。 (2)由平行四邊形的面積,與一邊長,很容易求得高,再由特殊角求出PQ與y軸的交點。結(jié)合二次函數(shù)求出P,Q的坐標(biāo)??赡苡袃煞N情況,分別討論。 〔3〕△PQM中PQ一定,只需PQ上的高最大如此△PQM的面積最大。 【答案】解:點和在直線y=-x+p上 ∴解得∴ 設(shè)拋物線∵∴ ∴拋物線解析式為 〔2〕AC=,AC
23、所在直線的解析式為:,∠BAC=45° ∵的面積為12 ∴中AC邊上的高為 過點D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點K,DK=,∴DN=4 ∵的邊PQ所在直線在直線AC的兩側(cè)可能各有一條, ∴PQ的解析式為或 ∴解得或 方程組無解 即, ∵四邊形ACQP是平行四邊形, ∴當(dāng)時, 當(dāng)時, ∴滿足條件的P,Q點是,或, 〔3〕設(shè),過點M作y軸的平行線,交PQ所在直線點T,如此, 過點M作MS⊥PQ所在直線于點S, = ∴當(dāng)時,,△PQM中PQ邊上高的最大值為 【點評】此題綜合性較強,考查了很多根底知識、還要具備較高的空間想象能力、必須考慮到各種情況,此題的運算量和
24、難度都比擬大。 7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的橫坐標(biāo)為-8. 〔1〕求該拋物線的解析式; 〔2〕點P是直線AB上方的拋物線上一動點〔不與點A、B重合〕,過點P作x軸的垂線,垂足為C,交直線AB于點D,作PE⊥AB于點E. ①設(shè)△PDE的周長為l,點P的橫坐標(biāo)為x,求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出l的最大值; ②連接PA,以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點F或G恰好落在y軸上時,直接寫出對應(yīng)的點P的坐標(biāo). 【解題思路】〔1〕根據(jù)條件,結(jié)合正方形的性質(zhì)求出A、B點的坐
25、標(biāo),利用一般式根據(jù)待定系數(shù)法求解. 〔2〕①根據(jù)△AOM∽△PED,得出DE:PE:PD=3:4:5,再求出PD=yP-yD求出二函數(shù)最值即可;②根據(jù)G和F點的位置進展分類討論:當(dāng)點G落在y軸上時,由△ACP≌△GOA得PC=AO=2,即,解得x的值,求出P點的坐標(biāo),當(dāng)點F落在y軸上時,同法可得求出P點的坐標(biāo). 【解】〔1〕對于,當(dāng)y=0,xx=-8時,y=-. ∴A點坐標(biāo)為〔2,0〕,B點坐標(biāo)為 由拋物線經(jīng)過A、B兩點,得 解得 〔2〕①設(shè)直線與y軸交于點M. 當(dāng)x=0時,y=. ∴OM=. ∵點A的坐標(biāo)為〔2,0〕,∴OA=2.∴AM= ∵OM∶OA∶AM=3∶4∶5.
26、由題意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,∴△AOM~△PED. ∴DE∶PE∶PD=3∶4∶5. ∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點, ∴PD=y(tǒng)P-yD = ∴ ②滿足題意的點P有三個,分別是 當(dāng)點G落在y軸上時,由△ACP≌△GOA得PC=AO=2,即,解得,所以 當(dāng)點F落在y軸上時,同法可得, 〔舍去〕. 【點評】此題是一個典型的動點壓軸題,它融知識于一體,包萬象于其中,知識點之多,綜合性之強,難度系數(shù)之大.分類討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想,同學(xué)們一定注意掌握. A B C O x y 圖12 8.如圖12,在平
27、面直角坐標(biāo)系中,點A、B、C的坐標(biāo)分別為〔0,2〕、〔-1,0〕、〔4,0〕.P是線段OC上的一動點〔點P與點O、C不重合〕,過點P的直線x=t與AC相交于點Q.設(shè)四邊形ABPQ關(guān)于直線x=t的對稱的圖形與△QPC重疊局部的面積為S. ⑴點B關(guān)于直線x=t的對稱點B′的坐標(biāo)為________; ⑵求S與t的函數(shù)關(guān)系式. 【解題思路】(1)對稱點連線被對稱軸垂直平分,可以求B′的坐標(biāo); 〔2〕因為點P的位置不同導(dǎo)致點B的對稱點B′的位置不同,可能在線段OC上,也可能在線段OC的延長線上,如圖a和圖b,重合局部分別是四邊形和三角形,圖a先求AC的解析式和A’B’的解析式,求出點M的縱坐標(biāo),
28、然后用△QPC的面積減去△B’MC的面積;圖b,直接求△QPC的面積即可.
Q
Q
P
P
【答案】〔1〕B’〔2t+1,0〕
〔2〕當(dāng)t=1.5是點B關(guān)于x=t的對稱點B’與點C重合
當(dāng)0 29、次方程組,計算量比擬大,加上分情況討論點B’的位置,導(dǎo)致此題難度較大,不容易做完.
圖15
9.如圖15,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A〔-1,0〕、B〔3,0〕、C〔0,3〕三點,對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M,連接PB.
⑴求該拋物線的解析式;
⑵拋物線上是否存在一點Q,使△QMB與△PMB的面積相等,假如存在,求點Q的坐標(biāo);假如不存在,說明理由;
⑶在第一象限、對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點R,使△RPM與△RMB的面積相等,假如存在,直接寫出點R的坐標(biāo);假如不存在,說明理由.
【解題思路】〔1〕把A、B、C三點的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,得到 30、三元一次方程組,解出a、b、cj即可;因為A、B是拋物線與x軸的交點,也可以把拋物線設(shè)成y=a〔x+1〕〔x-3〕,然后代入C得坐標(biāo)。
〔2〕假如使△QMB與△PMB的面積相等,須等底等高,因此考慮和BC平行的直線PQ和l,求出它們的解析式,在求它們與二次函數(shù)的交點,就是點Q的坐標(biāo);
〔3〕〔圖b〕要使△RPM與△RMB的面積相等,須等底等高,MR要是底的話,點P、B到MR的距離PN抽查〔圖中沒有畫出來〕=BD,易證三角形PNE與三角形BDE全等,因此PE=BE,點M為PF的中點,E為PB的中點,因此ME與x軸平行,點M與N重合,把y=2代入二次函數(shù)即可求點R的橫坐標(biāo)〔舍掉不符合題意的那個 31、〕。
圖a
圖b
F
F
【答案】〔1〕依題可知 解得 所以拋物線的解析式為y= -x2+2x+3
〔2〕〔圖a〕y= -x2+2x+3可變形為,所以頂點坐標(biāo)P〔1,4〕
設(shè) BC的解析式為∵B〔3,0〕、C〔0,3〕∴∴∴
∴點M的縱坐標(biāo)y=-1+3=2,即M〔1,2〕設(shè)對稱軸與x軸的交點為F,∴PM=MF,∴S△PMB=S△FMB
∵△QMB與△PMB的面積相等,∴點Q在過點P且平行于BC的直線a上或過點F且平行于BC的直線b上,
設(shè)a的解析式為,如此,即,∴
設(shè)b的解析式為,如此,即,∴
設(shè)a與拋物線相交于Q〔m,-m+5〕,b與拋物線的交點Q’〔n 32、,-n+1〕,如此
解得 解得
,∴點Q’的坐標(biāo)為
綜上,滿足條件的Q的坐標(biāo)有三個,分別是〔2,3〕、、
〔3〕存在,點R的坐標(biāo)為〔,2〕.
【點評】第一問靈活地考查二次函數(shù)解析式的求法——待定系數(shù)法,兩種方法難度較??;第二問難度較大,不容易想到第二個和第三個Q,利用到等底等高的兩個三角形面積相等,很自然地想到平行線間的距離相等.求BC的兩條平行線的解析式時,要用到“在坐標(biāo)系中,平行線的k值相等〞.求交點的方法就是連方程組,解方程組.難度較大.第三問是拔高題.
10.拋物線的圖象向上平移m個單位()得到的新拋物線過點(1,8).
(1)求m的值,并將平移后的拋物線解析式寫成的形 33、式;
(2)將平移后的拋物線在x軸下方的局部沿x軸翻折到xy的解析式,并在所給的平面直角坐標(biāo)系中直接畫出簡圖,同時寫出該函數(shù)在≤時對應(yīng)的函數(shù)值y的取值X圍;
(3)設(shè)一次函數(shù),問是否存在正整數(shù)使得(2)中函數(shù)的函數(shù)值時,對應(yīng)的x的值為,假如存在,求出的值;假如不存在,說明理由.
x
5
4
3
2
1
-1
O
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
y
【解題思路】第(1)小題得出平移后含的解析式是關(guān)鍵,再用待定系數(shù)法、配方法,求解問題;第(2)小題要理解好題 34、意,構(gòu)造出分段函數(shù),用數(shù)形結(jié)合思想方法得出的取值X圍;第(3)小題根據(jù)自變量的取值X圍,得出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式,與一次函數(shù)聯(lián)立列出二次方程,再次結(jié)合自變量的取值X圍解出答案.
【答案】解:(1)由題意可得
又點(1,8)在圖象上
∴
∴………………………………………………………(1分)
∴………………………………………………(3分)
(2)
如圖 ………………………………………………(7分)
x
5
4
3
2
1
-1
O
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
y
35、
當(dāng)時,………………(9分)
(3)不存在 ………………………………………………(10分)
理由:當(dāng)且對應(yīng)的時
∴,………………………………………(11分)
且 得
∴不存在正整數(shù)滿足條件 ……………………………(12分)
【點評】此題以拋物線為載體,結(jié)合圖形的平移與對稱,考查了初中數(shù)學(xué)的主干知識:函數(shù)、方程與不等式;考查了學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識以與運用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想解決問題的能力;考查了待定系數(shù)法、配方法等數(shù)學(xué)方法.試題入口寬,三個小題層層深入,有一定的梯度,第(2)小題學(xué)生易用兩端點的值代入求的取值X圍,容易造成失分,第(3) 36、小題是本卷的制高點,對學(xué)生要求較高,具有很好的區(qū)分度.綜合可得,本試題用存在性問題連接著一次函數(shù)與二次函數(shù),連接著方程與不等式,試題呈現(xiàn)方式新穎,難度較大.
11.如圖,正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點 A ( 3 , 3) ,把直線 OA 向下平移后,與反比例函數(shù)的圖象交于點B(6,m),與x軸、y軸分別交于C、D兩點
⑴求 m的值;
⑵求過 A、B、D 三點的拋物線的解析式;
⑶ 假如點E是拋物線上的一個動點,是否存在點 E ,使四邊形 OECD 的面積S1 ,是四邊形OACD 面積S的?假如存在,求點 E 的坐標(biāo);假如不存在,請說明理由.
目
【解題思路】 37、⑴設(shè)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式分別為
∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點 A ( 3 , 3)
∴,
∴,
∵點B(6,m)在反比例函數(shù)的圖像上
∴
⑵由⑴得點B(6,),
設(shè)直線OA 向下平移后BD的解析式為:
把點B(6,)代入BD的解析式:得
∴D(0,)
設(shè)過A ( 3 , 3),B(6,),D(0,)的
拋物線的解析式為如此
解得:.
∴
⑶∵BD:,∴令得如此C()
∴
∴
假設(shè)存在點E,如此
∴,令
解得,〔不合題意,舍去〕
∴
【點評】這是一道典型的數(shù)形結(jié)合的試題,綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、點的坐標(biāo)、方程、直角坐 38、標(biāo)系中平行線解析式的處理,知識的綜合運用能力強,要求學(xué)生有直覺猜測、空間想象、合情推理、抽象概括、符號表示、運算求解、演繹說理等綜合能力.難度較大.
12. 如下列圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD= 90°,BC與y軸相交于點M,且M是BC的中點,A、B、D三點的坐標(biāo)分別是A〔-1.0〕,B( -1.2),D( 3.0),連接DM,并把線段DM沿DA方向平移到O/V,假如拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點D、M、N。
〔1〕求拋物線的解析式
〔2〕拋物線上是否存在點P.使得PA= PC.假如存在,求出點P的坐標(biāo);假如不存在.請說明理由。
〔3〕設(shè)拋物 39、線與x軸的另—個交點為E.點Q是拋物線的對稱軸上的—個動點,當(dāng)點Q在什么位置時有最大?并求出最大值。
A
B
C
D
O
E
N
M
x
y
【解題思路】1〕待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
2) 求線段AC垂直平分線與拋物線的交點
3) 為直線上一點到直線外兩點距離差最小 利用軸對稱解題
【答案】〔1〕解:由題意可得M〔0.2〕,N〔-3.2〕
∴
解得:
∴y=
〔2〕∵PA= PC ∴P為AC的垂直平分線上,依題意,AC的垂直平分線經(jīng)過〔-1.2〕〔1.0〕 所在的直線為y=-x+1
解得:
∴P1〔 40、〕P2〔〕
CD所在的直線y=-x+3
∴yQ∴Q〔-1.5.4.5〕
最大值為QC==
【點評】此題綜合性較強,主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識,用到了待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.難度較大.
13. 頂點為A(1,5)的拋物線經(jīng)過點B(5,1).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖(15.1),設(shè)C,D分別是x軸、y軸上的兩個動點,求四邊形ABCD周長的
〔3〕在〔2〕中,當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時,作直線CD.設(shè)點P(x,y)(x>0)是直線y=x上的一個動點,Q是OP的中點,以PQ為斜邊按圖〔15.2〕所示構(gòu)造等腰直角三角形PRQ.
①當(dāng)△PBR 41、與直線CD有公共點時,求x的取值X圍;
②在①的條件下,記△PBR與△COD的公共局部的面積為S.求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值。
【解題思路】用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,從而進一步解決問題。
【答案】解:⑴.設(shè)以A(1,5)為頂點的二次函數(shù)解析式為
∵的圖像經(jīng)過了點B(5,5)
∴ 解得
∴
即:
⑵.
如圖,作點A關(guān)于y軸對稱點,與y軸交與點D,作點B關(guān)于x軸對稱點,與x軸交與點C,連接AD,AC,CB,BA.四邊形ABCD的周長最小。
∵A(1,5),B(5,1)
∴
∴
⑶.①如圖
∵
∴直線AB的解析式為
∴直線與直線的交點
∵,點Q為OP的中點
∴
∵△PBR與直線CD有公共點,
∴,即
【點評】此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角形、四邊形等知識的綜合運用。難度較大。
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